精品解析：湖南省怀化市宏宇中学2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题

怀化市宏宇中学教育集团2025年下学期期中质量监测 八年级数学试题 满分：120分；时量：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公式和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 故选：D． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 下列分式中最简分式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简分式的定义分析即可，最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式． 【详解】，， ，不是最简分式， 是最简分式， 最简分式的个数为1个 故选A 【点睛】本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键． 4. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 5. 如果分式中的x与y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的一半 C. 不变 D. 以上三种情况都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分子分母同乘以或除以同一个整式，分式的值不变，可得分式的值． 【详解】∵分式中的x与y都扩大为原来的2倍，得， ， ∴分式的值不变， 故选C． 【点睛】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键． 6. 小强是一人命关天 密码编译爱好者，在他的密码册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2 分别对应下列六个字：一、爱、我、中、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 一中游 C. 爱我一中 D. 美我一中 【答案】C 【解析】 【分析】对(x2－y2)a2－(x2－y2)b2 因式分解，便可找到结论. 【详解】解：(x2－y2)a2－(x2－y2)b2 = （x＋y）（x－y）（a＋b）（a－b） 四个整式分别对应我、爱、中、一. 呈现的密码信息可能是爱我一中.故选择C 【点睛】考查用公式法进行因式分解，掌握其方法的关键. 7. 《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 8. 化简二次根式的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可以得到x＜0，所以＜0，然后利用二次根式的性质把x拿进根号里面，接着约分化简即可求解． 【详解】解：=． 故选D． 9. 若，则A、B的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 10. 对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．根据完全平方公式、因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可． 【详解】解：①当，， 则， 则， 故①正确，符合题意； ②当， 则， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③， ∵ 则当的值恒为正数时，即可， ∴， 故③正确，符合题意； ④当，且， 则， ∴，， ∵p、q为整数， ∴p、q的值可为或或或或或 ∴或或8或或7或， 故④正确， ∴正确的有①②③④， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【详解】此题考查因式分解知识点，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止； 解：原式=； 12. 2015年诺贝尔生理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了一种长度约为0.000000456毫米的病毒，把0.000000456用科学记数法表示为_____． 【答案】4.56×10-7 【解析】 【分析】用a×10n或a×10-n的形式（其中1≤| a|＜10，ｎ是正整数）来表示一个大于10或小于１的正数的方法叫科学记数法． 【详解】0.000000456=4.56×10-7 【点睛】本题考核知识点：科学记数法.解题关键点：熟记科学记数法的意义． 13. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 14. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数和数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 15. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，分式的化简求值，整体代入是解题的关键，由已知条件可得，即，代入所求分式化简即可． 【详解】解：由，得，即， 所以， 则． 故答案为：． 16. 已知，为实数，且，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性质，求算术平方根等知识，由二次根式的非负性求出x与y的值是解题的关键；由二次根式的非负性可求得x与y的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：，解得：， 当时，； ∴； 故答案为：9． 17. 观察下列等式：，，，，第10个式子可表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察所给的等式，得到第个式子为，然后利用规律解答即可． 【详解】解：∵第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， ， 第个式子为， ∴第10个式子为， 故答案为：． 18. 若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则符合条件的整数m的值之和为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式组等知识点，掌握解分式方程、解不等式组的方法成为解题的关键．先解不等式组，再根据关于x的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负数，确定的取值范围，然后根据范围确定出的取值，最后相加即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组有且仅有2个整数解， ∴， 解得：， 解方程， ∴， 解得：， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且， 解得且， ∵为整数， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 故答案为：7． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和解分式方程； （1）根据化简二次根式，化简绝对值，以及负整数指数幂、零指数幂进行计算即可求解； （2）去分母化为整式方程求解，并检验分母是否为零，即可求解． 【详解】解：（1）原式  ； （2）方程两边同乘 ，得  。 展开得 ， 即 。 移项得 ， 解得：； 检验：当  时，，， ∴  是原方程的解． 20. 已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，将进行因式分解后，求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， 又可因式分解成， ∴， ∴． 21. 先化简，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 因为，时分式无意义，所以， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键． 22. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）根据长方形的周长是即可得出的值；由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【小问1详解】 解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ， 空白部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 23. 为防控新冠疫情，我区某学校需购买甲、乙两种品牌的额温枪．已知甲品牌额温枪的单价比乙品牌额温枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌额温枪的数量是用4000元购买乙品牌额温枪的数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌额温枪的单价； （2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的额温枪共80个，且乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量的2倍，购买两种品牌额温枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌额温枪个，总费用为元，则该校共有哪几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）甲160元，乙200元 （2）该校共有两种购买方案：方案一，购买甲品牌额温枪25个，乙品牌额温枪55个；方案二，购买甲品牌额温枪26个，乙品牌额温枪54个，采用方案二可使总费用最低，最低费用是14960元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决应用题，一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系及不等关系． （1）设甲品牌额温枪的单价为x元，则乙品牌额温枪的单价为元，根据用元购买甲品牌额温枪的数量是用元购买乙品牌额温枪的数量的倍列方程求解即可得到答案； （2）根据总费用不超过15000元及乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量的2倍列不等式组求得m的取值，进而计算总费用即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲品牌额温枪的单价为x元，则乙品牌额温枪的单价为元， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种品牌额温枪的单价分别为：元，元； 【小问2详解】 解：设购买甲品牌额温枪个，则购买乙品牌额温枪个， 由题意可得，且m为整数， 解得：，且m为整数， ∴m为或， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， ∵， ∴该校共有两种购买方案：方案一，购买甲品牌额温枪25个，乙品牌额温枪55个；方案二，购买甲品牌额温枪26个，乙品牌额温枪54个，采用方案二可使总费用最低，最低费用是14960元． 24. 定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”． （2）已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值； （3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值． 【答案】（1）不是的“差常分式”； （2） （3）所有符合条件的的值为0，2，4，6． 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键． （1）根据新定义进行判断； （2）根据新定义，列出方程求解； （3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解． 【小问1详解】 解：不是的“差常分式”； 理由：， 不是的“差常分式”； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ， 解得：，， ； 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ， 为整数，为整数， 的值为：或， 的值为：0，2，4，6， 所以所有符合条件的的值为0，2，4，6． 25. 发现与探索： （1）根据小明的解答将下列各式因式分解． 小明的解答： ①； ②． （2）根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值． 【答案】（1）① ② （2） ① ， 无论取何值都大于等于0，再加上，则代数式大于等于， 则的最小值为； ②无论取何值都小于等于0，再加上8，则代数式小于或等于8， 则的最大值为8， ， 无论取何值都小于等于0，再加上28，则代数式小于等于28，则的最大值为28． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式分解因式，不等式的性质等知识点，熟练掌握乘法公式、公式法分解因式及不等式的性质是解题的关键． （1）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可； ②将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可得出结论； ②利用不等式的性质即可解释代数式的最大值为8；将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可求出其最大值． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：①略 ②略 26. 阅读材料（一）如果我们能找到两个实数x、y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：， (二)在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： （1）化简“和谐二次根式”：①______，②______； （2）已知，，求的值； （3）设的小数部分为，求证：． 【答案】（1）①；②； （2）； （3） 证明：， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可； （2）先根据阅读材料（一）化简m与n的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可； （3）先根据阅读材料（一）化简，求出小数部分为b的值，再证明即可． 【小问1详解】 解：①， ②， 【小问2详解】 ， ， ∴， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，二次根式的性质与化简，分式的值，考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，弄懂题意，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀化市宏宇中学教育集团2025年下学期期中质量监测 八年级数学试题 满分：120分；时量：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中最简分式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. B. C. D. 5. 如果分式中的x与y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的一半 C. 不变 D. 以上三种情况都有可能 6. 小强是一人命关天 密码编译爱好者，在他的密码册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2 分别对应下列六个字：一、爱、我、中、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 一中游 C. 爱我一中 D. 美我一中 7. 《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 化简二次根式的结果是( ) A. B. C. D. 9. 若，则A、B的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 分解因式：_________． 12. 2015年诺贝尔生理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了一种长度约为0.000000456毫米的病毒，把0.000000456用科学记数法表示为_____． 13. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 14. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是________ ． 15. 若，则_____． 16. 已知，为实数，且，则______． 17. 观察下列等式：，，，，第10个式子可表示为___________． 18. 若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则符合条件的整数m的值之和为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 20. 已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 21. 先化简，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值． 22. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 23. 为防控新冠疫情，我区某学校需购买甲、乙两种品牌的额温枪．已知甲品牌额温枪的单价比乙品牌额温枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌额温枪的数量是用4000元购买乙品牌额温枪的数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌额温枪的单价； （2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的额温枪共80个，且乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量的2倍，购买两种品牌额温枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌额温枪个，总费用为元，则该校共有哪几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 24. 定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”． （2）已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值； （3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值． 25. 发现与探索： （1）根据小明的解答将下列各式因式分解． 小明的解答： ①； ②． （2）根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值． 26. 阅读材料（一）如果我们能找到两个实数x、y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：， (二)在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： （1）化简“和谐二次根式”：①______，②______； （2）已知，，求的值； （3）设的小数部分为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $