2.与中点相关的辅助线-【理想中考】2024年河南中考数学题组训练

与中点相) (建议用时 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥ AD于点D,G为BC的中点.若AB=8, AC=6,求DG的值. 2.△ABC的中线BD,CE相交于点O,点F,G 分别是BO,CO的中点.求证：EF∥DG, EF =DG. ·3 长的辅助线 :30分钟) 3.如图，CD是∠ACE的平分线，DP垂直平 分AB于点P,DF⊥AC于点F,DE⊥BC于 点E. (1)求证：AF=BE; (2)若BC=3cm,AC=5cm,求CE的长. B 1. 4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD= ∠BAD=90°，E,F分别是对角线BD,AC 的中点 （1)请判断线段EF与AC的位置关系，并 说明理由； (2)若∠ADC=45°，请判断EF与AC的数 量关系，并说明理由. 5.(1)如图，AD是△ABC的中线，AB=8, AC=6,则AD的取值范围是 A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7 (2)在(1)问的启发下，解决下列问题：如 图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E, 交AD于点F,且AE=EF.求证：AC=BF ·3 6.如图，E,F,G,H是四边形ABCD各边的 中点 (1)证明：四边形EFGH为平行四边形； (2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是 7cm,则四边形EFGH的面积是 cm2. 2.辅助线集训 与角平分线相关的辅助线 1.证明：如图，连接AD. ·DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF .∴.∠BAD=∠CAD. rAB=AC 在△ABD和△ACD中， ∠BAD=∠CAD AD=AD ∴.△ABD≌△ACD(SAS),∴.BD=CD. B 第1颗图 第2题图 2.解：如图，过点D分别作DF⊥AB于点F,DG⊥EC于 点G,DH⊥AC交AC的延长线于点H. ·AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB,DH⊥AC,CE是 边AB上的高，∠CDA=45° ∴.DF=DH,∠DCH=45°+∠DAC ∠DCG=90°-∠B=90°-（∠CDA-∠B4D)=45°+∠BAD. ·AD是∠BAC的平分线， .∠DAC=∠BAD,∴.∠DCH=∠DCG r∠DCG=∠DCH 在△DCG和△DCH中， ∠DGC=∠DHC=90°， CD=CD .△DCG≌△DCH(AAS), .DH=DG..DF=DH. ∴.DF=DG,.ED平分∠BEC. 又CE是边AB上的高， LBED=∠BEC=45 3.解：(1)如图，过点P作PE⊥AB,垂足为E. :P是∠BAC平分线上一点，PE⊥AB,PD⊥AC, .'PE=PD =4. .点P到射线AB的距离为4. (2).PM∥AC,.∴.EMP=∠BAC=30° 在Rt△PEM中，PE=4,∴.PM=2PE=8. .·AP平分∠BAC,..∠BAP=∠PAC. .·PM∥AC,..∠MPA=∠PAC, .∠BAP=∠MPA,∴.AM=PM=8,.AM的长为8. B F B P D C 第3题图 第4题图 4.证明：(1)如图，过点E作EF⊥AD于点F. ∠B=90°，AE平分∠DAB,∴BE=EF E是BC的中点，.BE=CE,.CE=EF 又.·∠C=90°，EF⊥AD .DE平分∠ADC (2):AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,EF⊥AD, ∠B=∠C=90°， 可得△ABE≌△AFE,△DEF≌△DEC, .AB=AF,DC =DF .AB+CD=AF +FD=AD. 5.(1)证明：如图，过点D作DW⊥BA,DK⊥AC,DM⊥ BC,垂足分别为点N,K,M. 。 BD,CD分别平分∠CBA,∠ECA,DN⊥BA,DK⊥ AC.DM⊥BC .DM=DN=DK,∴.AD平分∠GAC (2)解：△ABC是等腰三角形. 证明：.·AB=AD,..∠ABD=∠ADB. :BD平分LABC,.LABD=∠CBD, ∴.∠ADB=∠CBD,∴.AD∥BC, ∴.∠GAD=∠ABC,∠DAC=∠ACB. :AD平分∠GAC, .∠GAD=∠CAD,∴.∠ABC=∠ACB, ∴.△ABC是等腰三角形. G Nf---- D D E B 第5题图 第6题图 6.(1)证明：如图，过点O作OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥ BC.垂足分别为D,E,F. .∠ACB,∠ABC的平分线L1,l2相交于点O, .OD =OF,OE =OF,.'.OD=OE, ∴.点O在∠BAC的平分线上 (2) 4 与中点相关的辅助线 1.解：如图，延长CD交AB于点E. .·AD平分∠BAC,CD⊥AD, ∴.∠CAD=∠EAD,∠ADC=∠ADE=90° 又：AD=AD,.△ACD≌△AED(ASA): ∴.AE=AC=6,CD=DE,即D是CE的中点 ·G为BC的中点，∴.DG为△CEB的中位线 .DG=BE7(AB-AE)=)×(8-6)= --.DA G B 第1题图 第2题图 2.证明：如图，连接DE,FG. ·BD,CE是△ABC的中线， .D,E是AC,AB的中点， DE/BC,且DE=2BC 同理，FG是△BOC的中位线， FG/∥BC,且FG=2BC, .DE∥FG,且DE=FG ∴.四边形DEFG是平行四边形， .EF∥DG,EF=DG. 3.(1)证明：如图，连接AD,BD. PD垂直平分AB,.AD=BD. .·CD平分∠ACE,DE⊥BC,DF⊥AC .DE=DF,∠AFD=∠BED=90°. 在R△ADP和R△BDE中，{P=BC: ∴.Rt△ADF≌Rt△BDE(HL),∴.AF=BE. (2)解：DE=DF,∠CFD=∠CED=90°，CD=CD, ∴.Rt△CDE≌Rt△CDF,.∴.CE=CF. 设CE=CF=xcm,则AF=AC-CF=(5-x)cm, BE=BC+CE=(3+x)cm. 0 AF=BE,.5-x=3+x, ..x=1,..CE=1cm. p A 第3题图 第4题图 4.解：(1)EF⊥AC 理由：如图，连接AE,EC ·∠BCD=∠BAD=90°，点E是BD的中点， CE-BD.AE-2BDAE-CE. 点F是AC的中点，∴.EF⊥AC (2)EF=24AC 理由：：∠BCD=90°，点E是BD的中点， ∴CE=DE=2BD,∠ECD=∠CDE :∠BAD=90°，点E是BD的中点， ÷AE=DE=BD,.∠EAD=∠ADE. .·∠ADC=45° .∠AEC=∠AEB+∠BEC=∠EAD+∠ADE+ ∠ECD+∠EDC=2∠ADE+2∠CDE= 2(∠ADE+∠CDE)=2∠ADC=90° 点F是AC的中点，F=之AC 5.解：(1)C (2)证明：如图，延长AD至点M,使得DM=AD,连 接BM, .·AD=DM,BD=CD,∠ADC=∠MDB ∴.△ADC≌△MDB,∴.∠M=∠CAD,BM=AC AE=EF,∴.∠CAD=∠AFE. ∠MFB=∠AFE,∴.∠BMF=∠BFM, .BM=BF..'.AC BF. D 第5题图 第6题图 6.（1)证明：如图，连接BD :E,F分别为AD,AB的中点， EF是△ABD的中位线EF=之BD,EF∥BD, 同理，CH=2BD,CH/BD, .EF=GH,EF∥GH ∴.四边形EFGH为平行四边形 (2)3.5 三角形中常见的辅助线 1.证明：如图，在CD上取一点E,使得CE=AB,连接AE. .CD=AB+BD,∴.DE=BD. AD是BC边上的高，AD是BE的垂直平分线， ·5 ..AB=AE=CE,.∠B=∠AEB=2∠C b B D E 第1题图 第2题图 2.证明：.∠B=60° ∴.∠BAC+∠BCA=180°-60°=120° 'AD,CE分别平分∠BAC与∠BCA, LFAC+LFCA(BC+C)-1 ·.∠AFE=∠CFD=60°，∠AFC=120°. 如图，在AC上截取AG=AE,连接FG. AE=AG, 在△AEF和△AGF中，{∠EAF=∠CAF, LAF AF ∴.△AEF≌△AGF(SAS), ∴.∠AFG=∠AFE=60°，FE=FG, .∴.∠CFG=∠CFD=60°. r∠CFD=∠CFG, 在△CDF和△CGF中， CF=CF. L∠BCE=∠ACE, ·.△CDF≌△CGF(ASA), .FD =FG...FE=FD. 3.解：(1)DE=2EF. (2)证明：如图，作DG∥AE交BC于点G, 4 D 32 B 则∠1=∠E,∠3=∠2. AB=AC,.∠B=∠2，∴.∠B=∠3，∴.BD=DG CE=BD,∴.DG=CE. 「∠1=∠E, 在△DFG和△EFC中， ∠4=∠5， LDG =CE. ·.△DFG≌△EFC(AAS), .·.DF=EF.·.DE=2EF 4.(1)证明：如图1-1，过点E作EG∥AB交BC于点G, 则∠CGE=∠ABC,∠GEF=∠D,∠DBF=∠EGF AB=AC,∴∠ABC=∠C ∴.∠C=∠EGC,∴.CE=EG CE=BD,.'.BD =GE. r∠D=∠GEF, 在△DBF和△EGF中，BD=GE L∠DBF=∠EGF, ∴.△DBF≌△EGF(ASA),∴.DF=EF. 解：(2)2正=1 EF n (3)成立，如图3-1，过点E作EG∥AB交CB的延 长线于点G,∴.∠EGC=∠ABC. AB=AC,.∠ABC=∠C, ∴.∠EGC=∠C,∴.EG=EC. EG∥AB,△DFB∽△EFG,EG=EF BD DF BD=- DF 1 n CE心BD=EG,EF