2026年中考数学一轮专题复习（河北） 素养提升一　规律探究题

素养提升一　规律探究题 类型一　数式规律 　　对于数式规律题,不循环类问题,找出前一个数字与后一个数字的关系及每个数字与对应序数的关系,从而得出第n个数式;对于循环类问题,先找出循环周期,然后用总循环次数除以周期,观察商和余数,即可得出结论. ❶ (2025·云南)按一定规律排列的代数式:a,3a,5a,7a,9a,…,第n个代数式是(　　) A.(2n-1)a B.(2n+1)a C.(n+1)a D.2 025a ❷ 数学家斐波那契在《算盘书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2 027个数中,奇数的个数为(　　) A.677 B.675 C.1 350 D.1 352 ❸ 观察下列等式: (x-1)(x+1)=x2-1; (x-1)(x2+x+1)=x3-1; (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1; …… 根据以上规律计算42 025+42 024+42 023+…+43+42+4的值是(　　) A. B. C. D. ❹ 将连续的正整数排成如图所示的数表.记a(i,j)为数表中第i行第j列位置的数字,如a(1,2)=4,a(3,2)=8,a(5,4)=22.若a(m,n)=2 026,则m=　　　　,n=　　　　.  ❺ 观察下列等式: S1=; S2=; S3=; …… 则S10的值为　　　　.  ❻ (2025·浙江)【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》,书中记载的二项和的乘方(a+b)n展开式的系数规律如图所示,其中“三乘”对应的展开式: (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 【应用体验】 已知(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+16,则m的值为　　　　.  ❼ (2025·新疆)对多项式A,B,定义新运算“􀱇”:A􀱇B=2A+B;对正整数k和多项式A,定义新运算“􀱋”:k􀱋A=(按从左到右的顺序依次做“􀱇”运算).已知正整数m,n为常数,记M=m􀱋(x2+31xy),N=n􀱋(y2-14xy),若M􀱇N不含xy项,则mn=　　　　.  类型二　图形变化规律 　　图形变化规律题的解题关键是通过图形寻找数量关系,观察并找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解. ❽ (2025·乐山)醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物,如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中代表碳原子,代表氧原子,代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子,第2种如图2有6个氢原子,第3种如图3有8个氢原子,第4种如图4有10个氢原子……按照这一规律,第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(　　) A.18 B.20 C.22 D.24 ❾ (2025·重庆)按如图所示的规律拼图案,其中第①个图中有4个圆点,第②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点……按照这一规律,则第⑥个图中圆点的个数是(　　) A.32 B.28 C.24 D.20 ❿ 如图,已知矩形ABCD的邻边长分别为a,b,进行如下操作:第一次,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1;第二次,顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2……则第2 025次操作后,得到四边形A2 025B2 025C2 025D2 025的面积是(　　) A. B. C. D. ⓫ 如图,小好同学用计算机软件绘制函数y=x3-3x2+3x-1的图象,发现它关于点(1,0)中心对称.若点A1(0.1,y1),A2(0.2,y2),A3(0.3,y3),…,A19(1.9,y19),A20(2,y20)都在函数图象上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是(　　) A.-1 B.-0.729 C.0 D.1 ⓬ (2025·绥化)观察下图,图1有2个三角形,记作a1=2;图2有3个三角形,记作a2=3;图3有6个三角形,记作a3=6;图4有11个三角形,记作a4=11;按此方法继续下去,则an=　　　　(结果用含n的代数式表示).  ⓭ (2025·龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B.四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3,A3A4B4C4,…都是正方形,顶点A1,A2,A3,A4,…都在x轴上,顶点B1,B2,B3,B4,…都在直线y=-x+3上,连接BA1,B1A2,B2A3,B3A4,…分别交C1B1,C2B2,C3B3,C4B4,…于点D1,D2,D3,D4,….设△BB1D1,△B1B2D2,△B2B3D3,△B3B4D4,…的面积分别为S1,S2,S3,S4,…,则S2 025=　　　　　　.  类型三　周期变化规律 　　解决周期变化规律问题的关键是通过图形寻找数量关系,观察图形运动的规律,从中总结图形变化所反映的规律. ⓮ 如图,弹性小球从点D出发,沿图示方向运动,每当小球碰到长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到长方形的边时,落脚点为I,第2次碰到长方形的边时,落脚点为E1……第2 025次碰到长方形的边时,落脚点为(　　) A.D B.I C.E1 D.V ⓯ (2025·威海)某广场计划用如图1所示的A,B两种瓷砖铺成如图2所示的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为(1,1),其右边瓷砖的位置记为(2,1),其上面瓷砖的位置记为(1,2),按照这样的规律,下列说法正确的是(　　) A.(2 024,2 025)位置是B种瓷砖 B.(2 025,2 025)位置是B种瓷砖 C.(2 026,2 026)位置是A种瓷砖 D.(2 025,2 026)位置是B种瓷砖 ⓰ 如图,在平面直角坐标系内,动点P按照图中箭头所示的方向依次运动,第1次从点(-1,0)运动到点(0,1),第2次运动到点(1,0),第3次运动到点(2,-2)……按照这样的运动规律,动点P第2 025次运动到的点的坐标为(　　) A.(2 024,0) B.(2 024,1) C.(2 025,0) D.(2 024,-2) ⓱ 一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示,AB=3,AD=2,若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点A所对应的数为1,则翻转2 026次后,点B所对应的数是(　　) A.5 060 B.5 062 C.5 063 D.5 064 ⓲ (2025·武安二模)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,边AB=1,现将Rt△ABC以点A(1,1)为旋转中心,逆时针旋转,每次旋转60°,则经过2 030次旋转后,点C的坐标为(　　) A. B. C. D.(1-,0) ⓳ (2025·德阳)如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),点C在直线m:y=x-上,且AC=3,连接AB,BC,将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C1,点B的对应点B1落在直线m上,再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转到△A2B2C2,点A1的对应点A2也落在直线m上.如此下去,…,则A1 001的纵坐标是　　　　.  【详解答案】 1.A 2.D　解析:这列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,可以发现每3个数为一组,每一组前2个数为奇数,第3个数为偶数.∵2 027÷3=675……2,即前2 027个数共有675组,且余2个数,∴奇数有675×2+2=1 352(个).故选D. 3.C　解析:当x=4时,有(4-1)(42 025+42 024+42 023+…+43+42+4+1)=42 026-1,即3×(42 025+42 024+42 023+…+43+42+4+1)= 42 026-1.因此42 025+42 024+42 023+…+43+42+4+1=.因此42 025+42 024+42 023+…+43+42+4=-1=.故选C. 4.46　1　解析:由题图中排布可知,当正整数为k2时,若k为奇数,则k2在第k行第1列,下一个数在下一行,上一个数在第2列;若k为偶数,则k2在第1行第k列,下一个数在下一列,上一个数在第2行.∵a(m,n)=2 026=2 025+1 =452+1,452在第45行第1列,∴2 026在第46行第1列,∴m=46,n=1. 5.10　解析:∵=1+,=1+,=1+,…, ∴S1=1+=1+1-=2-,S2=1++1+=2+1-=3-,S3=1++1++1+=3+1-=4-,…,∴S10=11-=10. 6.8　解析:∵(x+2)4=x4+4x3·2+6x2·22+4x·23+24=x4+8x3+24x2+32x+16=x4+mx3+24x2+32x+16,∴m=8. 7.15　解析:∵kA=, ∴当k=1时,1A=A=(21-1)A, 当k=2时,2A=A⊕A=2A+A=3A=(22-1)A, 当k=3时,3A=A⊕A⊕A=3A⊕A=2×3A+A=7A=(23-1)A. 当k=4时,4A=A⊕A⊕A⊕A=7A⊕A=2×7A+A=15A=(24-1)A, …… ∴当k=m时,mA=(2m-1)A,当k=n时,nA=(2n-1)A. ∴M=(2m-1)(x2+31xy),N=(2n-1)(y2-14xy), ∴M⊕N=2M+N=2(2m-1)(x2+31xy)+(2n-1)(y2-14xy)=(2m+1-2)x2+(2n-1)y2+[62(2m-1)-14(2n-1)]xy, ∵M⊕N不含xy项,∴62(2m-1)-14(2n-1)=0,∴31(2m-1)-7(2n-1)=0,设2m=a,2n=b,则31a-7b=24,∴b=,∵a,b均为2的正整数次幂,∴∴2m=8,2n=32, ∴∴mn=15. 8.B　解析:由题图可知,第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=1×2+2;第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2×2+2;第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3×2+2;…,所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为2n+2.当n=9时,2n+2=2×9+2=20,即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20.故选B. 9.C　解析:第①个图中有4个圆点,第②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点……则第○n个图中有4n个圆点,所以第⑥个图中圆点的个数是4×6=24.故选C. 10.B　解析:因为矩形ABCD的邻边长分别为a,b,所以矩形ABCD的面积为ab.连接A1C1,B1D1相交于点O,如图.因为点A1,B1,C1,D1分别是矩形ABCD各边的中点, 所以矩形ABCD被分割为四个相同的小矩形.因为A1D1,A1B1,B1C1,C1D1分别为这些小矩形的对角线,所以四边形A1B1C1D1的面积为.同理可得,四边形A2B2C2D2的面积为,四边形A3B3C3D3的面积为……四边形AnBnCnDn的面积为.当n=2 025时,四边形A2 025B2 025C2 025D2 025的面积为.故选B. 11.D　解析:解法一:由题知,点A10的坐标为(1,0),则y10=0.因为函数图象关于点(1,0)中心对称,所以y9+y11=y8+y12=…=y1+y19=0,将x=2代入函数解析式得y=23-3×22+3×2-1=1,即y20=1,所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1.故选D. 解法二:将x=0代入函数解析式得y=-1,记此点为A0(0,-1),则y0=-1.因为函数图象关于点(1,0)中心对称,所以y9+y11=y8+y12=…=y1+y19=y0+y20=0,所以y0+y1+y2+…+y20=0,则y1+y2+…+y20=y0+y1+y2+…+y20-y0=0-(-1)=1.故选D. 12.n2-2n+3　解析:图1有2个三角形,记作a1=02+2=2;图2有3个三角形,记作a2=12+2=3;图3有6个三角形,记作a3=22+2=6;图4有11个三角形,记作a4=32+2=11;按此方法继续下去,则an=(n-1)2+2=n2-2n+3. 13.　解析:当x=0时,y=-x+3=3,∴点B的坐标是(0,3).∵点B1在直线y=-x+3上, ∴设点B1的坐标是x1,-x1+3,则点A1的坐标是(x1,0),点C1的坐标是0,-x1+3. ∵四边形OA1B1C1是正方形,∴OA1=A1B1,OA1∥C1B1, ∴x1=-x1+3,解得x1=2,∴点B1的坐标是(2,2),∴OC1=OA1=A1B1=B1C1=2,∴BC1=BC-OC1=3-2=1.∵OA1∥C1B1, ∴△BC1D1∽△BOA1,∴, ∴,解得C1D1=,∴B1D1=B1C1-C1D1=2-,∴S1=B1D1·BC1=×1=.设点B2的坐标是 x2,-x2+3,则点A2的坐标是(x2,0),点C2的坐标是,∴A1A2=x2-x1=x2-2,∵四边形A1A2B2C2是正方形,∴A1A2=B2A2,A1A2∥C2B2,∴x2-2=-x2+3,解得x2=,∴点B2的坐标是, ∴A1A2=A2B2=B2C2=A1C2=-2=,∴B1C2=2-. ∵A1A2∥C2B2,∴△B1C2D2∽△B1A1A2,∴,∴,解得C2D2=,∴B2D2=B2C2-C2D2=. ∵点B1的坐标是(2,2),点B2的坐标是,,点B的坐标是(0,3),∴B1B2=, BB1=, ∵,, ∴,又∵四边形OA1B1C1和四边形A1A2B2C2均为正方形,∴B1C1∥x轴,B2C2∥x轴, ∴B1C1∥B2C2,∴∠BB1C1=∠B1B2C2, ∴△BB1D1∽△B1B2D2,且相似比为,∴, ∴当S1=时,S2=,同理可证△B1B2D2∽△B2B3D3,且相似比为,则S3=,…, ∴S2 025== . 14.B　解析:如图, 小球第1次碰到长方形的边时,落脚点为I,第2次碰到长方形的边时,落脚点为E1,第3次碰到长方形的边时,落脚点为Q,第4次碰到长方形的边时,落脚点为V,第5次碰到长方形的边时,落脚点为A1,第6次碰到长方形的边时,落脚点为M,第7次碰到长方形的边时,落脚点为I1,第8次碰到长方形的边时,落脚点为D,…,∴每8次为一个循环,∵2 025÷8=253……1,∴第2 025次碰到长方形的边时,落脚点为I.故选B. 15.B　解析:A种瓷砖的位置:(1,2),(1,4),(1,6),…,(2,1),(2,3),(2,5),…,B种瓷砖的位置:(1,1),(1,3),(1,5),…,(2,2),(2,4),(2,6),…,由此可得,A种瓷砖的位置规律为(奇数,偶数),(偶数,奇数),B种瓷砖的位置规律为(奇数,奇数),(偶数,偶数),(2 024,2 025)位置是A种瓷砖,故A不符合题意;(2 025,2 025)位置是B种瓷砖,故B符合题意;(2 026,2 026)位置是B种瓷砖,故C不符合题意;(2 025,2 026)位置是A种瓷砖,故D不符合题意.故选B. 16.B　解析:∵四个点为一个周期,2 025÷4=506……1,∴点P第2 025次运动到点(2 024,1).故选B. 17.D　解析:如图, 将长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转2次,点B首次落在数轴上的点B2处,所对应的数是4,当点B第2次落在数轴上时,其对应的点是B5,所对应的数是14,而B2B5=14-4=10,以后,每翻转4次,点B就会落在数轴上,因为(2 026-2)÷4=506,所以翻转2 026次后,点B所对应的数是506×10+4=5 064.故选D. 18.A　解析:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=1,∴BC=2AB=2,∴AC=,由题意可知,Rt△ABC以A(1,1)为旋转中心,逆时针旋转,每次旋转60°,则每6次旋转1周,∵2 030÷6=338……2, ∴经过2 030次旋转后,点C转到点D的位置,如图,则AD=AC=,∠CAD=120°,过点D作DH⊥BA交BA的延长线于点H, ∵∠DAH=∠CAD-∠CAH=30°, ∴DH=AD=,∴AH=, ∵A(1,1),∴点D的坐标是-,1-.故选A. 19.2 004　解析:如图,设直线m与y轴交于点D,分别过A2,A5作A2E⊥x轴,A5F⊥x轴,垂足分别为点E,F, 由直线m:y=x-得,当x=0时,y=-,∴点D,∴OD=,∵A(2,0),B(0,2),∴OA=2,OB=2,由勾股定理得AB==4,∴tan∠OAD=,tan∠OAB=,∴∠OAD=∠CAE=30°, ∠OAB=60°,∴∠BAC=90°,∴BC==5,由旋转的性质可知CB1=BC=5,B1A2=AB=4, ∴AA2=AC+CB1+B1A2=12,∴A2E=AA2=6,即 A2(A3)的纵坐标为6.同理A5(A6)的纵坐标为12.∵A1 001=A3×333+2, ∴A1 001在直线m上,∴A1 001(A1 002)的纵坐标为334×6=2 004. 学科网（北京）股份有限公司 $