6.5正态分布练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

正态分布 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设随机变量，若，则( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 2.已知随机变量，且，则( ) A.0.21 B.0.29 C.0.71 D.0.79 3.已知随机变量X服从正态分布，且，则( ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 4.已知随机变量X服从正态分布，且，则( ) A. B. C. D. 5.已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则( ) A.， B.， C.， D.， 6.已知随机变量服从正态分布，且，则等于( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项正确的是( ) A. B. C. D.若，则 8.某大型汽车配件厂为提高对汽车配件生产产品的质量要求，对现有某种型号产品进行抽检，由抽检结果可知，该型号汽车配件质量指标服从正态分布，则( ) （附：，若，则，） A. B. C. D.任取10000件该型号配件，其质量指标值在区间内的件数约为8186 9.为了解推动出口后的市收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则( )（若随机变量Z服从正态分布，则） A. B. C. D. 10.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则( )（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.已知随机变量，若，则_____． 12.某地高中生的肺活量X（单位：）服从正态分布，若该地有12000名高中生，则其中肺活量低于的高中生的人数约为___________. 参考数据：. 13.随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为________. 14.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为__________.（附：若，则） 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. （1）电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的累积分布函数为，求. （2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为. ①设，证明：； ②若第n天只有元件A发生故障，求第天系统正常运行的条件概率. 参考数据：若，，，. 1.答案：A参考答案 解析：由随机变量，可知.因为，所以，所以.故选A. 2.答案：B 解析：由，得，故.故选：B 3.答案：B 解析：随机变量X服从正态分布，其图象的对称轴为直线，所以，所以.故选B. 4.答案：C 解析：因为随机变量X服从正态分布，且， 则，所以，所以.故选：C. 5.答案：C 解析：从图中可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴，故甲的平均数小于乙的平均数，即， 且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即.故选：C. 6.答案：C 解析：，， .故选：C. 7.答案：BCD 解析：对于A，因为随机变量X服从正态分布所以，则，故A错误； 对于B，由，根据正态分布关于直线对称，可知，故B正确； 对于C， 根据正态分布曲线，显然成立，故C正确； 对于D，由，则，所以，故D正确；故选：BCD. 8.答案：BD 解析：该型号汽车配件质量指标服从正态分布，，，又，. 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，由选项C知，而件，故D正确. 故选BD. 9.答案：BC 解析：由题意，，所以X的均值为，标准差为，故随机变量X的正态曲线如图1，由图可知， ，故A项错误，B项正确； 又，，所以Y的正态曲线如图2，由图形的对称性可知，，故C项正确，D项错误. 故选BC. 10.答案：BC 解析：依题可知，，，所以，故，C正确，D错误； 因为，所以，因为，所以，而，B正确，A错误，故选：BC. 11.答案：0.34 解析：因为，所以．故答案为：0.34. 12.答案：300 解析：因为，所以. 所以肺活量低于的高中生的人数约为：.故答案为：300 13.答案：9 解析：由题设，则， 所以，当且仅当时取等号，则的最小值为9.故答案为：9 14.答案： 解析：由所给数据，， 本题中，质量指标服从正态分布，代入①得：，所以，解得：，所以至多为. 15.答案：（1） （2）①证明见解析；② 解析：（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，可知，则，，则， （2）①由题意知， 因为，所以， ，所以成立. ②由①可得， 所以第天元件B，C正常工作的概率均为， 当第天系统正常运行时，元件B，C至少有一个在正常工作，其对立事件第天系统不正常运行时，元件B，C都不正常工作.则第天系统正常运行概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $