1.与角平分线相关的轴助线-【理想中考】2024年河南中考数学题组训练

辅助线集训 与角平分线相关的辅助线 1.证明：如图，连接AD. ·DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF .∴.∠BAD=∠CAD. rAB=AC 在△ABD和△ACD中， ∠BAD=∠CAD AD=AD ∴.△ABD≌△ACD(SAS),∴.BD=CD. B 第1颗图 第2题图 2.解：如图，过点D分别作DF⊥AB于点F,DG⊥EC于 点G,DH⊥AC交AC的延长线于点H. ·AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB,DH⊥AC,CE是 边AB上的高，∠CDA=45° ∴.DF=DH,∠DCH=45°+∠DAC ∠DCG=90°-∠B=90°-（∠CDA-∠B4D)=45°+∠BAD. ·AD是∠BAC的平分线， .∠DAC=∠BAD,∴.∠DCH=∠DCG r∠DCG=∠DCH 在△DCG和△DCH中， ∠DGC=∠DHC=90°， CD=CD .△DCG≌△DCH(AAS), .DH=DG..DF=DH. ∴.DF=DG,.ED平分∠BEC. 又CE是边AB上的高， LBED=∠BEC=45 3.解：(1)如图，过点P作PE⊥AB,垂足为E. :P是∠BAC平分线上一点，PE⊥AB,PD⊥AC, .'PE=PD =4. .点P到射线AB的距离为4. (2).PM∥AC,.∴.EMP=∠BAC=30° 在Rt△PEM中，PE=4,∴.PM=2PE=8. .·AP平分∠BAC,..∠BAP=∠PAC. .·PM∥AC,..∠MPA=∠PAC, .∠BAP=∠MPA,∴.AM=PM=8,.AM的长为8. B F B P D C 第3题图 第4题图 4.证明：(1)如图，过点E作EF⊥AD于点F. ∠B=90°，AE平分∠DAB,∴BE=EF E是BC的中点，.BE=CE,.CE=EF 又.·∠C=90°，EF⊥AD .DE平分∠ADC (2):AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,EF⊥AD, ∠B=∠C=90°， 可得△ABE≌△AFE,△DEF≌△DEC, .AB=AF,DC =DF .AB+CD=AF +FD=AD. 5.(1)证明：如图，过点D作DW⊥BA,DK⊥AC,DM⊥ BC,垂足分别为点N,K,M. 。 BD,CD分别平分∠CBA,∠ECA,DN⊥BA,DK⊥ AC.DM⊥BC .DM=DN=DK,∴.AD平分∠GAC (2)解：△ABC是等腰三角形. 证明：.·AB=AD,..∠ABD=∠ADB. :BD平分LABC,.LABD=∠CBD, ∴.∠ADB=∠CBD,∴.AD∥BC, ∴.∠GAD=∠ABC,∠DAC=∠ACB. :AD平分∠GAC, .∠GAD=∠CAD,∴.∠ABC=∠ACB, ∴.△ABC是等腰三角形. G Nf---- D D E B 第5题图 第6题图 6.(1)证明：如图，过点O作OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥ BC.垂足分别为D,E,F. .∠ACB,∠ABC的平分线L1,l2相交于点O, .OD =OF,OE =OF,.'.OD=OE, ∴.点O在∠BAC的平分线上 (2) 4 与中点相关的辅助线 1.解：如图，延长CD交AB于点E. .·AD平分∠BAC,CD⊥AD, ∴.∠CAD=∠EAD,∠ADC=∠ADE=90° 又：AD=AD,.△ACD≌△AED(ASA): ∴.AE=AC=6,CD=DE,即D是CE的中点 ·G为BC的中点，∴.DG为△CEB的中位线 .DG=BE7(AB-AE)=)×(8-6)= --.DA G B 第1题图 第2题图 2.证明：如图，连接DE,FG. ·BD,CE是△ABC的中线， .D,E是AC,AB的中点， DE/BC,且DE=2BC 同理，FG是△BOC的中位线， FG/∥BC,且FG=2BC, .DE∥FG,且DE=FG ∴.四边形DEFG是平行四边形， .EF∥DG,EF=DG. 3.(1)证明：如图，连接AD,BD. PD垂直平分AB,.AD=BD. .·CD平分∠ACE,DE⊥BC,DF⊥AC .DE=DF,∠AFD=∠BED=90°. 在R△ADP和R△BDE中，{P=BC: ∴.Rt△ADF≌Rt△BDE(HL),∴.AF=BE. (2)解：DE=DF,∠CFD=∠CED=90°，CD=CD, ∴.Rt△CDE≌Rt△CDF,.∴.CE=CF. 设CE=CF=xcm,则AF=AC-CF=(5-x)cm, BE=BC+CE=(3+x)cm. 0辅助线集训 与角平分线相关的辅助线 (建议用时：30分钟) 1.如图，点B,C分别在∠A的两边上，点D 是∠A内一点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 别为E,F,且AB=AC,DE=DF.求证： BD=CD. 3.如图，已知∠BAC=30°，P是∠BAC平分 线上一点，PM∥AC,PD⊥AC,PD=4. (1)求点P到射线AB的距离； (2)求AM的长 M 2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分 线，CE是边AB上的高.若∠CDA=45°，求 ∠BED的度数 .29· 4.如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°， 点E为BC的中点，且AE平分∠BAD. 求证：(1)DE平分∠ADC; (2)AB +CD=AD. 6.如图，在△ABC中，∠ACB,∠ABC的平分 线1，山2相交于点0. (1)求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)连接OA,若AB=AC=5,B0=4,A0=2, 则点O到三角形三条边的距离是 5.如图，BD和CD分别平分△ABC的内角 ∠CBA和外角∠ECA,BD交AC于点F,连 接AD. (1)求证：AD平分∠GAC: (2)若AB=AD,请判断△ABC的形状，并 证明你的结论 .30.