4.四边形中常见的辅助线-【理想中考】2024年河南中考数学题组训练

B GL- FB 图1-1 D 图3-1 5.解：(1)小敏的证明思路：如图2，在AC上截取AE= AB,连接DE. .AD是∠BAC的平分线，.∴.∠BAD=∠EAD AB=AE 在△ABD与△AED中， ∠BAD=∠EAD LAD=AD. ∴.△ABD≌△AED(SAS), .BD=DE,∠ABD=∠AED ·∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C, .∠EDC=∠C,.DE=EC .AB+BD=AE +DE=AE+CE=AC. 小洁的证明思路：如图3，延长CB至点E,使得BE= AB,连接AE.则∠E=∠BAE. ·∠ABC=∠E+∠BAE,∴.∠ABC=2LE. .·∠ABC=2∠C..∠E=∠C,.AE=AC :AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠DAC :∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE, ∠BAE=∠E=∠C ∴∠ADE=∠DAE,.AE=DE=AC .AB+BD=BE +BD=DE=AC. (2)AB=CD-AC. 证明：如图，在BA的延长线上取一点E,使得AE= AC,连接DE. .·AD平分∠CAF ∴.∠CAD=∠EAD 在△ACD与△AED中， 「AC=AE ∠CAD=∠E.AD LAD=AD. .△ACD≌△AED(SAS). ..∠ACD=∠AED B D CD=DE .·.∠ACB=∠FED .∠ACB=2∠B.∴.∠FED=2∠B. .·∠FED=∠B+∠EDB,.∠EDB=∠B .DE=BE...BE =CD .'AB=BE-AE =CD-AC. 四边形中常见的辅助线 1.解：如图，延长CB到点H,使得BH=AE=7,连接AH. .·四边形ABCD是菱形 .AD∥BC,AB=AD,.∠ABH=∠BAD BH=AE,.△DAE≌△ABH(SAS), .AH=DE,∠AHB=∠DEA=60. DE AF...AH =AF. .△AHF是等边三角形， ..AH=HF =HB+BF=AE+BF=7+2=9, .DE=AH=9. B 第1题图 第2题图 2.证明：如图，连接AC :四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， 5 ..∠BAC=60 .△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60° ∴.∠BAE+∠EAC=60°，∠CAF+∠EAC=60° .∠BAE=∠CAF ·四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∴.∠ABC=60°， .△ABC和△ACD均为等边三角形， ∴.∠ACF=60°=∠ABC,AC=AB. T∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中，AB=AC, L∠ABC=∠ACF, .△ABE≌△ACF(ASA),.BE=CF. 3.(1)证明：MD⊥AC,ME⊥CB, ∴.∠MDC=∠MEC=90o. 又∠ACB=90°，∴.四边形DMEC是矩形 (2)解：如图，连接CM. 四边形CDME是矩形，∴.DE=CM. :∠ACB=90°，BC=3,AC=4, .AB=/BC+AC=32+42=5. 当CMLAB时，CM最短， 此时Sam=分4B~CN=8C·AC, CM=BC·AC12 AB 5 线段DE的最小值为号 G A M 第3题图 第4题图 4.解：(1)3 (2)证明：如图，延长EF交DA的延长线于点G. AD∥BC,∴.∠G=∠FEB,∠GAB=∠B. 又AF=BF,.△AGF≌△BEF(AAS), .GF=EF,:DF⊥EF,∴.DG=DE. .∴.∠ADF=∠EDF 5.(1)证明：AC⊥BE,DE⊥BE, ∴.AC∥DE,∠ACE=90. ·AD∥BE,∴.四边形ACED是平行四边形， 又.∠ACE=90°，∴.四边形ACED是矩形. (2)CF的长为号 6.解：(1)45 (2)①证明：如图，作AG⊥EF于点G 0 B 则∠AGE=∠AGF=90°. AB⊥CE,AD⊥CF,∴.∠B=∠D=90°=∠C, ∴.四边形ABCD是矩形. :∠CEF,∠CFE的外角平分线交于点A, .'AB =AG,AD=AG,..AB =AD, 2 .四边形ABCD是正方形； ②设DF=x..BE=EC=3,.BC=6. 由①得四边形ABCD是正方形， .'CD=BC =6. 在RI△ABE与m△AGE中，{AB=C: ∴.Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),.BE=EG=3. 同理，GF=DF=x. 在Rt△CEF中，EC2+FC2=EF2 即32+(6-x)2=(x+3)2,解得x=2. .DF的长为2. 3号 圆中常见的辅助线 1.解：如图，连接OD. 0C=0D,∠C=40°，.∠0DC=∠C=40° AB=2DE.OD-AB..OD=DE. ∠ODC是△DOE的外角， ·∠E=∠E00=7L00C=20 :∠AOC是△COE的外角， ∴.∠A0C=∠C+∠E=40°+20°=60° B B D 第1题图 第2题图 2.解：如图，连接BE 0D1ABAC=BC=24B=7x8=4 设A0=x,则0C=OD-CD=x-2. 在Rt△AC0中，AO2=AC2+0C, ∴x2=42+(x-2)2,解得x=5. .AE=10,0C=3. AE是直径，.∠ABE=90°. OC是△ABE的中位线，∴.BE=20C=6. 在Rt△CBE中，EC=√CB+BE=√4+6=2/3. 3.证明：如图，连接CE,则∠BAE=∠BCE .·AE⊥BC,FD=DE,..CF=CE .∠ECB=∠BCG,.∠BAE=∠BCG .·∠BAE+∠ABD=90° .∠BCG+∠ABD=90° .∠BGC=90°，.CG⊥AB. 0 E 第3题图 第4题图 4.解：如图，连接AD,AC,连接CD与AB交于点F AB⊥BC,.∠ABC=90°， .AC为直径，.∠ADC=90°. 。 :AE=DE,DE⊥AB,∴∠DAB=∠ADE=45°， .∠BCF=∠DAB=45°，.BF=BC=3. 在△ADF中，∠DAB=∠AFD=45°， .'EF ED=1,..AB =BF +AF=5, ∴.AC=AB2+BC=√34， :Q0的率径长为 5.(1)证明：如图，连接OA,OB. A 0、 D E B :PA为⊙O的切线，A为切点， ..OA⊥PA.即∠OAP=90°. ·AB⊥OP,OP所在直线为直径所在直线， .OP是AB的中垂线，.PA=PB. 又.·OA=OB.OP=OP .·.△POA≌△POB(SSS). .·.∠PB0=∠PA0=90° OB是半径，∴.PB与⊙0相切. (2)解：在Rt△A0D中，OA=OE=4,OD=2, ·cos∠A0D=0D=1 0A=21 在Rt△0AP中，0A=4,cos∠AOP= 2, ..0P=20A=8. 6.(1)证明：如图1，连接OB. .·OB=OA,DE=DB, .∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD. 又：CD⊥OA,∴.∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°， ∴.∠OBA+∠ABD=90°，.OB⊥BD. :OB是⊙O的半径，∴.BD是⊙O的切线. B B/ 图1 图2 (2)解：如图2，延长A0交⊙0于点F,连接BF 在△ACE中，LAFC-装-号 设CE=3x,则AE=5x,.AC=AE2-CE=4x .0C=CA,..0C=4x, ∴.OA=0C+AC=8x,∴.AF=20A=16x. AF是⊙0的直径，.∠ABF=90°， ∴.∠ABF=∠ACE. 又：∠A=∠A,∴.△ACE∽△ABF, :C=4E 5x ,39=16x 5x+ 5 解得x1=1,x2=0(舍去).OA=8, 即⊙0的半径长为8. 3四边形中常 (建议用 1.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB, BC边上，DE与AF相交于点G,DE=AF, ∠AED=60°，AE=7,BF=2,求DE的长. 2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°， △AEF为等边三角形，点E,F分别在菱形 的边BC,CD上滑动，且E,F不与点B,C, D重合.证明：不论E,F在BC,CD上如何 滑动，总有BE=CF. ·3 见的辅助线 :30分钟)》 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3, AC=4,M为斜边AB上一动点，过点M分 别作MD⊥AC于点D,作ME⊥CB于点E, 连接DE (1)求证：四边形DMEC是矩形； (2)求线段DE的最小值 5· 4.如图，在菱形ABCD中，AD=6,AE⊥BC,垂 足为E,F为AB边的中点，DF⊥EF (1)直接写出结果：EF=; (2)求证：∠ADF=∠EDF. 5.如图，在四边形ABED中，AD∥BE,AC⊥ BE,DE⊥BE,垂足分别为C,E. (1)求证：四边形ACED是矩形； (2)若AB=5,AC=4,AD=6,点F是BD 的中点，请直接写出CF的长 ·3 6.如图1，在Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF, ∠CFE的外角平分线交于点A,过点A分 别作直线CE,CF的垂线，垂足为B,D. (1)∠EAF= °（直接写出结果，不 写解答过程) (2)①求证：四边形ABCD是正方形； ②若BE=EC=3,求DF的长， (3)如图2，在△PQR中，∠QPR=45°，PH⊥ QR,PH=5,QH=2,则HR的长为 (直接写出结果，不写解答过程) 图1 图2 6·