青海省西宁市湟川中学2025-2026学年高二上学期第二次考试数学试卷

青海湟川中学2025-2026学年第一学期 高二年级数学第二次考试试卷 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分．全卷共150分． 考试时间为120分钟 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知空间单位向量两两垂直，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若圆：与圆：有且仅有3条公切线，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作，在中，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则该圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 10. 圆，直线，则（　　） A. 直线与圆必相交 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 时，圆上存在四个点到直线的距离为2 11. 如图，正方体棱长为2，、分别是棱，棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 当时，点的轨迹长度为 D. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为______． 13. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为__________. 14. 已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 16. 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 18. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 19. 已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； （3）若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 青海湟川中学2025-2026学年第一学期 高二年级数学第二次考试试卷 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分．全卷共150分． 考试时间为120分钟 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】CD 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1）段：；NP段： （2），距离最小为 【17题答案】 【答案】（1） 由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 联立方程组消去得， 则，， 由，得， 由，得，即， 化简得， 从而， 化简得，即， 所以或（直线过点，舍去）， 即直线的方程为，所以直线过定点． 当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得， 则，所以， 可得，则，解得或（舍）， 所以直线的方程为，也过定点； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $