广西壮族自治区百色市右江区百色高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二数学月考 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知A2,V3、B(1,0),则直线AB的倾斜角为() A B. 2π 3 C. D.号 2.设a∈R,则a=1是“直线：m+2y一1=0与直线l2:x+(a十1)y十4=0平行的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如图，在正三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM=3MG,记 PA=a,PB=bPC=c,则M=() M A. 3-11- B.-3a+6+e 1- -a+二b+-C 444 434 G 1-1x1 1-11- c.4a+4b+40 D.-4a+3+40 B 4.若点A(2,1)关于直线1：y=x+b(k,b∈R)的对称点为A'(-4,3),则b=() A.-3 B.-1 C.3 D.5 D C 5.在棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，点M为棱CC的中点，则点B到直 A B 线AM的距离为() A.√2 B.√5 C.2 D.5 D 6.已知实数b≠0，m≠0，若直线1：by-x+3=0与圆x2+y2-4x-2y+4=0的两个交点A,B恰好关于直 线2x-y+b=0对称，则bm=（) A.-4 B.-2 C.4 D.2 7.己知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为2，那么直线OM的斜率的取值范围是() A.「26,62B. √7√7 -2’2 c.I ⑧、点M是椭圆广+发卫（α>b>0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点P,与y轴相交于 P,Q两点，若△PQM是直角三角形，则该椭圆的离心率为() 试卷第1页，共4页 A.2-√5 B.5-1 c.5-5 D.6-V5 2 2 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.己知椭圆C:+亡=1，且两个焦点分别为乃，R,P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是() 1612 A.椭圆C的离心率为V B.△P耳E的周长为12 2 C.P的最小值为3 D.PPF,的最大值为16 10.以下四个命题中正确的是() A.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为x+2y-10=0 B.向量=(4,3)是直线3x-4y-3=0的一个方向向量 C.直线x+y-1=0与直线2x+2y+1=0之间的距离是√2 D.直线xcs9+6v+2=08eR)的倾斜角的范围是引[爱可 11.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其 中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于己知数的动点轨迹为直线或圆后世把这种圆称为阿波罗尼斯 圆.已知直角坐标系中A(-2,0),B(2,0),满足PA=2PB的点P的轨迹为C,则下列结论正确的是（) 4、点P的锁选是以©侣为网心，号为半仔的圆 3 B.轨迹C上的点到直线3x-4y+5=0的最小距离为 C.若点(x,y)在轨迹C上，则x+√3y的最小值是-2 D.圆r+(y-a=4与轨迹C有公共点，则a的取值范围是_6sas46 3 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设m为正实数，若直线x-y=m被圆x2+y2=3所截得的弦长为2m,则m= 13.已知AB为椭图等-1Q>b>0)上的左右顶点，设点P为附圆上异于4B的任意一点，直线P4PB 的斜车分别为长人：若搭四离心率为9男4长为一 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形， PA=AB=2,点E,F分别为CD,CP的中点，点T为APAB内的一个动点（包括 边界)，若CT∥平面AEF,则点T的轨迹的长度为 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=4,a2=(c+2)2+12 (1)求内角A: (2)若S。Be=6N3,M为BC边上的中点，求线段AM的长. 16.某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人 频率 的周末“阅读时间（单位：小时），按照[0,0.5)，[0.5,1)，[4,4.5] 组距 0.50 分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示 (1)求图中a的值： 0.30 (2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数： 819 (3)采用分层抽样的方法从[1,1.5)，[1.5,2)这两组中抽取7人，再从 0.08 0.04 7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 00.511.522.533.544.5阅读时间（小时） 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，∠ABC=90°，AB‖CD,AB=2CD=2BC=4,平面 PAD⊥平面ABCD,M是棱PC上动点. (I)求证：平面MBD⊥平面PAD; (2)在线段PC上是否存在点M,使得直线AP与平面MBD所成角为30？ 若存在，求出兴的值：考不存在，说明理白。 试卷第3页，共4页 18.已知OC的圆心在直线y=x上，且与直线y=1相切与点（←1,1）. (1)求⊙C的标准方程： (2)求过点P(0,1)且被⊙C截得弦长为2√3的直线的方程； (3)已知⊙O:x2+y2=(1>0),是否存在这样的的值使得⊙O能平分⊙C的周长？若存在，求出r的值： 若不存在，请说明你的理由. 回已知椭圆C爷+Q>b>0的左，石焦点分别为R,片，短轴长为2V3,点M(6,-在C (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知点A(0,3),点G为椭圆C上一点，求△AGF,周长的最大值： (3)过C的左焦点，且斜率不为零的直线I交C于P2两点，求△EPQ面积的最大值. 试卷第4页，共4页 高二数学月考 1.B【详解】设直线AB的倾斜角为a,由斜率公式可得ama=5-0-5, 2-1 0≤a<x,因北，a-号故选：B 2.A【详解】，当=1时，直线1：x+2y-1=0与直线12：x+2y+4=0, 两条直线的斜率都是片我距不相等，得到两条直线平行，放前者是后者的充分条件， :当两条宜线平行时，得到。品产君解得在2， ∴后者不能推出前者，.前者是后者的充分不必要条件.故选A 3.A【详解】因为G为△ABC的重心，所以AG=(aB+AC)=(P丽-PA+Pc-A)=(6+-2d), 又点M是线段PG上的一点，且PM=3MG, 所以4m=-40+a=G+a+列+子40=-ā子6+-2词=5+子a 4,D【详解】直线44的斜率为)=-了，直线为线段A4的中垂线，从而=3， 又线段AA的中点(-1,2)在1上，故2=-3+b,解得b=5.故选：D. 5.C【详解】以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， B(2,2,0),A(2,0,2),M(0,2,1),则i= AM (-2,2,-1)221 AM V4+4+13'33: A B t-.......... M 点B到直线AM的距离为 6.C【详解】圆化为(x-22+(y-12=1,圆心的坐标为(2,1) 2×2-m+b=0 表超金，直发2红-0经过且与直1垂正，从面可气(-1 b=-2 解得 m=2,所以b=(-22=4故选：C vx+v 7.C【详解】设动点M(x,y),则 =2, V(x-3)2+y2 答案第1页，共7页 化简得(x-4)+y2=4,所以点M的轨迹为圆E:（x-4)+y2=4, M 如图，过点O作圆E的切线，连接EM,则EM=2,O=4, M 所以∠M0B-名同理∠MOB-君，则直线OM的斜率范国为 33 6 3’3 8.D【详解】圆M与x轴相切于焦点F,MF1x轴，可设M(C,y), M在指国上，导茶1，解钓：y上日因M约半径为 ;作MNLy轴，垂足为N, a :MP=Mg,.∠PMN=∠MQ,△PMQ为直角三角形， :Nw0=,c-5. ,.√2ac=a2-c2,即e2+2e-1=0,又 2 a 0<e<l,所以e=6-v2 2 9BD【详解】筋面C活若-1，则-h-2e=- 对于：=台子故A误 对于B:△P的周长为P+PF+耳=2a+2c=12,故B正确： 对于C:P的最小值为a-c=2,故C错误 对于D:PRP≤P+PK:i16,当且仅当2F-Pg-4时等号成立，故D正瑞 4 10.BD【详解】A选项：当直线过原点时，方程为y=-x, 当直线不过原点时，设方程为：+=1，则10+10=1，解得b=5,所以直线方程为+2y-10=0, 2b b 2bb 综上，所求直线方程为x+y=0或x+2y-10=0,故A选项错误： B选项：由方向向量的定义知正确： C选项：直线x+y-1=0,即为2x+2y-2=0, 故直线x+y-1=0与直线2x+2y+1=0之间的距离为2-_35 故C选项错误； √4+44 D选项：直线xcos0+3v+2=00eR)的斜率k=- 「5 cos6 3 Γ3’3 所以颅斜角的范国是®[怎，故D选项正确：赦选：BD 答案第2页，共7页 11.ACD【详解】设P(x,y),由 |PA=2PB→(x+2)°+=4(x-2)°+y2, .3 x+ 4 整理得x- 10) +y广=64，显然点P的轨迹是以C 3 9 0为圆心， 10 ,一为半径的圆，故A正确； x=-√/3y-2 B×10-0+5 圆心c个侣0到百线红-4+5=0的距离B 8 =3>r= 5 3 所以钱迹C上的点到直线-5：0的最小距离为d-r=3一写放B错误： 设t=x+3y,易知圆心C 侣0到直线：=+，的距宾 10 267, 故C正确： 易知圆x2+(y-a)2=4的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意， 则圆心距d2= 00+a288+2 2 9 Γ33 解之得46≤a546,故D正确故选：ACD 3 3 12.√5【详解】x2+y2=3的圆心为(0,0)，半径为√5，圆心到x-y=m的距离为 √2 所以m=3 因为l>0,解得m=√2.故答案为：√2 2 13. 子025【详解】解：由怎意可得A(a0,B(a0,设P60小，号a, 则由P在椭圆上可得好-a-兰6，六直线AP与8P的斜率之积为，力为三片三5 a2 x-a x+ad a “椭圆离心率为5 4 4.5/5【详解】由题知，AB,AD,AP两两垂直 以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 记AB的中点为G,连接CG, 因为ABCD为正方形，E为CD中点，所以AG/ICE,且AG=CE, 所以AGCE为平行四边形，所以CG∥AE, 答案第3页，共7页 又CG￠平面AEF,AEC平面AEF,所以CG/I平面AEF, 记点T的轨迹与PB交于点H,由题知CH/平面AEF, 因为CH,CG是平面CHG内的相交直线，所以平面CHG/平面AEF, 所以GH即为点T的轨迹， D 因为A(0,0,0),E(1,2,0),F(1,1,1),C(2,2,0),P(0,0,2),B(2,0,0), 所以PB=(2,0,-2),CP=（2,-2,2)AE=4,2,0)AF=4,1,1), 设P豆=2PB,则C五=CP+P五=CP+PB=（2,-2,2H1(2,0,2上(2-2,2,2-21)， AE.ii=x+2v=0 设=（(x,y,=)为平面AEF的法向量，则 令y=1得i=(-2,1,1), AF.ni=x+y+z=0' 因为C豆⊥元，所以-2(21-2)-2+2-22=0， 解得2己 、2 则c五32,3又Gc=A正=L,2,0) 所以o=x+西=20号)传o号》所a陋-引6号- 15.(12)V万 【详解】(1)由已知条件b=4,=(c+2)2+12=c2+4c+16=c2+bc+b,即c2+b2-a2=-bc, 余定湿可得a口亲号因为4：0，从而空 2bc (2因为6=44=号.自Smd2×565,解物e-6, 因为M为BC边上的中点，所以AM=(AB+AC), 平方得：A=西+4C=a西+AC+2 Co4=7,所以4=7 3 16.(1)a=0.40(2)2.06小时(3) 【详解】(1)由题意，高一学生周末“阅读时间°在[0,0.5)，[0.5,1)，，[4,4.5]的频率分别为0.04,0.08,0.15， 0.5a0.25,0.15,0.07,0.04,0.02 由1-(0.04+0.08+0.15+0.25+0.15+0.07+0.04+0.02上0.5a,得a=0.40. (2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时. 因为前5组频率和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5，前4组频率和为0.47<0.5，所以2<m<2.5 答案第4页，共7页 由0.50(-2)=0.5-0.47，得m=2.06. 故可估计该校高一学生周末“阅读时间的中位数为2.06小时. (3)由题意得，周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的人分别有15人，20人，按分层抽样的方法应分别抽取3 人、4人，分别记作A,B,C及a,b,c,d 从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间2={AB,AC,Aa,Ab,Ac,Ad,BC,Ba,Bb,Bc,Bd,Ca,Cb,C(, Cd,ab,ac,ad,bc,bd,cd,共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等， 抽取的2人在同一组包含的样本点有AB,4C,BC,ab,ac,d,bc,bdcd,共9个，故所求概率p=2 9_3 17.(1)证明见解析（②）存在， 或 2 【详解】(1)因为AB/1CD,CD=BC=2,∠ABC=90°，所以∠BCD=90°，BD=2√5， 在△ABD中∠ABD=45°，AB=4,由余弦定理得AD=√AB2+BD2-2AB.BDcos.∠ABD=2√2， 所以AD2+BD2=AB2,即∠ADB=90°，AD⊥BD, 取AD的中点O,连结PO,因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD, 又面PAD⊥面ABCD,面PADO面ABCD=AD,POC面PAD, 所以PO⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,所以PO⊥BD, 又AD⊥BD,PO∩AD=O,PO,ADC平面PAD,所以BDL平面PAD, 又BDc平面BDM,所以平面MBD⊥平面PAD ZA (2)取AB的中点N,连结ON,则ON11BD,所以AD⊥ON 以{O,OD,0P}为正交基底建立空间直角坐标系， 则A(0,-V2,0,D(02,0,222,0,qV2,22,9,f0,0Wg, 设PM=PC,0≤元≤1，则 DM=Dp+PM-DP+PC=(0,-V2,6)+2(W2,2W2,-√6)=(2,221-V2,N6-√6， 又DB=(2V2,0,0）,设平面BDM的一个法向量为i=c,y,), 则 DM.i=0mV2x+2(21-1)y+5A-元2=0 即 DB.=0 2W2x=0 ,若：=22-1， 取i=(0,V3(2-1),21-1）,Ap=(0,V2,6), 由直线AP与平面MBD所成角为30°，得 答案第5页，共7页 sin30=lcos(A亚 AP元6(-1)+622-1) 632-2 AP网8V0+3(2-1)2+(2-1y 2W2V7米-102+4 化简得101-132+4=0解得1=号或4”号 当PM-或24时，直线AP与平面BDM所成角为30 PC2 5 18.(1)(x+1)2+(y+1)2=4;(2)x=0或3x-4y+4=0:(3)r=√6. 解：因为⊙C与直线y=1相切与点(-1,1)，所以圆心在直线x=-1上. 又圆心在直线y=x上，所以，圆心坐标为(-1，-1)，从而半径为2. 所以，⊙C的标准方程为(x+1)+(y+1)=4; (2)解：因为直线截得圆所得弦长为23，圆的半径为2， 所以，由弦长公式可知圆心C(-1-1)到该直线的距离d=22-(5)=1· 若过P的直线不存在斜率，即x=0,经检验圆心到其距离为1，符合题意， 若过P的直线存在斜率设为k,则直线方程为：-y+1=0, 则d()-+1,解得k-3,此时直线方程为3x4+4=0, Vk2+1 综上所述，符合题意的直线方程为x=0或3x-4y+4=0: (3)解：若OO能平分⊙C的周长，则它们的公共弦必过⊙C的圆心. 将两圆方程对应相减，可得公共弦所在的直线方程为：2x+2y+r2-2=0. 将C(-1,-1)代入，解得r2=6,r=√6 此时⊙O:x2+y2=r2(r>0)的圆心为O(0,0),半径为r=√6， ⊙C:(x+1)+(y+1)=4的圆心为C(-1,-1),半径为R=2, 因为V6-2<OC=√2<√6+2，即r-R<OC<R+r, 所以，两圆位置关系属于相交，符合题意 所以，r=√6时，⊙O能平分⊙C的周长 19.0号=1：@2而+48R 答案第6页，共7页