专题01 特殊平行四边形（期末复习优选题集训 19个高频易错题型讲练 共38题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册培优讲练

该初中数学讲义以“特殊平行四边形”为核心，通过梳理菱形、矩形、正方形的性质与判定，构建知识体系，以19个高频易错题型为框架呈现知识脉络，涵盖角度计算、线段长度、面积求解等基础要点及折叠、动点等综合问题，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层设计的38道典型题，如矩形折叠求CE长、正方形动点最值问题等，培养几何直观与推理能力，基础题巩固性质应用，综合题提升空间观念，助力不同学生进阶，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

专题01 特殊平行四边形 （19个高频易错题型讲练 共38题 新教材） 【解析版】 易错题型1 根据菱形的性质与判定求角度 1 易错题型2 根据菱形的性质与判定求线段长 4 易错题型3 根据菱形的性质与判定求面积 6 易错题型4 求矩形在坐标系中的坐标 8 易错题型5 矩形与折叠问题 12 易错题型6 斜边的中线等于斜边的一半 14 易错题型7 根据矩形的性质与判定求角度 16 易错题型8 根据矩形的性质与判定求线段长 19 易错题型9 根据矩形的性质与判定求面积 23 易错题型10 正方形折叠问题 26 易错题型11 求正方形重叠部分面积 29 易错题型12 根据正方形的性质与判定求角度 35 易错题型13 根据正方形的性质与判定求线段长 40 易错题型14 根据正方形的性质与判定求面积 44 易错题型15 根据正方形的性质与判定证明 46 易错题型16 中点四边形 50 易错题型17 (特殊)平行四边形的动点问题 51 易错题型18 四边形中的线段最值问题 55 易错题型19 四边形其他综合问题 58 易错题型1 根据菱形的性质与判定求角度 1．（25-26九年级上·四川·期中）如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质．根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【规范解答】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【思路点拨】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （3）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【规范解答】（1）证明∶∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， 在与中． ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图， ∵四边形是菱形 ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当菱形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 易错题型2 根据菱形的性质与判定求线段长 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，，则的长是（   ） A．3 B．2.5 C．2.4 D．4 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理， 首先得到，证明出是菱形，然后证明出是的中位线，进而求解即可． 【规范解答】在中，对角线相交于点 ∴， ∴ ∴ ∴是菱形 ∴ ∵点是的中点，点是的中点 是的中位线 ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．作于，于，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出，由菱形的面积可得出答案． 【规范解答】解：作于，于，连接、交于点． 由题意知：，， 四边形是平行四边形， 两个矩形等宽， ， ， ， 平行四边形是菱形， ，，， 点，之间的距离为，点，之间的距离为， ，， ， ， ， ． 这两张纸条的宽为， 故选：D． 易错题型3 根据菱形的性质与判定求面积 5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图所示，李老师用一段绸缎制作了一条宽为的矩形丝带，重叠部分图形为四边形． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求重叠部分图形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形．证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）过点B作于点E，过点D作于点F，可证四边形是平行四边形，则，根据平行四边形的面积公式得到，即可证明平行四边形是菱形； （2）根据等腰三角形的判定和性质得到，根据勾股定理求出，根据菱形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：四边形是菱形．证明如下： 如图所示，过点B作于点E，过点D作于点F， 依题意得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形带宽为， ， ∵， ， ∴平行四边形是菱形； （2）解：， 是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 重叠部分图形的面积是：． 6．（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，在中，，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接、． (1)求证；四边形是菱形． (2)点作于点，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是关键． （1）证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明结论成立. （2）求解，证明，再结合菱形的面积可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴. ∴四边形是菱形． （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∴. 易错题型4 求矩形在坐标系中的坐标 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点 (1)点坐标为（_______，_______）； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3) 【思路点拨】（1）把点的坐标代入中，求出的值，即可得到直线的解析式，根据解析式即可求出点的坐标； （2）根据、轴，可知，可得，解方程求出的值即可； （3）当为矩形的对角线时，利用三角形的面积公式可以求出，根据矩形的性质可知，设点的坐标是，可得：，解方程求出的值，即为点的横坐标；当时，根据矩形的性质可以直接得出点的坐标． 【规范解答】（1）解：点在直线：上， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：点在直线：上， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标是， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 解得：或， 当或时，； （3）解：已知点的坐标是，点的坐标是， 如下图所示，当为矩形的对角线时， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 则直线的解析式为， 设点的坐标是， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 点的坐标是； 如下图所示，当时， 可得：，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或． 8．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，坐标与图形；根据题意求得点，根据旋转的性质可得分别对应，进而可得点的坐标． 【规范解答】解：如图，连接， ∵矩形中，，矩形的周长为12， ∴， ∴，， ∵的中点为坐标原点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点逆时针旋转后与点重合， 将绕着点逆时针旋转得到， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 易错题型5 矩形与折叠问题 9．（25-26九年级上·广东梅州·期中）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分，交CD于点E即可； （2）由折叠可得，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求解． 本题考查作图-复杂作图，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，解题的关键是根据折叠可得，，从而求出． 【规范解答】（1）如图，点E即为所求； （2）四边形ABCD是矩形， ，，， 由折叠可得，， ， ， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， 10．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，现将一张矩形的纸片一角折叠，若能使点D落在边上中点F处，折痕为，延长交的延长线于点G．若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的性质、折叠的性质及勾股定理，解题的关键是利用折叠性质得到相等线段，结合勾股定理建立方程求解． 先根据矩形和折叠的性质，得出、，结合F是中点得；再用勾股定理求出的长度；最后设为x，在中利用勾股定理列方程，求解即可． 【规范解答】∵四边形是矩形，，是中点， ∴，，． 由折叠性质可得，． 在中，根据勾股定理得 ，将，代入可得： ， ∴． 设，则， ． 在中，根据勾股定理得 ， ． 解得，即． 故答案为：． 易错题型6 斜边的中线等于斜边的一半 11．（25-26九年级上·广东梅州·期中）如图，菱形的对角线、相交于点E是的中点，且，则的长是（ ） A．10 B． C．8 D．6 【答案】C 【思路点拨】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【规范解答】解：四边形是菱形， ， 是直角三角形， 点E是的中点， ， 故选：C． 12．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，点D为边上一点，点E为的中点，交于点F，将绕E点顺时针旋转得到，连，若，，则长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质，四点共圆，旋转，全等三角形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键．过点作于，易得，再证，可得四点共圆，进而证，据此求解即可． 【规范解答】解：过点作于， 在中，, ， ， ， ， 为中点， 在中，, 在中，, ， 四点共圆， ， 绕点顺时针旋转得到, ， ， 在和中， ， 故答案为：. 易错题型7 根据矩形的性质与判定求角度 13．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为，，，． (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)求证：B，，，C四个点在同一个圆上； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，且满足的面积等于面积一半，直接写出点E的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)答案不唯一 【思路点拨】本题主要考查了画旋转图形，矩形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格的特点是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是距形，利用矩形的性质即可证明． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【规范解答】（1）解：如下图所示： （2）证明：连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴B，，，C四个点在同一个圆上． （3）解：∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，． (1)求证：； (2)若点，分别为，的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质推出，即可利用证全等； （2）利用平行四边形的性质证出和，得到和，推出四边形是平行四边形，再证出即可推出四边形是矩形，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 易错题型8 根据矩形的性质与判定求线段长 15．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图1，在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．，分别是在边上． (1)若G，H分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）的条件下，当时，求证：四边形是矩形；（提示：在图2中先标出点E、F；可直接使用（1）中的结论） (3)如图3，和分别是和的中点，若从点出发向点运动，从点出发向点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，的值为________． 【答案】(1)平行四边形； (2)见解析； (3)． 【思路点拨】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）连接，可得四边形是矩形，得，求出，根据，得，得，即得平行四边形是矩形； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． （2）解∶如图，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （3）解∶如图3，M和N分别是和的中点， 连接，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设， 则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴， 即， ∴当四边形为菱形时，． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A和点C之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点A和点C之间的距离为 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，熟悉掌握矩形的判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定方法先判定出四边形是平行四边形，再利用对角线相等判定出四边形为矩形即可； （2）连接，利用勾股定理求出的长，利用矩形的性质得到的长，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接． ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ∵四边形是矩形 ∴， 在中，由勾股定理可得，， ∴点A和点C之间的距离为． 易错题型9 根据矩形的性质与判定求面积 17．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查图形类规律探究，涉及矩形和菱形的判定与性质，三角形的中位线性质，通过推导计算得到面积的变化规律是解答的关键．根据矩形和菱形的判定与性质，结合三角形的中位线性质得到每一次得到的四边形的面积与菱形的关系，进而得到变化规律即可． 【规范解答】解：连接，，，，    ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 依次可得，， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）如图，菱形的面积为20，点分别为的中点，则四边形的面积为（    ） A．5 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，连接，二者交于点O，根据菱形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，则可证明四边形是矩形，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接，二者交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵菱形的面积为20， ∴，即； ∵点分别为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， 故选：C． 易错题型10 正方形折叠问题 19．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知：如图，在边长为12的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)6 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由已知可得，由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形的边长为12，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 20．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【思路点拨】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据折叠的性质，正方形的性质，推出，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）由（2）可得，进而得到，得到，三角形的外角得到，全等三角形的性质，得到，进而得到，即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错题型11 求正方形重叠部分面积 21．（2023九年级上·山东·专题练习）有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，Q，在同一条直线l上，当，Q两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当Q在线段上时，___________；当Q在线段延长线上时，___________（用含t的代数式表示）． (2)当秒时，求S的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围． (4)当点P到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或或或13 【思路点拨】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，三角形的面积，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确分类，找出数量关系． （1）当点在上时，，当在的延长线时，； （2）当时，点在的右侧，此时的边长是3； （3）先根据临界确定两种情形：和，进而确定的边长，从而求得； （4）分为点在的右侧，在和之间及在左侧，设到距离是，距离是，列出二元一次方程组求得． 【规范解答】（1）解：当点在上时， ， 当在的延长线时， ． （2）解：如图1， 作于， ，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ； （3）解：当点和点重合时，点在上，此时， 当点和重合时，此时， 当点和和点重合时，此时， 当点在上时，此时， 当时，如图2， ， ， ， ， 当时，如图3， ， ， ， 当时，如图4， 此时是五边形或三角形， ； （4）解：设点到的距离是，到的距离是， 当点在的右侧时， ， ， ， 此时， 当点在和之间时， 当时， ， ， 此时， 当时， ， ， 此时， 当点在的左侧时， ，， ， 此时， 综上所述：或或或13． 22．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N． （1）求证AE＝MN； （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数； （3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长________． 【答案】（1）见解析；（2）∠AEF＝45°；（3）10﹣2 【思路点拨】（1）过点B作BF∥MN交CD于点F，则四边形MBFN为平行四边形，得出MN＝BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE＝BF，即可得出结论； （2）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD＝HQ，AH＝QI，由HL证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH＝∠QEI，证∠AQE＝90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）延长AG交BC于E，则EG＝AG＝6，得AE＝12，由勾股定理得BE＝＝2，则CE＝BC﹣BE＝10﹣2，由折叠的性质即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD， 过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示： ∴四边形MBFN为平行四边形， ∴MN＝BF，BF⊥AE， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∵∠ABF+∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF， ∴AE＝MN； （2）解：连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABIH为矩形， ∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDA＝45°， ∴△DHQ是等腰直角三角形， ∴HD＝HQ，AH＝QI， ∵MN是AE的垂直平分线， ∴AQ＝QE， 在Rt△AHQ和Rt△QIE中， ， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL）， ∴∠AQH＝∠QEI， ∴∠AQH+∠EQI＝90°， ∴∠AQE＝90°， ∴△AQE是等腰直角三角形， ∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°； （3）解：延长AG交BC于E，如图3所示： 则EG＝AG＝6， ∴AE＝12， 在Rt△ABE中，， ∴CE＝BC﹣BE＝10﹣2， 由折叠的性质得：AC'＝CE＝10﹣2， 故答案为：10﹣2． 易错题型12 根据正方形的性质与判定求角度 23．（24-25九年级上·福建泉州·期中）折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为a、宽为b的白纸，如图，以下为某种折纸飞机的方法的前三个步骤： 说明：以上白纸为矩形，长为，宽为，所在直线为矩形的一条对称轴． 第一步：白纸沿着折叠，边的对应边与边平行，将它们的距离记为x． 第二步：将和分别沿着，折叠，使的对应边与的对应边完全重合，从而获得边与的距离也为x． 第三步：… (1)第三步中______°； (2)根据上述材料，求出x的值；（用含a，b的代数式表示） (3)若有一张白纸（长为、宽为），按上述方法折成一个纸飞机，求第三步中的的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路点拨】本题是四边形的综合题，考查翻折变换，正方形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考创新题型． （1）由折叠的性质得到，得到正方形是正方形，求得，于是得到； （2）由题意得，求得，由折叠得到，求得，解方程得到结论； (3)当，时，由得，设的延长线与边相交于点T，则，在上截取，连接，设，则，求得，得到，解方程即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图，由折叠的性质得，， ， 正方形是正方形，， ∴， 故答案为：； （2）由题意得， ， 由折叠得， ∵， ， ， 解得； （3）当时，由（2）得， ， 设的延长线与边相交于点T， 则， 在上截取，连接，设， 则， 由得，， ， ， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 24．（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，在中，，，，为边的中点，是边上的动点，将沿翻折，点的对应点在内，，，三点在同一直线上． （1）的长为 ； （2）的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】（1）取的中点，连接，利用线段中点的定义和勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，则有，由翻折的性质得，，，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （2）过点作交延长线于点，先证明四边形是正方形，得到，，进而推出，得到，再利用翻折的性质和角的和差即可求出的度数． 【规范解答】解：（1）如图，取的中点，连接， ， ， 、分别为、的中点， ，，，， ， ， 由翻折的性质得，，，， ，，三点共线， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 故答案为：； （2）过点作交延长线于点，则， ， 四边形是矩形， 由（1）得，， 矩形是正方形， ，， ， 又，， ， ， ， 由翻折的性质得，， ， ， 的度数为． 故答案为：． 易错题型13 根据正方形的性质与判定求线段长 25．（25-26九年级上·河南信阳·期中）综合与实践 已知，在和上截取，将线段绕点A逆时针旋转α（）得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变，若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，请直接写出的面积为________． 【答案】（1）；（2）不发生改变，；（3）8或72 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）当可得四边形是正方形，此时、重合，可得； （2）过作于，过作于，由旋转结合等腰三角形三线合一可得，再证明，得到，最后由，得到，，即可得到； （3）参考（2）中作辅助线，过作于，过作于，先证明，得到，，再由，由得到，利用勾股定理求出，，最后根据计算，需要利用点与点位置去分类讨论． 【规范解答】解：（1）∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E在射线上，， ∴此时、重合， ∴， ∴； （2）在旋转的过程中不变，理由如下： 如图，过作于，过作于，则， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，当在点左边时，如图 ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 26．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，，转动这个四边形，使它的形状改变．如图，当时，测得；则当时，四边形的面积为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质．先根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质、勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出即可求解． 【规范解答】解：由题意，当时， ∵， ∴四边形是正方形， 又∵，， ∴； 当时， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴，则， ∴，则， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 易错题型14 根据正方形的性质与判定求面积 27．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为 【答案】// 【思路点拨】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【规范解答】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 28．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【规范解答】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 易错题型15 根据正方形的性质与判定证明 29．（25-26九年级上·四川成都·期中）【初步发现】如图1，点E、F分别在正方形的边，上，，延长至点G，使得，得到，从而发现．已知，，求正方形的边长． 【类比探究】如图2，正方形中，P，F，Q三点分别在边，，上，连接，，若，，，求线段的长． 【拓展迁移】如图3，在中，，两锐角的角平分线交于点O，点M、N分别在边、上，且都不与点C重合，若，连接，当，时，求的周长． 【答案】初步发现：6；类比探究：；拓展迁移：2 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键。 初步发现：如图：延长至点G，使得，连接,先利用正方形的性质证明可得,,进而证明可得,设正方形边长为a，则，然后运用勾股定理列方程求解即可； 类比探究：如图：过A作交于G，则四边形是平行四边形，利用全等三角形的性质以及勾股定理可得，如图：延长至点H，使得，连接,利用初步发现中的方法可得：可得，再在利用勾股定理列方程求得，最后再运用勾股定理求解即可； 拓展迁移：如图：过O作,垂足分别为E、G、F，则，四边形是正方形，,设，运用等面积法可求得，即正方形的边长为1；如图：在上截取,连接,利用初步发现中的方法可得：,即；最后根据周长公式以及等量代换即可解答. 【规范解答】解：初步发现：如图：延长至点G，使得，连接, ∵正方形， ∴,即， ∵， ∴, ∴,, ∵， ∴, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴, 设正方形边长为a，则， 在中，,即，解得：或（舍去）， ∴正方形的边长为6； 类比探究： 如图：过A作交于G，则四边形是平行四边形， ∴, ∵正方形中，， ∴,, ∴, 如图：延长至点H，使得，连接, 利用初步发现中的方法可得：, ∴, ∵在，，,,, ∴，解得：, . 拓展迁移： 如图：过O作,垂足分别为E、G、F， ∵在中，，，,锐角的角平分线交于点O， ∴，四边形是矩形，, ∴四边形是正方形， 设， ∵, ∴，解得：， ∴正方形的边长为1，即 如图：在上截取,连接, 利用初步发现中的方法可得：, ∴, ∴的周长为. 30．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图1，矩形的对角线，相交于点，延长至点，使，连接，是的中点，连接． (1)试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，则四边形的面积为______． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)8 【思路点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形斜边中线的定理，正方形的性质和判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据矩形的性质得出对角线互相平分且相等，判定出垂直平分线段，得出，再利用直角三角形斜边中线定理得出相等的边，最后得出，即可得出结论； （2）根据正方形的性质得出直角和三角形的面积，然后得出四边形是正方形，即可求出面积． 【规范解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴正方形的面积为， 故答案为：8． 易错题型16 中点四边形 31．（25-26九年级上·广东梅州·期中）在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是由三角形中位线定理判定四边形是矩形． 根据三角形中位线定理得到，，，，，，根据矩形的判定和性质计算即可． 【规范解答】解：，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形， ，G分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 32．（25-26九年级上·广东佛山·期中）在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（   ） A．垂直 B．相等 C．垂直且互相平分 D．互相平分 【答案】A 【思路点拨】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形为矩形，根据矩形的四个角为直角得到，又为的中位线，根据中位线定理得到与平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到，同理根据三角形中位线定理得到与平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据垂直定义得到与垂直． 【规范解答】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵点E、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即． 故选：A． 易错题型17 (特殊)平行四边形的动点问题 33．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2) (3)12或4 (4)2或或8 【思路点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）由题意可得，即可； （2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可； （3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可． （4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【规范解答】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为6； （2）解：当点Q沿运动时，； 由题意得：； 当点Q沿运动时，， ∴， 即； （3）解：∵面积为， ∴梯形的面积为 分两种情况： 当点Q沿运动时，如图， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时，如图， 同理：， 解得：， 此时，两点重合，两点重合； 综上所述，当平分面积时，t的值为12或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时， 同理， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为2或或． 34．（25-26九年级上·河南·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线、相交于点，、，两动点、同时分别以的速度从点、出发在线段相对运动． (1)求证：当、运动过程中不与点重合时，四边形一定为平行四边形； (2)当、运动时间为何值时，四边形为矩形？ 【答案】(1)证明见解析； (2)当、运动时间或时，四边形为矩形 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质． 根据点、的时间和速度，可知，根据平行四边形的性质可知，，根据线段的和与差可知，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证结论成立； 根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当时，四边形为矩形，此时应分两种情况，一种情况是当点在上，点在上时，另一种情况是当点在上，点在上时．分情况求出运动时间即可． 【规范解答】（1）解：连接，，，， 两动点、同时分别以的速度从点、出发在线段相对上运动， ， 平行四边形的对角线、相交于点， ，（平行四边形的对角线互相平分）， 或， 即， 四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； （2）解：当点在上，点在上时，，四边形为矩形， 运动时间为， ， ， ； 当点在上，点在上时，， ， ； 综上所述，当、运动时间或时，四边形为矩形． 易错题型18 四边形中的线段最值问题 35．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形中，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点的运动轨迹．如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接，先证明四边形是矩形，得到点是中点，再证明是的中位线，由中位线定理可得，再证明是的中位线，由中位线定理可得，推出点在线段上，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解； 【规范解答】解：如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接， 四边形是矩形， ，，， ∵矩形中，点是中点，点是中点， ，， ∴四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 点是的中点， 又是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵为的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在线段上， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值， ， 的最小值为． 故选：A． 36．（2025·四川雅安·一模）如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案． 【规范解答】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点F， ， 四边形是平行四边形， ， ， 根据两点之间线段最短可知，此时最短， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 易错题型19 四边形其他综合问题 37．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分，写出证明过程； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长并说明理由． 【答案】（1）45；（2）①证明见解析；② 4；（3）；（4），理由见解析 【思路点拨】（1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）①由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点B作于点E，求出，证明，得出，，证明，得出； （3）过点F作交于点H，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； （4）过点F作，与的延长线交于点H，证明，得出，，，证出是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）①证明：∵， ， ∵矩形中， ， ， 平分； ②过点B作于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 又 ，， ， ，， ， ， ， 又 ，， ， ， 故答案为：4； （3）过点F作交于点H， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：； （4），理由如下： 过点F作，与的延长线交于点H，如图： 四边形是菱形， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ． 38．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1），；（2）；（3）①四边形是垂美四边形；理由见解析；②． 【思路点拨】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式即可求解； （3）①先证明可得，再根据三角形内角和定理列式整理可得，然后根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． （2）在和中，根据勾股定理得：，， ，， ∴． 故答案为：． （3）①如图2：四边形是垂美四边形；理由如下： ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形． ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊平行四边形 （19个高频易错题型讲练 共38题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 根据菱形的性质与判定求角度 1 易错题型2 根据菱形的性质与判定求线段长 2 易错题型3 根据菱形的性质与判定求面积 3 易错题型4 求矩形在坐标系中的坐标 4 易错题型5 矩形与折叠问题 5 易错题型6 斜边的中线等于斜边的一半 5 易错题型7 根据矩形的性质与判定求角度 6 易错题型8 根据矩形的性质与判定求线段长 7 易错题型9 根据矩形的性质与判定求面积 8 易错题型10 正方形折叠问题 9 易错题型11 求正方形重叠部分面积 10 易错题型12 根据正方形的性质与判定求角度 12 易错题型13 根据正方形的性质与判定求线段长 13 易错题型14 根据正方形的性质与判定求面积 14 易错题型15 根据正方形的性质与判定证明 14 易错题型16 中点四边形 15 易错题型17 (特殊)平行四边形的动点问题 15 易错题型18 四边形中的线段最值问题 17 易错题型19 四边形其他综合问题 17 易错题型1 根据菱形的性质与判定求角度 1．（25-26九年级上·四川·期中）如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 易错题型2 根据菱形的性质与判定求线段长 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，，则的长是（   ） A．3 B．2.5 C．2.4 D．4 4．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（   ） A． B． C． D． 易错题型3 根据菱形的性质与判定求面积 5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图所示，李老师用一段绸缎制作了一条宽为的矩形丝带，重叠部分图形为四边形． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求重叠部分图形的面积． 6．（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，在中，，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接、． (1)求证；四边形是菱形． (2)点作于点，若，，求的值． 易错题型4 求矩形在坐标系中的坐标 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点 (1)点坐标为（_______，_______）； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 易错题型5 矩形与折叠问题 9．（25-26九年级上·广东梅州·期中）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 10．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，现将一张矩形的纸片一角折叠，若能使点D落在边上中点F处，折痕为，延长交的延长线于点G．若，则的长为 ． 易错题型6 斜边的中线等于斜边的一半 11．（25-26九年级上·广东梅州·期中）如图，菱形的对角线、相交于点E是的中点，且，则的长是（ ） A．10 B． C．8 D．6 12．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，点D为边上一点，点E为的中点，交于点F，将绕E点顺时针旋转得到，连，若，，则长为 ． 易错题型7 根据矩形的性质与判定求角度 13．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为，，，． (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)求证：B，，，C四个点在同一个圆上； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，且满足的面积等于面积一半，直接写出点E的坐标． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，． (1)求证：； (2)若点，分别为，的中点，，求的度数． 易错题型8 根据矩形的性质与判定求线段长 15．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图1，在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．，分别是在边上． (1)若G，H分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）的条件下，当时，求证：四边形是矩形；（提示：在图2中先标出点E、F；可直接使用（1）中的结论） (3)如图3，和分别是和的中点，若从点出发向点运动，从点出发向点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，的值为________． 16．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A和点C之间的距离． 易错题型9 根据矩形的性质与判定求面积 17．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是 ． 18．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）如图，菱形的面积为20，点分别为的中点，则四边形的面积为（    ） A．5 B．8 C．10 D．16 易错题型10 正方形折叠问题 19．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知：如图，在边长为12的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 20．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求证：． 易错题型11 求正方形重叠部分面积 21．（2023九年级上·山东·专题练习）有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，Q，在同一条直线l上，当，Q两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当Q在线段上时，___________；当Q在线段延长线上时，___________（用含t的代数式表示）． (2)当秒时，求S的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围． (4)当点P到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出t的值． 22．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N． （1）求证AE＝MN； （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数； （3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长________． 易错题型12 根据正方形的性质与判定求角度 23．（24-25九年级上·福建泉州·期中）折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为a、宽为b的白纸，如图，以下为某种折纸飞机的方法的前三个步骤： 说明：以上白纸为矩形，长为，宽为，所在直线为矩形的一条对称轴． 第一步：白纸沿着折叠，边的对应边与边平行，将它们的距离记为x． 第二步：将和分别沿着，折叠，使的对应边与的对应边完全重合，从而获得边与的距离也为x． 第三步：… (1)第三步中______°； (2)根据上述材料，求出x的值；（用含a，b的代数式表示） (3)若有一张白纸（长为、宽为），按上述方法折成一个纸飞机，求第三步中的的长． 24．（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，在中，，，，为边的中点，是边上的动点，将沿翻折，点的对应点在内，，，三点在同一直线上． （1）的长为 ； （2）的度数为 ． 易错题型13 根据正方形的性质与判定求线段长 25．（25-26九年级上·河南信阳·期中）综合与实践 已知，在和上截取，将线段绕点A逆时针旋转α（）得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变，若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，请直接写出的面积为________． 26．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，，转动这个四边形，使它的形状改变．如图，当时，测得；则当时，四边形的面积为 ． 易错题型14 根据正方形的性质与判定求面积 27．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为 28．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为 ． 易错题型15 根据正方形的性质与判定证明 29．（25-26九年级上·四川成都·期中）【初步发现】如图1，点E、F分别在正方形的边，上，，延长至点G，使得，得到，从而发现．已知，，求正方形的边长． 【类比探究】如图2，正方形中，P，F，Q三点分别在边，，上，连接，，若，，，求线段的长． 【拓展迁移】如图3，在中，，两锐角的角平分线交于点O，点M、N分别在边、上，且都不与点C重合，若，连接，当，时，求的周长． 30．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图1，矩形的对角线，相交于点，延长至点，使，连接，是的中点，连接． (1)试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，则四边形的面积为______． 易错题型16 中点四边形 31．（25-26九年级上·广东梅州·期中）在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是 ． 32．（25-26九年级上·广东佛山·期中）在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（   ） A．垂直 B．相等 C．垂直且互相平分 D．互相平分 易错题型17 (特殊)平行四边形的动点问题 33．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 34．（25-26九年级上·河南·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线、相交于点，、，两动点、同时分别以的速度从点、出发在线段相对运动． (1)求证：当、运动过程中不与点重合时，四边形一定为平行四边形； (2)当、运动时间为何值时，四边形为矩形？ 易错题型18 四边形中的线段最值问题 35．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形中，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 36．（2025·四川雅安·一模）如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为 ． 易错题型19 四边形其他综合问题 37．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分，写出证明过程； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长并说明理由． 38．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $