3.三角形中常见的辅助线-【理想中考】2024年河南中考数学题组训练

三角形中常 (建议用时 1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， CD=AB+BD.求证：∠B=2∠C. 2.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC与 ∠BCA的平分线AD,CE分别交BC和AB 于点D,E,AD与CE相交于点F.求证： FE =FD. ·3 见的辅助线 :30分钟)》 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上一 点，E是AC延长线上一点，且CE=BD,连 接DE交BC于点F (1)猜想DE与EF的大小关系： (2)请证明你的猜想 3. 4.在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AB 延长线上一点，DE交BC于点F (1)如图1，若BD=CE,求证：DF=EF; (2)如图2，若BD=CE,请写出DF和 EF之间的数量关系为 (3)如图3，在(2)的条件下，若点E在CA 的延长线上，那么(2)中的结论还成立吗？ 试说明理由. .3 5.【综合与实践】徐老师给爱学习的小敏和 小洁提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线. 求证：AB+BD=AC. 图1 图2 B 图3 图4 (1)解决问题：小敏的证明思路：在AC上 截取AE=AB,连接DE.（如图2) 小洁的证明思路：延长CB至点E,使得 BE=AB,连接AE.(如图3) 请你任意选择一种思路完成证明. (2)问题升华：如图4，在△ABC中，若 ∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°，AD是△ABC 外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于 点D,则线段AB,AC,CD之间的数量关系 又如何？请证明. 4.AF=BE,.5-x=3+x, ..x=1,..CE=1cm. p A 第3题图 第4题图 4.解：(1)EF⊥AC 理由：如图，连接AE,EC ·∠BCD=∠BAD=90°，点E是BD的中点， CE-BD.AE-2BDAE-CE. 点F是AC的中点，∴.EF⊥AC (2)EF=24AC 理由：：∠BCD=90°，点E是BD的中点， ∴CE=DE=2BD,∠ECD=∠CDE :∠BAD=90°，点E是BD的中点， ÷AE=DE=BD,.∠EAD=∠ADE. .·∠ADC=45° .∠AEC=∠AEB+∠BEC=∠EAD+∠ADE+ ∠ECD+∠EDC=2∠ADE+2∠CDE= 2(∠ADE+∠CDE)=2∠ADC=90° 点F是AC的中点，F=之AC 5.解：(1)C (2)证明：如图，延长AD至点M,使得DM=AD,连 接BM, .·AD=DM,BD=CD,∠ADC=∠MDB ∴.△ADC≌△MDB,∴.∠M=∠CAD,BM=AC AE=EF,∴.∠CAD=∠AFE. ∠MFB=∠AFE,∴.∠BMF=∠BFM, .BM=BF..'.AC BF. D 第5题图 第6题图 6.（1)证明：如图，连接BD :E,F分别为AD,AB的中点， EF是△ABD的中位线EF=之BD,EF∥BD, 同理，CH=2BD,CH/BD, .EF=GH,EF∥GH ∴.四边形EFGH为平行四边形 (2)3.5 三角形中常见的辅助线 1.证明：如图，在CD上取一点E,使得CE=AB,连接AE. .CD=AB+BD,∴.DE=BD. AD是BC边上的高，AD是BE的垂直平分线， ·5 ..AB=AE=CE,.∠B=∠AEB=2∠C b B D E 第1题图 第2题图 2.证明：.∠B=60° ∴.∠BAC+∠BCA=180°-60°=120° 'AD,CE分别平分∠BAC与∠BCA, LFAC+LFCA(BC+C)-1 ·.∠AFE=∠CFD=60°，∠AFC=120°. 如图，在AC上截取AG=AE,连接FG. AE=AG, 在△AEF和△AGF中，{∠EAF=∠CAF, LAF AF ∴.△AEF≌△AGF(SAS), ∴.∠AFG=∠AFE=60°，FE=FG, .∴.∠CFG=∠CFD=60°. r∠CFD=∠CFG, 在△CDF和△CGF中， CF=CF. L∠BCE=∠ACE, ·.△CDF≌△CGF(ASA), .FD =FG...FE=FD. 3.解：(1)DE=2EF. (2)证明：如图，作DG∥AE交BC于点G, 4 D 32 B 则∠1=∠E,∠3=∠2. AB=AC,.∠B=∠2，∴.∠B=∠3，∴.BD=DG CE=BD,∴.DG=CE. 「∠1=∠E, 在△DFG和△EFC中， ∠4=∠5， LDG =CE. ·.△DFG≌△EFC(AAS), .·.DF=EF.·.DE=2EF 4.(1)证明：如图1-1，过点E作EG∥AB交BC于点G, 则∠CGE=∠ABC,∠GEF=∠D,∠DBF=∠EGF AB=AC,∴∠ABC=∠C ∴.∠C=∠EGC,∴.CE=EG CE=BD,.'.BD =GE. r∠D=∠GEF, 在△DBF和△EGF中，BD=GE L∠DBF=∠EGF, ∴.△DBF≌△EGF(ASA),∴.DF=EF. 解：(2)2正=1 EF n (3)成立，如图3-1，过点E作EG∥AB交CB的延 长线于点G,∴.∠EGC=∠ABC. AB=AC,.∠ABC=∠C, ∴.∠EGC=∠C,∴.EG=EC. EG∥AB,△DFB∽△EFG,EG=EF BD DF BD=- DF 1 n CE心BD=EG,EF B GL- FB 图1-1 D 图3-1 5.解：(1)小敏的证明思路：如图2，在AC上截取AE= AB,连接DE. .AD是∠BAC的平分线，.∴.∠BAD=∠EAD AB=AE 在△ABD与△AED中， ∠BAD=∠EAD LAD=AD. ∴.△ABD≌△AED(SAS), .BD=DE,∠ABD=∠AED ·∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C, .∠EDC=∠C,.DE=EC .AB+BD=AE +DE=AE+CE=AC. 小洁的证明思路：如图3，延长CB至点E,使得BE= AB,连接AE.则∠E=∠BAE. ·∠ABC=∠E+∠BAE,∴.∠ABC=2LE. .·∠ABC=2∠C..∠E=∠C,.AE=AC :AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠DAC :∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE, ∠BAE=∠E=∠C ∴∠ADE=∠DAE,.AE=DE=AC .AB+BD=BE +BD=DE=AC. (2)AB=CD-AC. 证明：如图，在BA的延长线上取一点E,使得AE= AC,连接DE. .·AD平分∠CAF ∴.∠CAD=∠EAD 在△ACD与△AED中， 「AC=AE ∠CAD=∠E.AD LAD=AD. .△ACD≌△AED(SAS). ..∠ACD=∠AED B D CD=DE .·.∠ACB=∠FED .∠ACB=2∠B.∴.∠FED=2∠B. .·∠FED=∠B+∠EDB,.∠EDB=∠B .DE=BE...BE =CD .'AB=BE-AE =CD-AC. 四边形中常见的辅助线 1.解：如图，延长CB到点H,使得BH=AE=7,连接AH. .·四边形ABCD是菱形 .AD∥BC,AB=AD,.∠ABH=∠BAD BH=AE,.△DAE≌△ABH(SAS), .AH=DE,∠AHB=∠DEA=60. DE AF...AH =AF. .△AHF是等边三角形， ..AH=HF =HB+BF=AE+BF=7+2=9, .DE=AH=9. B 第1题图 第2题图 2.证明：如图，连接AC :四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， 5 ..∠BAC=60 .△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60° ∴.∠BAE+∠EAC=60°，∠CAF+∠EAC=60° .∠BAE=∠CAF ·四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∴.∠ABC=60°， .△ABC和△ACD均为等边三角形， ∴.∠ACF=60°=∠ABC,AC=AB. T∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中，AB=AC, L∠ABC=∠ACF, .△ABE≌△ACF(ASA),.BE=CF. 3.(1)证明：MD⊥AC,ME⊥CB, ∴.∠MDC=∠MEC=90o. 又∠ACB=90°，∴.四边形DMEC是矩形 (2)解：如图，连接CM. 四边形CDME是矩形，∴.DE=CM. :∠ACB=90°，BC=3,AC=4, .AB=/BC+AC=32+42=5. 当CMLAB时，CM最短， 此时Sam=分4B~CN=8C·AC, CM=BC·AC12 AB 5 线段DE的最小值为号 G A M 第3题图 第4题图 4.解：(1)3 (2)证明：如图，延长EF交DA的延长线于点G. AD∥BC,∴.∠G=∠FEB,∠GAB=∠B. 又AF=BF,.△AGF≌△BEF(AAS), .GF=EF,:DF⊥EF,∴.DG=DE. .∴.∠ADF=∠EDF 5.(1)证明：AC⊥BE,DE⊥BE, ∴.AC∥DE,∠ACE=90. ·AD∥BE,∴.四边形ACED是平行四边形， 又.∠ACE=90°，∴.四边形ACED是矩形. (2)CF的长为号 6.解：(1)45 (2)①证明：如图，作AG⊥EF于点G 0 B 则∠AGE=∠AGF=90°. AB⊥CE,AD⊥CF,∴.∠B=∠D=90°=∠C, ∴.四边形ABCD是矩形. :∠CEF,∠CFE的外角平分线交于点A, .'AB =AG,AD=AG,..AB =AD, 2