5.圆中常见的辅助线-【理想中考】2024年河南中考数学题组训练

圆中常见 (建议用 1.已知：如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙O 的弦，AB,CD的延长线交于点E.若AB= 2DE,∠C=40°，求∠E及∠AOC的度数 2.如图，⊙0的半径OD垂直弦AB于点C, 连接AO并延长交⊙O于点E,连接EC 若AB=8,CD=2,求EC的长， ·3 的辅助线 :30分钟) 3.如图，锐角三角形ABC是⊙O的内接三角 形，AE⊥BC,垂足为D.在AD上取一点F, 使得FD=DE,连接CF,并延长交AB于点 G.求证：CG⊥AB. GH 0 4.如图，点A,D,B,C在⊙0上，AB⊥BC, DE⊥AB于点E.若BC=3,AE=DE=1, 求⊙0的半径长， 0 7. 5.如图，PA为⊙0的切线，A为切点，直线 P0交⊙0于点E,F,过点A作P0的垂线 AB,垂足为D,交⊙0于点B,作射线PB. (1)求证：PB与⊙0相切； (2)若0E=4,0D=2,求0P的长 0 .3 6.如图，D是⊙0外一点，过点D作半径OA 的垂线交弦AB于点E,垂足为C,连接 BD,DE DB,OC=CA. (1)求证：BD是⊙0的切线； (2)者G=9as∠AC=号求⊙0的半 径长 8·.四边形ABCD是正方形； ②设DF=x..BE=EC=3,.BC=6. 由①得四边形ABCD是正方形， .'CD=BC =6. 在RI△ABE与m△AGE中，{AB=C: ∴.Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),.BE=EG=3. 同理，GF=DF=x. 在Rt△CEF中，EC2+FC2=EF2 即32+(6-x)2=(x+3)2,解得x=2. .DF的长为2. 3号 圆中常见的辅助线 1.解：如图，连接OD. 0C=0D,∠C=40°，.∠0DC=∠C=40° AB=2DE.OD-AB..OD=DE. ∠ODC是△DOE的外角， ·∠E=∠E00=7L00C=20 :∠AOC是△COE的外角， ∴.∠A0C=∠C+∠E=40°+20°=60° B B D 第1题图 第2题图 2.解：如图，连接BE 0D1ABAC=BC=24B=7x8=4 设A0=x,则0C=OD-CD=x-2. 在Rt△AC0中，AO2=AC2+0C, ∴x2=42+(x-2)2,解得x=5. .AE=10,0C=3. AE是直径，.∠ABE=90°. OC是△ABE的中位线，∴.BE=20C=6. 在Rt△CBE中，EC=√CB+BE=√4+6=2/3. 3.证明：如图，连接CE,则∠BAE=∠BCE .·AE⊥BC,FD=DE,..CF=CE .∠ECB=∠BCG,.∠BAE=∠BCG .·∠BAE+∠ABD=90° .∠BCG+∠ABD=90° .∠BGC=90°，.CG⊥AB. 0 E 第3题图 第4题图 4.解：如图，连接AD,AC,连接CD与AB交于点F AB⊥BC,.∠ABC=90°， .AC为直径，.∠ADC=90°. 。 :AE=DE,DE⊥AB,∴∠DAB=∠ADE=45°， .∠BCF=∠DAB=45°，.BF=BC=3. 在△ADF中，∠DAB=∠AFD=45°， .'EF ED=1,..AB =BF +AF=5, ∴.AC=AB2+BC=√34， :Q0的率径长为 5.(1)证明：如图，连接OA,OB. A 0、 D E B :PA为⊙O的切线，A为切点， ..OA⊥PA.即∠OAP=90°. ·AB⊥OP,OP所在直线为直径所在直线， .OP是AB的中垂线，.PA=PB. 又.·OA=OB.OP=OP .·.△POA≌△POB(SSS). .·.∠PB0=∠PA0=90° OB是半径，∴.PB与⊙0相切. (2)解：在Rt△A0D中，OA=OE=4,OD=2, ·cos∠A0D=0D=1 0A=21 在Rt△0AP中，0A=4,cos∠AOP= 2, ..0P=20A=8. 6.(1)证明：如图1，连接OB. .·OB=OA,DE=DB, .∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD. 又：CD⊥OA,∴.∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°， ∴.∠OBA+∠ABD=90°，.OB⊥BD. :OB是⊙O的半径，∴.BD是⊙O的切线. B B/ 图1 图2 (2)解：如图2，延长A0交⊙0于点F,连接BF 在△ACE中，LAFC-装-号 设CE=3x,则AE=5x,.AC=AE2-CE=4x .0C=CA,..0C=4x, ∴.OA=0C+AC=8x,∴.AF=20A=16x. AF是⊙0的直径，.∠ABF=90°， ∴.∠ABF=∠ACE. 又：∠A=∠A,∴.△ACE∽△ABF, :C=4E 5x ,39=16x 5x+ 5 解得x1=1,x2=0(舍去).OA=8, 即⊙0的半径长为8. 3