专题04 图形的相似（期末复习优选题集训 25个高频易错题型讲练 共50题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册培优讲练

专题04 图形的相似 （25个高频易错题型讲练 共50题 新教材） 【解析版】 易错题型1 黄金分割 1 易错题型2 由平行截线求相关线段的长或比值 3 易错题型3 相似多边形 5 易错题型4 相似多边形的性质 6 易错题型5 利用两角对应相等判定相似 7 易错题型6 利用三边对应成比例判定相似 9 易错题型7 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 10 易错题型8 选择或补充条件使两个三角形相似 11 易错题型9 相似三角形的判定综合 13 易错题型10 相似三角形判定定理的证明 15 易错题型11 相似三角形实际应用 17 易错题型12 证明三角形的对应线段成比例 18 易错题型13 利用相似三角形的性质求解 21 易错题型14 相似三角形的判定与性质综合 23 易错题型15 利用相似求坐标 27 易错题型16 相似三角形——动点问题 30 易错题型17 相似三角形实际应用 33 易错题型18 相似三角形的综合问题 34 易错题型19 求两个位似图形的相似比 37 易错题型20 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 39 易错题型21 求位似图形的对应坐标 42 易错题型22 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 44 易错题型23 在坐标系中画位似图形 46 易错题型24 在坐标系中画位似中心 49 易错题型25 坐标与图形综合 51 易错题型1 黄金分割 1．（25-26九年级上·四川内江·期中）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端正稳重，舒展美观．已知一条分割线的端点．分别在习字格的边．上，且，善字的笔画、的位置在的黄金分割点处，若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键，根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【规范解答】解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，解一元二次方程，黄金分割，过点A作于F，由三线合一定理和勾股定理可求出的长，由“黄金分割”点定义可得，即，解方程可求出的长，同理可求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，过点A作于F， 设，则， ∵， ∴， ∴； ∵点D是边的“黄金分割”点， ∴， ∴， 解得（经检验，符合题意）或（舍去）， 同理可得， ∴， ∴， 故选：A． 易错题型2 由平行截线求相关线段的长或比值 3．（25-26九年级上·广东梅州·期中）如图， 已知． (1)尺规作图：先作的平分线交于点，再作线段的垂直平分线，分别交、于点、.（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接、，若，，求四边形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据要求作出图形即可． （2）证明四边形是菱形，利用平行线分线段成比例定理，求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，四边形即为所求作． （2）解：垂直平分线段， ，， ∵平分， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， 设菱形的边长为， ， ∴， ， ， ， 菱形的边长为． 4．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，，求的长． 【答案】． 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，由，得，求出即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 易错题型3 相似多边形 5．（25-26九年级上·广东茂名·期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【规范解答】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 6．（25-26九年级上·山东青岛·期中）下列图形一定相似的是（　　） A．两个三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个边数相等的正多边形 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了相似图形的定义，掌握相似图形大小不同是解题的关键． 相似图形需对应角相等且对应边成比例．两个三角形、矩形或菱形不一定同时满足这两个条件，而两个边数相等的正多边形一定满足，因此一定相似，据此即可解答． 【规范解答】解：A．两个三角形的对应角不一定相等，故不一定相似，即不符合题意； B．两个矩形的对应角相等（均为直角），但对应边不一定成比例，故不一定相似，即不符合题意； C．两个菱形的对应边成比例（因各边相等），但对应角不一定相等，故不一定相似，即不符合题意； D．两个边数相等的正多边形的对应角相等（因内角相同）且对应边成比例（因边长可缩放），故一定相似，即符合题意． 故选D． 易错题型4 相似多边形的性质 7．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）图中的两个四边形相似，则 ， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质，多边形内角和定理，由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以，，则，，然后通过多边形内角和定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图， 由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等， 所以，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 8．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图，已知矩形与矩形相似，且，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，掌握相似多边形对应边成比例的性质，准确确定出对应边是解题的关键．设，表示出的长，然后根据相似四边形对应边成比例列式求解即可． 【规范解答】解：四边形是矩形，且，， ，， 设，则， 矩形与矩形相似， ，即， 解得， 即的长为． 故答案为： ． 易错题型5 利用两角对应相等判定相似 9．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，平行四边形中，于，于，与、分别相交于点、．求证： ． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的对角相等，以及垂直的定义可得△ABE和△ADF的两角对应相等，则两个三角形相似． 【规范解答】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ． 10．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，，，则图中的相似三角形共有（   ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先根据，得出，，然后根据相似三角形的判定方法，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，共有4对相似三角形． 故选：C． 易错题型6 利用三边对应成比例判定相似 11．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故此选项不符合题意； B、添加，无法判断，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 12．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据三边对应成比例的三角形相似，分别计算出边长一一判断即可． 【规范解答】解：因为每个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，，， A、三边分别为：，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、三边分别为：，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 易错题型7 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 13．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，点E，F分别在正方形的边，上，，，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键． 先根据正方形的性质得到，，得到，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【规范解答】解：∵四边形是正方形，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定定理，掌握角的和差运算是解题关键． 根据“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定方法进行证明即可． 【规范解答】证明： ， ， ， ， ， 即在，中， ， ， ． 易错题型8 选择或补充条件使两个三角形相似 15．（25-26九年级上·四川内江·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再由相似三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、∵，，∴，故不符合题意； D、不能判断，故符合题意； 故选：D． 16．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【规范解答】解：A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B、添加，结合得，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C、添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，不能证明，本选项符合题意； D、添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 易错题型9 相似三角形的判定综合 17．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是正方形，为边上一动点，为边上一点，满足，，分别交于，，要想求的长度，只要知道（   ） A．的值 B．的长度 C．的值 D．的周长 【答案】B 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定和正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 通过利用正方形的性质得到角度和边长关系，再结合角的运算证明多组三角形相似，最终推导出线段的比例关系． 【规范解答】解：如图，连接， ∵四边形正方形， ． ． ， ． ． ． 又， ． ． 同理可得：，， ． ． ． 又， ． ． ． 故选：B． 18．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】∽∽∽；证明见解析 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 【规范解答】解：图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 易错题型10 相似三角形判定定理的证明 19．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】此题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定与性质对各个结论逐一分析即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，∴①可以； ∵，， ∴，∴②可以； ∵已知，但是夹角和不知道相等， ∴不能判断两个三角形相似，∴③不可以； ∵， ∴， ∵， ∴，∴④可以； 故选：C． 20．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形． 【答案】6 【思路点拨】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【规范解答】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 易错题型11 相似三角形实际应用 21．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 22．（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 【答案】7.5 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 【规范解答】解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 易错题型12 证明三角形的对应线段成比例 23．（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【规范解答】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． 24．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知，点是上任意一点，菱形菱形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据菱形的性质可得，再由菱形菱形，可得，由此可证； （2）根据菱形的性质可得边长与角度的关系，即可得，根据直角三角形可得，再根据相似三角形边长成比例求解即可． 【规范解答】（1）证明：在菱形中， ∴， ∴， ∵菱形菱形， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：在菱形中， ∴，， 在菱形中，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，， ∴， 即，解得． 易错题型13 利用相似三角形的性质求解 25．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）在和中，，，，，则当 时，和相似． 【答案】10或 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，需根据对应边成比例求解，由于未指定顶点对应关系，需分类讨论两种相似情况：①当时，②当时，分别代入即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴有两种相似情况： ①当时， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：10或． 26．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，已知，，，，．是上一点，且，连接、，所得两个三角形相似，则的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及的知识点是“直角三角形相似的判定（两边对应成比例且夹角相等）”“相似三角形的对应边成比例”．解题方法是根据直角三角形的角相等（），分两种相似情况（），结合对应边成比例列方程求解，再根据确定最终结果．解题关键是考虑相似的两种对应情况，避免漏解；易错点是忽略相似的对应顺序，导致方程列错或结果不符合的条件．解题思路为：设，则，分两种相似情况列比例方程，求解后结合筛选出符合条件的长度． 【规范解答】如图所示： ∵，是上一点，且， ∴． 设，则，由，，得，分两种情况讨论： 情况1： 此时对应边成比例：，代入得： 整理得：，解得（舍）． 情况2： 此时对应边成比例：，代入得： 整理得：，解得（舍）． 综上所述，，即． 故答案为． 易错题型14 相似三角形的判定与性质综合 27．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，在中，分别是的边上的中线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查三角形中线的性质及三角形面积的比例关系，解题的关键是利用中线分三角形面积为相等的两部分． 先根据中线性质确定与的面积关系，再确定与的面积关系，最后求出两者的面积比． 【规范解答】解： 是的中线， ∴是中点，是中点， ∴，且， ∴，相似比为， ∴， 同理：， ∴， ∴， 是中线，，且， ∴， ∴． 故选：B． 28．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形，，，是边上一点，且，点为边上一动点，连接，过作的垂线交矩形的边于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当点在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)在整个运动过程中，的中点的运动路径长为_________． 【答案】(1)1 (2)不变； (3) 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，平面直角坐标系中线段中点的坐标，用勾股定理求平面直角坐标系中两点的距离； （1）证明，可得，即可求解； （2）过点作于点，证明可得，再利用勾股定理可得结论； （3）分类讨论：①当点Q在边上时，过作，交于点，交于N，点在直线上运动，当，即点P运动到图1中位置时，运动到最左端；当运动到和在处，即点P运动到图1中，位置时，运动到最右端，即最右端点为，最左端点为，并且点P从运动到的过程中，点会从运动到再回到，运动的路程长为；②当点Q在边上时，以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，此时点在直线上运动，其运动路径为一个线段；分别求出两个运动路径长度，然后相加即可. 【规范解答】（1）解：∵在矩形中，，，是边上一点，且， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ． （2）解：不变化，理由如下： 过点作于点，如图所示： ， ∵四边形为矩形， ∴四边形、四边形均为矩形， ， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴在中，， ． （3）解：①当点Q在边上时，过作，交于点，交于N，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴ ∵点是的中点 ∴平行线分线段成比例定理可得：、分别为、中点 ∴点在直线上运动，当，即点P运动到图1中位置时，运动到最左端；当运动到和在处，即点P运动到图1中，位置时，运动到最右端，即最右端点为，最左端点为，并且点P从运动到的过程中，点会从运动到再回到. ∴运动的路程长为， ∵四边形是矩形， ， ∵， 当在处，即点P运动到图1中位置时， 由（1）知，， ∴，是的中点， ∵为的中位线， ， 当，即点P运动到图1中位置时，此时四边形、四边形为矩形， ∴ 由（1）知， ， 即， ∴或（舍去）， ， ， ， ②当点Q在边上时，以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图2所示： 设，，则， 由（2）得 ∵在中， 在中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 令，则 ∴ ∴ ∴此时点在直线上运动，其运动路径为一个线段 如图2所示，当P点在B点的时候M点在最下端， 即时，此时 当Q点在D点的时候M点在最上端， 由（1）得：即时，此时 ∴此时M点运动路径长为 综上：点的运动路径长为． 易错题型15 利用相似求坐标 29．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】根据一次函数的性质求出，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理表示出，，根据题意分2种情况讨论：或，利用相似三角形的性质列出方程，求出的值即可求解． 【规范解答】解：对于， 当时，，解得； 当时，； ，， ， ， ， ，， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 设， 则，， 由勾股定理得，， ， 由题意知，点M与A、B、C三点中的某两点构成的三角形与相似时，如图， 分两种情况：或 当时，则， 即， ， ， 解得，（舍去）， ； 当时，则， 即， ， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，存在，点M的坐标为或． 故答案为：或． 30．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【思路点拨】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【规范解答】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 易错题型16 相似三角形——动点问题 31．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过 秒后，的面积等于面积的；经过 秒与相似． 【答案】 或 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是审明题意找到相等关系； 设运动时间为秒①根据面积的关系列出方程即可；②分类讨论相似的两种情况列比例关系，解方程即可． 【规范解答】解：设运动时间是秒， ①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：（舍）， ②当时， ， ∴解得：； 当时， ， ∴解得：； 故答案为： ；或． 32．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在锐角三角形中， ， ，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动： （1）当时，运动时间为 秒； （2）以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行时的运动时间为 秒． 【答案】 3 【思路点拨】本题考查了三角形相似的判定及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）当时，即当时，又因为，则，代入数值到进行计算，即可作答． （2）因为与不平行，则当时，结合，证明，再代入数值到，进行计算，即可作答． 【规范解答】解：（1）∵， ∴ ∵， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）设经过 后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行，且 ，， 即 ， ， ， 解得：； 故答案为：； 易错题型17 相似三角形实际应用 33．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，的影长为26米，小明的影长为3米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 【答案】旗杆的高为米． 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，先证明，则有，求得（米），同理，则，所以（米），然后通过线段和差即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴（米）， 同理，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴旗杆的高为米． 34．（25-26九年级上·四川内江·期中）赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立米长的标杆测得其影长为米，旗杆落在地面部分的影长米，另一部分影长落在某一建筑的墙上处，米，求学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为米 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用；作于点．根据同一时刻物高与影长成正比，列出比例式，求得，进而根据，即可求解． 【规范解答】解：如图，作于点． 根据题意得：， ∴， 解得：米． 则 答：学校旗杆的高度为米． 易错题型18 相似三角形的综合问题 35．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 36．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】（1）要证明平分，需利用矩形旋转的性质得到边相等，进而得到角相等，再结合平行线的性质推导角的关系． （2）要求的长，可通过作垂线构造直角三角形，利用相似三角形的性质求出线段、的长度，再用勾股定理计算． 【规范解答】（1）解：∵矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：过点作于， ∵， ∴，． ∵四边形、四边形都是矩形， ∴，，． 由旋转可知， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 在中，， ∴，， ∴． 在中，． 易错题型19 求两个位似图形的相似比 37．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则点的坐标可能为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了位似变换的概念和性质，四边形的面积是四边形面积的倍，则四边形与四边形为，从而可得出点的坐标，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形的面积是四边形面积的倍， ∴四边形与四边形为， ∵， ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 38．（25-26九年级上·福建泉州·期中）在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置． (2)已知的面积为，则的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形变化——位似，掌握位似图形的特点是解题的关键． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）根据勾股定理求出、，进而得到与的位似比为，推出与的面积比为，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求； （2） ，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 易错题型20 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 39．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形； (3)的面积_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和利用网格求三角形的面积． （1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用割补法求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：的面积为， 故答案为：． 40．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.（保留作图痕迹） (1)如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点； (2)在图1中作，交于点； (3)如图2，在边上找一点，使得； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查位似图形，熟练掌握位似中心和位似比是解题的关键． （1）根据位似比为，作出位似图形即可； （2）利用网格性质作出即可； （3）取格点、，连接，交于点，点即为所求． 【规范解答】（1）解：在的延长线上取格点，在的延长线上取格点，使、，连接、， 如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：取格点、，连接，交于点， 如图2所示，点即为所求． 易错题型21 求位似图形的对应坐标 41．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧作的位似，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； (2)在（1）的条件下，请写出与的面积比为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．若位似中心是原点,相似比为,则位似图形对应点的坐标比等于或,即原图形上点的对应点坐标为或. （1）根据位似图形的性质结合相似比为得到为，得出点A、B、C的对应点的坐标，再依次连接即可； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 故答案为：． 42．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请在轴右侧作出关于原点的位似图形，使得与的相似比为（点的对应点分别为点、、）． 【答案】见解析． 【思路点拨】本题考查了作位似图形，位似图形的性质，分别确定点的对应点关于的位似对应点、、，再顺次连接、、即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图， ∵与的相似比为，，，， ∴点的对应点关于的位似对应点、、，顺次连接、、即可， ∴即为所求． 易错题型22 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 43．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，已知平行四边形的面积为24，以为位似中心，作平行四边形的位似图形平行四边形，位似图形与原图形的位似比为，连接、．则的面积为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质．熟练掌握位似图形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 通过构造平行四边形，利用其面积与三角形面积的关系以及位似比与图形面积的关系进行计算． 【规范解答】解：延长交于点，如图， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 位似图形与原图的位似比为， ，即， ， ， 故答案为4． 44．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向右平移1个单位，再向上平移1个单位后的，并写出的坐标； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的，并写出的坐标； (3)判断：与的面积比为________，的面积是________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)；10 【思路点拨】本题考查了作图-位似变换，作图-平移变换，位似的性质，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． （1）根据平移规律，画图即可； （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可； （3）根据平移的性质和位似的性质，结合已知得与的位似比为，再根据面积比等于位似比平方解答；利用割补法求三角形的面积． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， 的坐标为； （2）解：如图，即为所求， 的坐标为； （3）解：∵由平移得到，与的位似比为， ∴与的位似比为， ∴与的面积比为， 的面积：， 故答案为：；10． 易错题型23 在坐标系中画位似图形 45．（25-26九年级上·广东深圳·期中）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． (1)画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_______； (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________： (3)根据图形，与是关于某一点为位似中心的位似图形，点的坐标为_______，位似比的值为_______； 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【思路点拨】本题考查平面直角坐标系中的图形变换（平移、位似），解题的关键是掌握平移的坐标变化规律和位似图形的性质． （1）根据平移的坐标变化规律，确定点的坐标； （2）以点为位似中心，按位似比缩放得到，确定的坐标； （3）根据位似图形的对应点连线交点确定位似中心，并计算位似比． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求， 图形向下平移4个单位长度，坐标变化规律为“纵坐标减4”， 因为点的坐标为， 所以点的坐标为． 故答案为：； （2）解：如图：即为所画，点的坐标为． 故答案为：； （3）解：如图：连接并延长，其交点即为位似中心， 通过网格可得点的坐标为， 与的位似比为对应边的长度比，结合图形得位似比为． 故答案为：． 46．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中． (1)将向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到，请在网格中画出，并写出点的坐标； (2)以点A为位似中心，在x轴上方将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)图见解析，点的坐标为 【思路点拨】本题考查坐标与图形变换、平移作图、画位似图形，熟练掌握平移性质和位似图形性质是解答的关键 （1）先根据点坐标平移的特点得到点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接、、即可； （2）根据位似图形的性质得到点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接、、即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作，点的坐标为； （2）解：如图，即为所求作，点的坐标为． 易错题型24 在坐标系中画位似中心 47．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析； (2)作图见解析 (3) 【思路点拨】本题考查位似图形及位似变换； （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； （2）解：如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； （3）解：∵的内部一点M的坐标为， 由（2）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 48．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．，3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【规范解答】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 故选：B． 易错题型25 坐标与图形综合 49．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【思路点拨】画出平面直角坐标系，把点标出来，找到符合条件的点P，通过相似三角形的判定去证明是否成立．本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的时候把情况考虑全面． 【规范解答】解：设, ∵，，，， ∴，，，． ①如图，P点在B、D之间，此时， ∴， ∴， 解得， ∴； ②如图，P点在B点上方时，此时， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴； ③P点在B点下方时，有两种情况； （ⅰ）时， 则， ∴， 解得（舍去），或， ∴； （ⅱ）时， 则， ∴， 解得， ∴． 综上，所有符合条件的点P点有4个 ． 故选：C． 50．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)以点O为位似中心，将按相似比为放大得到，与位于位似中心异侧； (2)点P在x轴上，且，则点P的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)或 【思路点拨】（1）利用位似变换的性质分别作出，，关于原点O的位似坐标，，，顺次连接三点得出，即可解题； （2）设，则，， ，建立方程求解即可． 本题考查了位似变换作图，三角形的面积，坐标与图形，掌握位似变换的性质、正确作出图形是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，得，，关于原点O的位似坐标分别是，，，画图如下： 则即为所求． （2）解：设， 则，， 由， 根据题意，得， 解得或， 故点或， 故答案为：或． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的相似 （25个高频易错题型讲练 共50题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 黄金分割 2 易错题型2 由平行截线求相关线段的长或比值 2 易错题型3 相似多边形 3 易错题型4 相似多边形的性质 3 易错题型5 利用两角对应相等判定相似 3 易错题型6 利用三边对应成比例判定相似 4 易错题型7 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 5 易错题型8 选择或补充条件使两个三角形相似 5 易错题型9 相似三角形的判定综合 6 易错题型10 相似三角形判定定理的证明 7 易错题型11 相似三角形实际应用 7 易错题型12 证明三角形的对应线段成比例 8 易错题型13 利用相似三角形的性质求解 8 易错题型14 相似三角形的判定与性质综合 9 易错题型15 利用相似求坐标 10 易错题型16 相似三角形——动点问题 10 易错题型17 相似三角形实际应用 11 易错题型18 相似三角形的综合问题 12 易错题型19 求两个位似图形的相似比 13 易错题型20 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 14 易错题型21 求位似图形的对应坐标 15 易错题型22 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 16 易错题型23 在坐标系中画位似图形 16 易错题型24 在坐标系中画位似中心 18 易错题型25 坐标与图形综合 18 易错题型1 黄金分割 1．（25-26九年级上·四川内江·期中）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端正稳重，舒展美观．已知一条分割线的端点．分别在习字格的边．上，且，善字的笔画、的位置在的黄金分割点处，若，则的长为 ． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 易错题型2 由平行截线求相关线段的长或比值 3．（25-26九年级上·广东梅州·期中）如图， 已知． (1)尺规作图：先作的平分线交于点，再作线段的垂直平分线，分别交、于点、.（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接、，若，，求四边形的边长． 4．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，，求的长． 易错题型3 相似多边形 5．（25-26九年级上·广东茂名·期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 6．（25-26九年级上·山东青岛·期中）下列图形一定相似的是（　　） A．两个三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个边数相等的正多边形 易错题型4 相似多边形的性质 7．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）图中的两个四边形相似，则 ， ． 8．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图，已知矩形与矩形相似，且，，则 ． 易错题型5 利用两角对应相等判定相似 9．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，平行四边形中，于，于，与、分别相交于点、．求证： ． 10．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，，，则图中的相似三角形共有（   ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 易错题型6 利用三边对应成比例判定相似 11．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（   ） A． B． C． D． 易错题型7 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 13．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，点E，F分别在正方形的边，上，，，，求证：． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，，，求证：． 易错题型8 选择或补充条件使两个三角形相似 15．（25-26九年级上·四川内江·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 易错题型9 相似三角形的判定综合 17．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是正方形，为边上一动点，为边上一点，满足，，分别交于，，要想求的长度，只要知道（   ） A．的值 B．的长度 C．的值 D．的周长 18．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 易错题型10 相似三角形判定定理的证明 19．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形． 易错题型11 相似三角形实际应用 21．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 易错题型12 证明三角形的对应线段成比例 23．（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知，点是上任意一点，菱形菱形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错题型13 利用相似三角形的性质求解 25．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）在和中，，，，，则当 时，和相似． 26．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，已知，，，，．是上一点，且，连接、，所得两个三角形相似，则的长是 ． 易错题型14 相似三角形的判定与性质综合 27．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，在中，分别是的边上的中线，则（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形，，，是边上一点，且，点为边上一动点，连接，过作的垂线交矩形的边于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当点在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)在整个运动过程中，的中点的运动路径长为_________． 易错题型15 利用相似求坐标 29．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为 ． 30．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 易错题型16 相似三角形——动点问题 31．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过 秒后，的面积等于面积的；经过 秒与相似． 32．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在锐角三角形中， ， ，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动： （1）当时，运动时间为 秒； （2）以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行时的运动时间为 秒． 易错题型17 相似三角形实际应用 33．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，的影长为26米，小明的影长为3米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 34．（25-26九年级上·四川内江·期中）赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立米长的标杆测得其影长为米，旗杆落在地面部分的影长米，另一部分影长落在某一建筑的墙上处，米，求学校旗杆的高度． 易错题型18 相似三角形的综合问题 35．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是 ． 36．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 易错题型19 求两个位似图形的相似比 37．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则点的坐标可能为 ． 38．（25-26九年级上·福建泉州·期中）在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置． (2)已知的面积为，则的面积为___________． 易错题型20 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 39．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形； (3)的面积_____． 40．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.（保留作图痕迹） (1)如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点； (2)在图1中作，交于点； (3)如图2，在边上找一点，使得； 易错题型21 求位似图形的对应坐标 41．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧作的位似，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； (2)在（1）的条件下，请写出与的面积比为________． 42．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请在轴右侧作出关于原点的位似图形，使得与的相似比为（点的对应点分别为点、、）． 易错题型22 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 43．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，已知平行四边形的面积为24，以为位似中心，作平行四边形的位似图形平行四边形，位似图形与原图形的位似比为，连接、．则的面积为 ． 44．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向右平移1个单位，再向上平移1个单位后的，并写出的坐标； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的，并写出的坐标； (3)判断：与的面积比为________，的面积是________． 易错题型23 在坐标系中画位似图形 45．（25-26九年级上·广东深圳·期中）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． (1)画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_______； (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________： (3)根据图形，与是关于某一点为位似中心的位似图形，点的坐标为_______，位似比的值为_______； 46．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中． (1)将向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到，请在网格中画出，并写出点的坐标； (2)以点A为位似中心，在x轴上方将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，并写出点的坐标． 易错题型24 在坐标系中画位似中心 47．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 48．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．，3 易错题型25 坐标与图形综合 49．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 50．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)以点O为位似中心，将按相似比为放大得到，与位于位似中心异侧； (2)点P在x轴上，且，则点P的坐标为________． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $