9.1.1 正弦定理 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学导学案围绕正弦定理展开，通过引例设问导入，从直角三角形特例发现边角关系猜想，转化为直角三角形证明锐角三角形，类比迁移证明钝角三角形，应用后结合外接圆法拓展，构建“特例-猜想-证明-应用-深化”的学习支架。 资料以探究式学习为主线，通过问题链引导从特殊到一般推理，融入中西数学史料，分层作业含探究证明方法与阅读发展史，帮助学生在证明与应用中提升逻辑推理与创新意识，感受数学文化价值，发展数学思维与眼光。

正弦定理（第一课时） 1、 学习目标 1.理解正弦定理的内容及其证明过程。 2. 掌握其在解三角形中的应用。 二、重点难点 重点：正弦定理的发现、证明及简单应用。 难点：1.用“等面积法”在钝角三角形中证明定理；2.用“外接圆法”分析边角关系。 三、学习过程 1、创设情境 设问导学 引例：如何建立数学模型，求AC的距离？ 2、探寻特例 提出猜想 【问题1】在直角三角形中，通过对角的正弦观察，您能发现边角新的数量关系吗？ 3、逻辑推理 证明猜想 【问题2】你能理性证明得到的猜想吗？ 启发：直角三角形中等式已经成立，能否化生为熟，把锐角三角形转化为直角三角形来完成证明？如何转化？ 设疑：类比锐角三角形中证明过程，你能给出钝角三角形中的证明吗？ 4、应用定理 解决问题 【例1】 5、挖掘定理 拓展深化 【例2】求证：以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆，设这个外接圆的半径为R，则 【问题5】对于锐角三角形、钝角三角形，上述结论还成立吗？ （如果成立，请分别在锐角三角形和钝角三角形中证明上述结论） 探究1： △ABC为锐角三角形 突破问题的知识 突破问题的思想 突破问题的方法 探究2： △ABC为钝角三角形 突破问题的知识 突破问题的思想 突破问题的方法 6、学习反思 方法感悟 7、课堂小结 回顾总结 今天你收获到了什么？ 知识： 思想： 方法： 8、课后作业 巩固提升 一、必做作业：课本P7练习A2,5 二、选做作业： （1）探究作业：探究正弦定理的其它证明方法 （2）活动作业：阅读并查阅正弦定理发展简史 史料呈现 正弦定理是三角学中最重要的定理之一，它是直角三角形中边角关系的推广，也是三角形中“大角对大边”这一定性性质的定量刻画。那么首先，我们来思考一下何为“正弦 (Sine)”。 三角学起源于天文学，最早，古希腊天文学家希帕恰斯（Hipparchus，约公 元前 190-120）为了解决天文学中的计算问题，将每一个三角形都当作是圆的内 接三角形，这样三角形的边均变成圆的弦，对角也随之变成弦所对的圆周角（见图1）。 而后托勒密（C. Ptolemy）继承了希帕恰斯的工作，他利用圆半径及弦所对圆周角计算弦长以编制弦表，由图2不难发现，托勒密的“秘密武器”即为这一关系式。几百年后，印度数学家将上式改写成，而阿里亚哈塔（Aryabhata，约 475-550）首次用半弦定义了正弦，这正是正弦“Sine”的词源。由此可见，所谓的正弦本来就源自圆的弦，而希帕恰斯将三角形看成是圆的 内接三角形的方法深刻地影响了后世数学家对正弦定理乃至整个三角学的研究， 这也就不难理解为什么数学家们会用作外接圆的方法来证明正弦定理。并且，16 世纪以前，正弦（及一切三角函数）均为“线段定义”而非今天所用的“比值定义”。 这是欧洲的普遍说法，那我们再来看看中国古代对于正弦的定义。 图3 正弦是股与弦的比例勾股定理。古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”,就是直角三角形中的斜边。股就是人的大腿,长长的,古人称直角三角型中长的那个直角边为“股”。正放的直角三角形,应是大腿站直.正弦是股与弦的比例,余弦是余下的那条直角边与弦的比例。正弦等于股长除弦长。 思考与感悟共勉 数学学习的主要目的是：“在掌握知识的同时，领悟由其内容反映出来的数学思想方法，要在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”数学学习的有效方式是“主动、探究、合作。” 数学这门深奥的，有用的，甚至可以说是奇妙的学科，很值得我们开发大脑去探索。但说数学有用又不仅仅局限于此，作为人类一切科学的源科学，数学与哲学一样能教给人们许多生活的哲理，以及不同的逻辑思维方式。一个好的数学家必定也是一个不凡的哲学家。可以说：数学很大程度上教给人们的不是如何解决问题的方法，而是一种追求真知的信念。所以说，数学很有用，有用的数学才是数学。徐光启译《几何原本》时说：凡同此书者，无事不能通。数学是一门人生学科，需要一生学习。所以热爱数学吧，它使我们的生活变得更加丰富多彩。 学科网（北京）股份有限公司 $