专题02 一元二次方程（期末复习优选题集训 22个高频易错题型讲练 共44题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册培优讲练

该初中数学单元复习讲义通过题型分类框架系统梳理一元二次方程知识体系，涵盖定义、解法、根的判别式、根与系数关系及应用，用层级表格呈现22个高频易错题型的内在逻辑，突出解法递进与应用场景关联。 讲义亮点在于聚焦高频易错点设计讲练，如“由定义求参数”“传播问题应用”等题型，强化抽象能力与模型意识，例题解析结合方法指导，适配分层教学需求，助力学生夯实基础或深化思维，为教师提供精准教学依据，提升单元复习效率。

专题02 一元二次方程 （22个高频易错题型讲练 共44题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 由一元二次方程的定义求参数 2 易错题型2 判断是否是一元二次方程的解 2 易错题型3 由一元二次方程的解求参数 2 易错题型4 一元二次方程的解的估算 2 易错题型5 解一元二次方程——直接开平方法 3 易错题型6 解一元二次方程——配方法 3 易错题型7 配方法的应用 3 易错题型8 根据判别式判断一元二次方程根的情况 4 易错题型9 根据一元二次方程根的情况求参数 4 易错题型10 公式法解一元二次方程 4 易错题型11 因式分解法解一元二次方程 4 易错题型12 换元法解一元二次方程 5 易错题型13 一元二次方程的根与系数的关系 5 易错题型14 传播问题(一元二次方程的应用) 5 易错题型15 增长率问题(一元二次方程的应用) 5 易错题型16 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 6 易错题型17 数字问题(一元二次方程的应用) 6 易错题型18 营销问题(一元二次方程的应用) 7 易错题型19 动态几何问题(一元二次方程的应用) 8 易错题型20 图表信息题(一元二次方程的应用) 8 易错题型21 其他问题(一元二次方程的应用) 9 易错题型22 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 9 易错题型1 由一元二次方程的定义求参数 1．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 易错题型2 判断是否是一元二次方程的解 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）已知是方程的一个根，则的值为 ． 4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知a是方程的一个根，则 ． 易错题型3 由一元二次方程的解求参数 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若方程的一个根为a，则代数式的值为 ． 6．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．13 B． C．39 D．65 易错题型4 一元二次方程的解的估算 7．（25-26九年级上·福建三明·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． 易错题型5 解一元二次方程——直接开平方法 9．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）一元二次方程的根是 ． 10．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 易错题型6 解一元二次方程——配方法 11．（25-26九年级上·吉林长春·月考）解方程：． 12．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 易错题型7 配方法的应用 13．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 易错题型8 根据判别式判断一元二次方程根的情况 15．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）直线不经过第一象限，则关于的方程实数解的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 16．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求的取值范围． 易错题型9 根据一元二次方程根的情况求参数 17．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）若关于的一元二次方程无实数根，则的最小整数值为 ． 18．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（  ） A．1 B． C．5 D．6 易错题型10 公式法解一元二次方程 19．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·广东中山·期中）解方程：． 易错题型11 因式分解法解一元二次方程 21．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）解方程： (1) (2) 22．（25-26九年级上·湖南永州·期中）解方程 (1)； (2)． 易错题型12 换元法解一元二次方程 23．（25-26九年级上·山东日照·期中）若实数满足，则的值为 ． 24．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数x满足，则代数式的值为 ． 易错题型13 一元二次方程的根与系数的关系 25．（25-26九年级上·福建漳州·期中）若关于的方程有两个根，，则的值为（   ） A． B．1 C．2024 D． 26．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根均为正数，求的取值范围． 易错题型14 传播问题(一元二次方程的应用) 27．（25-26九年级上·江西上饶·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是 ． 28．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 易错题型15 增长率问题(一元二次方程的应用) 29．（25-26九年级上·吉林长春·月考）随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2025年7月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，9月份租车量达9360人次，求平均每个月的增长率． 30．（25-26九年级上·山西晋中·期中）高平大黄梨汁多脆甜，曾为明清时期朝廷贡品．国庆期间高平某地开展为期三天的“围炉煮梨，助农振兴”直播活动，首日收入8472元，活动结束后三天共收入2.7万元，设活动期间直播收入的日平均增长率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 易错题型16 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 31．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，若线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则 ． 32．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上两个小正方形和两个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 易错题型17 数字问题(一元二次方程的应用) 33．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（    ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再加2，运算结果等于这个数的两倍．深度思考中… A．2 B．2或1 C． D．2或 34．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为 ． 易错题型18 营销问题(一元二次方程的应用) 35．（25-26九年级上·广东梅州·期中）某工厂生产一款文具，每件盈利30元时．平均每天可售出30件，为了尽量提高销量，增加盈利，工厂决定采取适当的降价措施．如果每件文具每降价1元，工厂平均每天可多售出2件．若工厂每天要盈利1000元，每件文具应降价多少元？ 36．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件． (1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ 易错题型19 动态几何问题(一元二次方程的应用) 37．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 38．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间 秒． 易错题型20 图表信息题(一元二次方程的应用) 39．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 40．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 易错题型21 其他问题(一元二次方程的应用) 41．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 42．（24-25九年级上·广东中山·月考）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    易错题型22 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 43．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）： ． 44．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 （22个高频易错题型讲练 共44题 新教材） 【解析版】 易错题型1 由一元二次方程的定义求参数 1 易错题型2 判断是否是一元二次方程的解 2 易错题型3 由一元二次方程的解求参数 3 易错题型4 一元二次方程的解的估算 4 易错题型5 解一元二次方程——直接开平方法 5 易错题型6 解一元二次方程——配方法 6 易错题型7 配方法的应用 6 易错题型8 根据判别式判断一元二次方程根的情况 8 易错题型9 根据一元二次方程根的情况求参数 9 易错题型10 公式法解一元二次方程 10 易错题型11 因式分解法解一元二次方程 11 易错题型12 换元法解一元二次方程 12 易错题型13 一元二次方程的根与系数的关系 13 易错题型14 传播问题(一元二次方程的应用) 14 易错题型15 增长率问题(一元二次方程的应用) 15 易错题型16 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 16 易错题型17 数字问题(一元二次方程的应用) 18 易错题型18 营销问题(一元二次方程的应用) 19 易错题型19 动态几何问题(一元二次方程的应用) 21 易错题型20 图表信息题(一元二次方程的应用) 23 易错题型21 其他问题(一元二次方程的应用) 24 易错题型22 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 25 易错题型1 由一元二次方程的定义求参数 1．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【思路点拨】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【规范解答】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【规范解答】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 易错题型2 判断是否是一元二次方程的解 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）已知是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解的概念，利用整体代入法求代数式的值．由方程根的定义可得 ，再将所求代数式变形后整体代入计算． 【规范解答】解： 是方程 的一个根， ， 即 ， ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知a是方程的一个根，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是一元二次方程根的意义，利用方程根的定义，将代入方程得到关系式，并代入所求表达式进行化简． 【规范解答】解：∵是方程的一个根， ∴，即 ． 则 ． 故答案为： 易错题型3 由一元二次方程的解求参数 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若方程的一个根为a，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了已知式子的值求代数式的值，掌握其相关知识点是解题的关键．利用方程根的定义，将根代入方程后得到等式，再整体代入代数式求值． 【规范解答】∵是方程的一个根， ∴， 即． 代数式， 代入， 得． 故答案为． 6．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．13 B． C．39 D．65 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解． 利用m是方程的根，满足方程关系，将所求表达式中的用m表示后代入计算． 【规范解答】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴． 故选：B． 易错题型4 一元二次方程的解的估算 7．（25-26九年级上·福建三明·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【规范解答】解：当时，， 当时，， 方程的一个正根的取值范围为：， 故选：B． 8．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【规范解答】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 易错题型5 解一元二次方程——直接开平方法 9．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）一元二次方程的根是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查直接开平方，熟练掌握直接开平方的方法是解题的关键，将写成一个完全平方的形式，再通过直接开平方求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 两边同时开平方得：， ∴；， 故答案为：；． 10．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【规范解答】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 易错题型6 解一元二次方程——配方法 11．（25-26九年级上·吉林长春·月考）解方程：． 【答案】， 【思路点拨】本题主要考查解一元二次方程，方程运用配方法求解即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ∴，． 12．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 【答案】C 【思路点拨】本题考查了配方法解一元二次方程． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【规范解答】解：甲：应化为，甲错误； 乙：应化为，乙正确； 丙：应化为，丙错误； 丁：应化为，丁正确； 可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙． 故选：C． 易错题型7 配方法的应用 13．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【规范解答】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2) ； 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【规范解答】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 易错题型8 根据判别式判断一元二次方程根的情况 15．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）直线不经过第一象限，则关于的方程实数解的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【思路点拨】本题考查一次函数的图象及性质，一元二次方程根的判别式，关键是由直线不经过第一象限确定a的取值范围，再分类讨论方程解的情况． 由直线不经过第一象限得出，再分和两种情况讨论方程的实数解个数． 【规范解答】解：∵直线不经过第一象限， ∴． 当时，方程为，解得，有一个实数解； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴方程实数解的个数为1个或2个． 故选：D． 16．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据题意列出关于k的不等式，即可求得k的取值范围． 【规范解答】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 易错题型9 根据一元二次方程根的情况求参数 17．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）若关于的一元二次方程无实数根，则的最小整数值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，求出的取值范围，再取最小整数值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴整数的最小值为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（  ） A．1 B． C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零求出m的取值范围即可．． 【规范解答】∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ ，   解得， ∴ 且 ． 故选B． 易错题型10 公式法解一元二次方程 19．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查求代数式的值，解一元二次方程． 利用已知方程得到，通过降次法将化简为，再结合求得的值，代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴． 解方程得， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 20．（24-25九年级上·广东中山·期中）解方程：． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解答本题的关键． 用公式法解即可． 【规范解答】解：， ，，，， ， ，． 易错题型11 因式分解法解一元二次方程 21．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用因式分解法解题即可； （2）先将原方程整理为，然后再利用因式分解法解题即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ∴或， ∴． 22．（25-26九年级上·湖南永州·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 因式分解得，， 或， ； （2）解：， 等式两边同时除以2得，， 整理得，， 因式分解得，， 即， 或， ． 易错题型12 换元法解一元二次方程 23．（25-26九年级上·山东日照·期中）若实数满足，则的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，代数式求值，掌握换元思想，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解后根据实数 的条件排除无效解即可． 【规范解答】设 ， ∵原方程为， ∴原方程可化为 ， 即 ， 因式分解得 ， ∴ 或 ， ∵ ，且 ，此时方程无实数解， ∴舍去， 综上， ． 故答案为：． 24．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数x满足，则代数式的值为 ． 【答案】7 【思路点拨】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【规范解答】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 易错题型13 一元二次方程的根与系数的关系 25．（25-26九年级上·福建漳州·期中）若关于的方程有两个根，，则的值为（   ） A． B．1 C．2024 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，则可求出，，然后根据乘方的意义计算． 【规范解答】解：关于的方程有两个根，， ，， 解得，， ． 故选：A． 26．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根均为正数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系． （1）通过计算判别式证明其非负，即，从而证明方程总有两个实数根； （2）利用韦达定理，根据两根均为正数的条件列不等式求解． 【规范解答】（1）证明：在方程中， ，，， ， 方程总有两个实数根； （2）设方程的两根为和， 根据韦达定理，，， 方程两根均为正数， 且， 即且， 解，得 ， 解，得， 的取值范围为． 易错题型14 传播问题(一元二次方程的应用) 27．（25-26九年级上·江西上饶·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系是解题的关键． 根据流感传染模型，初始患病人数为1人，每轮传染中平均一人传染x人．第一轮传染后患病人数为人，第二轮传染新增患病人数为人，两轮后总患病人数为人．再根据题意两轮后共225人即可列出方程． 【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x人． 第一轮传染后，患流感的人数为：． 第二轮传染时，第一轮后的每个患者传染x人，新增患病人数为：． 第二轮传染后，总患病人数为：． 因为经过两轮传染后总人数共有225人患了流感， 所以列方程：，整理得：． 故答案为：． 28．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 根据流感传染模型，经过两轮传染后总人数为初始人数加上第一轮新增人数和第二轮新增人数，据此列出方程即可． 【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人． ∵ 开始有1人患流感， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， ∴ 两轮后总患病人数为：． 故选C． 易错题型15 增长率问题(一元二次方程的应用) 29．（25-26九年级上·吉林长春·月考）随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2025年7月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，9月份租车量达9360人次，求平均每个月的增长率． 【答案】平均每个月的增长率为． 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用，利用增长率模型求解，其中为初始值，为最终值，为平均每月增长率． 【规范解答】解：设平均每个月的增长率为， 由题意得：， ， 或（舍去）， ， 答：平均每个月的增长率为． 30．（25-26九年级上·山西晋中·期中）高平大黄梨汁多脆甜，曾为明清时期朝廷贡品．国庆期间高平某地开展为期三天的“围炉煮梨，助农振兴”直播活动，首日收入8472元，活动结束后三天共收入2.7万元，设活动期间直播收入的日平均增长率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．熟练掌握一元二次方程的应用—增长率问题是解题的关键． 设日平均增长率为，则第二天收入为元，第三天收入为元，三天总收入为元，等于27000元． 【规范解答】解：∵ 首日收入为8472元，日平均增长率为，   ∴ 第二天收入为元，第三天收入为元， 三天总收入为元．   又∵ 三天共收入27000元，   ∴ 方程为． 故选D． 易错题型16 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 31．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，若线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则 ． 【答案】2或6 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用、三角形的面积等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 延长相交于点，则是直角三角形，根据线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，列出一元二次方程，解方程即可． 【规范解答】解：如图，延长相交于点， 则是直角三角形， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∴m为2或6， 故答案为：2或6． 32．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上两个小正方形和两个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设纸盒的高为，即小正方形的边长为，则折成的有盖纸盒的底的长为，宽为，然后根据题意可列方程进行求解． 【规范解答】解：设纸盒的高为，即小正方形的边长为，则折成的有盖纸盒的底的长为，宽为，由题意得： ， 解得：， 当时，（不符合题意，舍去）， ∴； 故选A． 易错题型17 数字问题(一元二次方程的应用) 33．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（    ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再加2，运算结果等于这个数的两倍．深度思考中… A．2 B．2或1 C． D．2或 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用， 根据题意列出方程，化简后求解一元二次方程，即可解题． 【规范解答】解：设这个数为 ，依题意得： ， 去括号得：， 移项得：， 因式分解得：， ∴ 或 ， 即：这个数是1或． 故选：B． 34．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出最大数与最小数的差值是解题的关键． 设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【规范解答】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意，得， 整理，得， 解得，，（不合题意，舍去）， 故答案为：这个最小数为6． 易错题型18 营销问题(一元二次方程的应用) 35．（25-26九年级上·广东梅州·期中）某工厂生产一款文具，每件盈利30元时．平均每天可售出30件，为了尽量提高销量，增加盈利，工厂决定采取适当的降价措施．如果每件文具每降价1元，工厂平均每天可多售出2件．若工厂每天要盈利1000元，每件文具应降价多少元？ 【答案】10元 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件文具应降价x元，则每件文具的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润=每件的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量提高销量，即可确定结论． 【规范解答】解：设每件文具应降价x元，则每件文具的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量提高销量， 答：每件文具应降价10元． 36．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件． (1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】(1)降价后商场销售这一批衬衫每天盈利1250元 (2)衬衫的单价降了25元 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据平均每天可售出20件，每件盈利40元，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件，列式计算即可； （2）设衬衫的单价降了x元，根据降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【规范解答】（1）解：当单价降了15元时，每天盈利为元， 答：降价后商场销售这一批衬衫每天盈利1250元； （2）解：设衬衫的单价降了x元， 由题意得：， 整理得：， ，， ∵尽快减少库存． ， 答：衬衫的单价降了25元． 易错题型19 动态几何问题(一元二次方程的应用) 37．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【规范解答】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 38．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间 秒． 【答案】2或3 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意得，易得；再根据的面积为列关于t的一元二次方程求解即可． 【规范解答】解：根据题意得， 所以面积为： 当的面积为时，即， 解得：或3． 所以当的面积为时，运动时间或3． 故答案为：2或3． 易错题型20 图表信息题(一元二次方程的应用) 39．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【规范解答】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 40．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【思路点拨】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【规范解答】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 易错题型21 其他问题(一元二次方程的应用) 41．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【规范解答】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 42．（24-25九年级上·广东中山·月考）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【规范解答】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 易错题型22 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 43．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，准确找到关键语句，从而根据等量关系准确列出方程是解答的关键． 根据题意，每一个球队和其它球队可打场比赛，又赛制为单循环形式，则可列出方程求解． 【规范解答】解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为． 故答案为：． 44．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 每名学生需要给其他名学生写留言，因此总留言数为份，根据题意列出方程即可． 【规范解答】解：根据题意，列出方程为， 故选：B． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $