第4章三角形练习题2024-2025学年北师大版数学七年级下册

2024-2025北师大版数学七年级下第4章练习题 一．选择题（共10小题） 1．如图，图中三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在△ABC中，AB边上的高是（　　） A．BD B．BF C．BC D．CE 3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积是4，则△ADC的面积是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 4．某大学生利用手机看球赛期间，把手机放在一个支架上面，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（　　） A．对称性 B．三角形的内角和为180° C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 5．如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AC＝3.4，则EF的长度为（　　） A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.4 6．已知三角形的三边长分别为x，4，7，那么x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．关于三角形的三个内角，下面说法错误的是（　　） A．必有一内角不小于60° B．最多有两个锐角 C．最少有两个锐角 D．必有一内角不大于60° 8．如图所示的图形是全等图形的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 9．如图，已知∠CAB＝∠DBA，有四个可添加的条件①AC＝BD；②BC＝AD；③∠C＝∠D；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE＝（　　） A．3 B．3.5 C．2.8 D．2.5 二．填空题（共5小题） 11．如图所示． （1）图中共有 　 　 个三角形，用符号表示为：　 　 ；其中以BC为边的三角形是 　 　 ；以∠D为一个内角的三角形是 　 　 ； （2）在△EBC中，∠EBC的对边是 　 　 ，BC的对角是 　 　 ，△EBC与△DBC的公共边是 　 　 ，公共角是 　 　 ． 12．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝11cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　 　 ． 13．如图，△ABC的边BC上有一点D，取AD的中点E，连接BE，CE，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为CB的中点，AE＝AD，且AE⊥AD，BE与AC的交于点P，则AP：PC＝　 　 ． 15．如图，木匠在做门框时防止门框变形，用一根木条斜着钉好，这样门框就固定了，所运用的数学道理是　 　 ． 三．解答题（共7小题） 16．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F． （1）图中共有多少个以AB为边三角形？并把它们表示出来． （2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？ 17．如图，△ABC的中线AD，BE，CF交于点O（重心）． （1）找出所有面积相等的三角形，并说明理由； （2）判断AO与DO的数量关系． 18．求如图5×5方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为1个单位长度）． 19．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，求图中阴影部分的面积． 20．如图，已知P是△ABC内部的一点． （1）度量AB，AC，PB，PC的长，根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小． （2）改变点P的位置，上述结论还成立吗？请说明理由． 21．请把下面证明过程补充完整： 如图，∠AED＝∠ACB，∠1＝∠2，FH⊥AB于点H，求证：CD⊥AB． 证明：∵∠AED＝∠ACB，（已知） ∴DE∥BC，（ 　 　 ） ∴∠1＝∠3，（ 　 　 ） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠2＝∠3，（ 　 　 ） ∴FH∥　 　 ，（ 　 　 ） ∴∠BHF＝∠BDC．（ 　 　 ） 又∵FH⊥AB，（已知） ∴∠BHF＝90°，（ 　 　 ） ∴∠BDC＝90°（等式性质） 即CD⊥AB．（ 　 　 ） 22．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像如图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？ 2024-2025北师大版数学七年级下第4章练习题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D A D B B C D 一．选择题（共10小题） 1．如图，图中三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据三角形的定义进行判断即可． 【解答】解：图中三角形有△AEB，△BEC，△ABC，△DEC，△BDC， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，AB边上的高是（　　） A．BD B．BF C．BC D．CE 【分析】根据三角形的高的定义判断即可． 【解答】解：如图，CE⊥AB，交AB的延长线于E， 则AB边上的高是CE， 故选：D． 3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积是4，则△ADC的面积是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分即可求解． 【解答】解：∵在△ABC中，D是BC的中点，△ABC的面积是4， ∴△ADC的面积是△ABC的面积的一半， ∴△ADC的面积是2， 故选：B． 4．某大学生利用手机看球赛期间，把手机放在一个支架上面，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（　　） A．对称性 B．三角形的内角和为180° C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答本题即可． 【解答】解：此手机能稳稳放在支架上利用的原理是三角形具有稳定性， 故选：D． 5．如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AC＝3.4，则EF的长度为（　　） A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.4 【分析】根据点G为△ABC的重心，可知点E为AB的中点，点F为BC的中点，即可求解． 【解答】解：∵点G为△ABC的重心， ∴点E为AB的中点，点F为BC的中点， ∴EF为△ABC的中位线， ∴， ∵AC＝3.4， ∴EF＝1.7， 故选：A． 6．已知三角形的三边长分别为x，4，7，那么x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题意，根据三角形的三边关系列出不等式，求解即可． 【解答】解：根据三角形的三边关系得： 7﹣4＜x＜7+4， 解得：3＜x＜11． 四个选项中符合题意的只有4． 故选：D． 7．关于三角形的三个内角，下面说法错误的是（　　） A．必有一内角不小于60° B．最多有两个锐角 C．最少有两个锐角 D．必有一内角不大于60° 【分析】利用三角形的内角的定义及三角形的内角和对各项进行分析即可． 【解答】解：A、三角形的内角和为180°，则必有一内角不小于60°，故A的说法正确，不符合题意； B、三角形中最多有三个锐角，故B的说法错误，符合题意； C、三角形的最少有两个锐角，最多有三个锐角，故C说法正确，不符合题意； D、三角形的内角和为180°，则必有一内角不大于60°，故D的说法正确，不符合题意； 故选：B． 8．如图所示的图形是全等图形的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【解答】解：如图所示的图形是全等图形的是①②， 故选：B． 9．如图，已知∠CAB＝∠DBA，有四个可添加的条件①AC＝BD；②BC＝AD；③∠C＝∠D；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】判定三角形全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（该定理只能判定直角三角形全等）．据此根据定理逐一判断即可． 【解答】解：∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA， A．添加AC＝BD，根据SAS可证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意； B．添加BC＝AD，不符合全等三角形的判定定理，即不能证明△ABC≌△BAD，故此选项不符合题意； C．添加∠C＝∠D，根据AAS可证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意； D．添加∠CBA＝∠DAB，根据ASA可证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意； ∴能使△ABC≌△BAD的条件有3个． 故选：C． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE＝（　　） A．3 B．3.5 C．2.8 D．2.5 【分析】矩形的性质得出CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D＝90°，由线段垂直平分线的性质得出CE＝AE，设CE＝AE＝x，则DE＝4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D＝90°， ∵OE是AC的垂直平分线， ∴CE＝AE， 设CE＝AE＝x，则DE＝4﹣x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2＝CE2， 即22+（4﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴CE； 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．如图所示． （1）图中共有 　5　 个三角形，用符号表示为：　△EBC、△ABC、△DBC、△DEC、△AEB ；其中以BC为边的三角形是 　△ABC、△DBC、△EBC ；以∠D为一个内角的三角形是 　△DEC、△DBC ； （2）在△EBC中，∠EBC的对边是 EC ，BC的对角是 　∠BEC ，△EBC与△DBC的公共边是 BC ，公共角是 　∠DBC（∠EBC）　 ． 【分析】三角形的定义、三角形的角、三角形的边的定义，结合图形即可求解． 【解答】解：（1）图中共有5个三角形，用符号表示为：，△EBC、△ABC、△DBC、△DEC、△AEB；其中以BC为边的三角形是△ABC、△DBC、△EBC；以∠D为一个内角的三角形是△DEC、△DBC； （2）在△EBC中，∠EBC的对边是EC，BC的对角是∠BEC，△EBC与△DBC的公共边是BC，公共角是∠DBC（∠EBC）． 故答案为：（1）5，△EBC、△ABC、△DBC、△DEC、△AEB；△ABC、△DBC、△EBC；△DEC、△DBC；（2）EC，∠BEC，BC，∠DBC（∠EBC）． 12．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝11cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　24cm ． 【分析】根据AD为△ABC的中线，得出BD＝CD，借助△ACD的周长为20cm，求出AD+CD＝13cm，进行计算即可． 【解答】解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵AC＝7cm，△ACD的周长为20cm， ∴AD+CD＝20﹣AC＝13cm， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝11+13＝24（cm）． 故答案为：24cm． 13．如图，△ABC的边BC上有一点D，取AD的中点E，连接BE，CE，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为 　4　 ． 【分析】根据三角形中线平分三角形面积可得，，即可推出，进而求解即可． 【解答】解：∵点E是AD的中点， ∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线， ∴，， ∴ ， 故答案为：4． 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为CB的中点，AE＝AD，且AE⊥AD，BE与AC的交于点P，则AP：PC＝　3　 ． 【分析】由“AAS”可证△AEH≌△DAC，可得AH＝CD，HE＝AC，由“AAS”可证△BCP≌△EHP，可得CP＝HP，即可求解． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于H， ∴∠AHE＝∠ACB＝90°， ∴∠EAH+∠AEH＝90°＝∠EAH+∠CAD， ∴∠AEH＝∠CAD， 在△AEH和△DAC， ， ∴△AEH≌△DAC（AAS）， ∴AH＝CD，HE＝AC， ∵AC＝CB，D为CB的中点， ∴HE＝BC，CD＝BD＝AH， ∴AH＝CH， 在△BCP和△EHP中， ∴△BCP≌△EHP（AAS）， ∴CP＝HP， ∴AP＝3PC， ∴AP：PC＝3， 故答案为：3． 15．如图，木匠在做门框时防止门框变形，用一根木条斜着钉好，这样门框就固定了，所运用的数学道理是　三角形的稳定性　 ． 【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性． 【解答】解：结合图形，为防止变形钉上一根木条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 三．解答题（共7小题） 16．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F． （1）图中共有多少个以AB为边三角形？并把它们表示出来． （2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？ 【分析】（1）以AB为边的三角形有4个； （2）以F为顶点的三角形有3个，除△ABF外，还有2个． 【解答】解：（1）以AB为边的三角形有4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC． （2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有△BDF、△AEF． 17．如图，△ABC的中线AD，BE，CF交于点O（重心）． （1）找出所有面积相等的三角形，并说明理由； （2）判断AO与DO的数量关系． 【分析】（1）由三角形的面积公式，三角形的中线的定义即可求解； （2）由△AOB的面积＝△BOD面积的2倍，推出AO＝2DO． 【解答】解：（1）△ABD、△ACD、△BCE、△BAE、△CAF、△CBF的面积相等，理由如下： ∵AD，BE，CF是△ABC的中线， ∴△ABD的面积＝△ACD的面积＝△BCE的面积＝△BAE的面积＝△CAF的面积＝△CBF的面积＝△ABC面积的一半； △AOB、△BOC、△AOC的面积相等，理由如下： ∵BE是△ABC得到中线， ∴△ABE的面积＝△CBE的面积，△AOE的面积＝△COE的面积， ∴△ABE的面积﹣△AOE的面积＝△CBE的面积﹣△COE的面积， ∴△AOB的面积＝△BOC的面积， 同理：△BOC的面积＝△AOC的面积， ∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△AOC的面积； △AOF、△BOF、△BOD、△COD、△COE、△AOE的面积相等， ∵CF是△ABC的中线， ∴△AOF的面积＝△BOF的面积＝△AOB面积的一半， 同理：△BOD的面积＝△COD的面积＝△BOC是的一半，△COE的面积＝△AOE的面积＝△AOC面积的一半， ∴△AOF、△BOF、△BOD、△COD、△COE、△AOE的面积相等； （2）AO＝2DO，理由如下： ∵△AOF的面积＝△BOF的面积＝△BOD的面积， ∴△AOB的面积＝△BOD面积的2倍， ∴AO＝2DO． 18．求如图5×5方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为1个单位长度）． 【分析】依题意得AB＝BC＝CD＝AD＝5，AE＝BF＝CH＝DK＝1，AK＝BE＝CF＝DH＝4，进而得S正方形ABCD＝52＝25，S△AEK＝S△BEF＝S△CFH＝S△DHK＝2，由此即可得出图中阴影部分的面积和边长． 【解答】解：如图所示： ∵正方形网格中的每个小正方形方格的边长为1个单位长度， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AE＝BF＝CH＝DK＝1，AK＝BE＝CF＝DH＝4， S正方形ABCD＝52＝25，S△AEK＝S△BEF＝S△CFH＝S△DHK1×4＝2， ∴图中阴影部分的面积为：25﹣4×2＝17， ∴阴影正方形的边长为：． 19．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，求图中阴影部分的面积． 【分析】已知AG：GD＝2：1，即可得出AG：AD＝2：3，再根据面积的计算公式，即可得出S△ABGS△ABD，接下来再结合AD、BE、CF是△ABC三边的中线，得出S△ABDS△ABC；根据S△ABGS△ABD和S△ABDS△ABC，以及F点是AB的中点，即可得出△BGF与△ABC之间的关系，同理可得出△CGF与△ABC的关系，进而可得出答案． 【解答】解：∵AG：GD＝2：1， ∴AG：AD＝2：3， ∴S△ABGS△ABD． ∵AD、BE、CF是△ABC三边的中线， ∴S△ABDS△ABC， ∴S△ABGS△ABCS△ABC， ∴S△BGFS△ABGS△ABC12＝2． 同理S△CGES△ACGS△ABC＝2． 所以图中阴影部分的面积为4． 20．如图，已知P是△ABC内部的一点． （1）度量AB，AC，PB，PC的长，根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小． （2）改变点P的位置，上述结论还成立吗？请说明理由． 【分析】（1）实际动手测量计算，得到结论； （2）通过作辅助线，根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”证明． 【解答】解：（1）如图有：AB+AC＞PB+PC； （2）改变点P的位置，上述结论还成立； 理由：如图，连接AP，延长BP交于AC于点E， 在△ABE中有，AB+AE＞BE＝BP+PE ① 在△CEP中有，PE+CE＞PC ② ①+②得，AB+AE+PE+CE＞BP+PE+PC， AB+AC+PE＞BP+PE+PC， ∴AB+AC＞BP+PC． 21．请把下面证明过程补充完整： 如图，∠AED＝∠ACB，∠1＝∠2，FH⊥AB于点H，求证：CD⊥AB． 证明：∵∠AED＝∠ACB，（已知） ∴DE∥BC，（ 　同位角相等，两直线平行　 ） ∴∠1＝∠3，（ 　两直线平行，内错角相等　 ） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠2＝∠3，（ 　等量代换　 ） ∴FH∥CD ，（ 　同位角相等，两直线平行　 ） ∴∠BHF＝∠BDC．（ 　两直线平行，同位角相等　 ） 又∵FH⊥AB，（已知） ∴∠BHF＝90°，（ 　垂直的定义　 ） ∴∠BDC＝90°（等式性质） 即CD⊥AB．（ 　垂直的定义　 ） 【分析】根据平行线的判定与性质求证即可． 【解答】证明：∵∠AED＝∠ACB，（已知） ∴DE∥BC，（同位角相等，两直线平行） ∴∠1＝∠3，（两直线平行，内错角相等） 又∵∠1＝∠2，（已知 ∴∠2＝∠3，（等量代换） ∴FH∥CD，（同位角相等，两直线平行） ∴∠BHF＝∠BDC．（两直线平行，同位角相等） 又∵FH⊥AB，（已知） ∴∠BHF＝90°，（垂直的定义） ∴∠BDC＝90°（等式性质） 即CD⊥AB．（垂直的定义） 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；CD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义；垂直的定义． 22．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像如图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？ 【分析】用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【解答】解：如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/10 15:44:32；用户：郭冰；邮箱：guoxinzhong1@163.com；学号：20683928 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $