专题7.4 三角函数的应用（三大题型训练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（苏教版2019必修第一册）

专题7.4 三角函数的应用 题型1 几何中的三角函数模型 1．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.65 【知识点】几何中的三角函数模型、函数图像的识别 【分析】分析直线移动过程中随的长的变化情况，通过求出一些特殊点的函数值，结合函数的单调性以及直线的位置关系判断函数图像. 【详解】由题意可知，随着从平行移动到单调递增，故可排除选项B．由题意可得等边三角形的边长为．    当时，，此时最小； 当时，，此时最大； 当时，如答图1，则，为等边三角形， 此时， 在等边中，， ； 又当时，图中的； 故当时，对应的点在图中两点连接线段的下方，结合选项可得选项D正确．    故选：D. 2．（23-24高一上·山东烟台·期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】几何中的三角函数模型 【分析】根据题设可得且，结合图分析各项的正误. 【详解】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且， 所以，A错； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错； 当，则，C错； ，D对. 故选：D 3．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为α，且小正方形与大正方形面积之比为1∶5，则tanα的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、几何中的三角函数模型 【分析】方法一: 用直角三角形较短的直角边长x及α表示出大小正方形边长,由小正方形与大正方形面积之比为1∶5求得后再求tanα的值. 方法二: 设较长直角边边长为x，小正方形边长为a，大正方形的边长为b，由小正方形与大正方形面积之比为1∶5及直角三角形边关系求得,进一步求tanα的值. 【详解】方法一：设直角三角形较短的直角边长为x，由于， 则较长直角边长为，所以小正方形的边长为，大正方形的边长为， 因为小正方形与大正方形面积之比为1∶5， 所以，所以， 所以， 由于，解得． 方法二：设较长直角边边长为x，小正方形边长为a，大正方形的边长为b， ，∴，，， ∴，， 故选：D． 4．如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、三角函数在生活中的应用、几何中的三角函数模型 【分析】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用． 【详解】设，，则，， 所以矩形ODEH的面积， 又， 所以风景区面积， 当时，有最大值，故最多需要万元的修建费． 故选：D． 5．记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角函数在生活中的应用、几何中的三角函数模型、诱导公式五、六、任意角的概念 【分析】画出图像，由题意分析得， 利用已知条件求解出化简即可. 【详解】如图所示： 由题意得分针每分钟转rad， 则分钟后转了rad， 则点到轴的距离与时间t的关系可设为： ， 当时，点在钟表的12点处，此时， 所以， 所以可以取， 此时， 故选：D. 6．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】几何中的三角函数模型 【分析】设直角三角形的短的直角边长为，则较长的直角边长为，得到， 求得，即可求解. 【详解】根据已知条件四个直角三角形全等，所以设直角三角形的短的直角边长为， 则较长的直角边长为， 又由大正方形的面积为，所以边长为，即直角三角形的斜边为， 根据勾股定理，可得， 整理得，解得或(负值舍去)，所以. 故选：C 7．“传得淮南术最佳，皮肤退尽见精华．旋转磨上流琼液，煮月铛中滚雪花．”推豆花是传统的劳动技能，早在汉朝劳动人民发明了豆腐，通过连杆带动石磨转动，碾碎黄豆，磨出豆浆，再利用胆水，点出豆花，压成豆腐（如图1）．推豆磨的过程（图2），推磨人（身体在点）发力推动连杆，带动石磨逆时针转动，随着连杆移动，人随着连杆移动适当倾斜．当连杆在处与磨盘圆面相切时，人侧倾到，此时能使得推磨效率最大．若，，，，则下列等式成立的是（    ）              A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】几何中的三角函数模型 【分析】如图，根据相似三角形的性质可得，利用三角函数的定义可得、，进而可得，整理即可. 【详解】由题意知，，延长交于点E， 则，有， 如图， ， 在中，，即， 所以， 在中，，即， 所以， 即. 故选：C. 8．某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角度测量问题、几何中的三角函数模型、已知三角函数值求角 【分析】取，设,可得，从而得出结论. 【详解】解：取，设 则 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为 则 故选：B 9．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】几何中的三角函数模型 【分析】由题意，周期为2，秒钟后，旋转角为，求出点的横坐标，从而求出点到直线的距离. 【详解】设， 由题意得，所以，由起始位置得， 故点到直线的距离，. 故答案为：，. 10．如图，直角梯形公园中，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路（点，分别在边与上），为切点，令，则道路的长度与的函数关系为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】几何中的三角函数模型 【分析】求出，分别求出，的表达式，从而求出关于的表达式． 【详解】如图，当重合时，最大，此时，而当重合时，最小，此时 所以，则， 在中，， 在中， ， ， 即道路的长度与的函数关系为， 故答案为：． 11．（23-24高一下·上海·期中）如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 【答案】(1)； (2)；. 【难度】0.65 【知识点】几何中的三角函数模型、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用三角函数将矩形的长、宽表示出来，即可得到矩形的面积，进而得解； （2）利用三角函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）依题意，，，则，， 所以矩形的面积，定义域为. （2）因为，所以当时，取得最大值. 12．高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设，    (1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； (2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值. 【答案】(1)时，达最大值 (2)当时，达到最大值 【难度】0.65 【知识点】几何中的三角函数模型 【分析】（1）由三角形为直角三角形，，得到，在直角中，易得，再由点为半圆上一点，得到，，从而得到然后求解； （2）在直角中，利用等面积法得到，再在直角中，得到，从而求解. 【详解】（1）因为三角形为直角三角形，， 所以， 在直角中，因为，所以. 因为点为半圆上一点，所以，又因为， 所以， 所以 ， 因为， 所以当，即时，达最大值； （2）在直角中，因为， 所以， 因为，所以， 又因为所以， 在直角中，， 所以，   ，， 所以当即时，达到最大值， 答：当时，达到最大值. 题型2 三角函数在生活中的应用 1．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解正弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 2．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 3．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【详解】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 4．（24-25高一下·四川巴中·月考）如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】建立适当平面直角坐标，设盛水筒经过秒后到水面的距离为米，结合题意先依次得到筒车半径、和，，进而求出，接着求出盛水槽的正上方所对的弦距离水面的高度为，再解不等式即可求解. 【详解】以筒车中心为原点，与水面平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 设盛水筒经过秒后到水面的距离为米， 由题可知筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 又由题知，， 则，， 作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，则（H为中点）， 则距离水面的高度为， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 故，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，有秒能把水倒入盛水槽. 故选：A. 5．（24-25高一下·四川·期中）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 米的时间为（ ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合题意中的实际意义，确定盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为圆周，即可得到答案. 【详解】根据题意，以为坐标原点，平行于水面的直线为轴，垂直于水面的直线为轴， 建立平面直角坐标系，如图所示， 则，则，所以， 如图，盛水筒距离水面的高度为时，分别在点处， 则由对称性可得，则， 因筒车按逆时针方向每分钟转1圈，所以筒车转1圈的时间为60秒， 由上分析，盛水桶距离水面的高度不低于的时间为圆周， 所以盛水筒距离水面的高度不低于的时间为秒. 故选：D. 6．（24-25高一下·四川凉山·期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、解正弦不等式 【分析】根据条件，求得或，再根据条件得或，利用的性质，即可求解. 【详解】因为中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即， 又，由，得到， 因为最低点到地面距离为，所以，得到， 又，则， 若，则， 由，得到， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 若，则， 由，得到，即， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 故选：B. 7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）（多选题）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】从图象可以得到，，和最小正周期，确定函数解析式，再依次对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，从图象可以看出，m，A正确； B选项，点A运动一周所用的时间为秒，即1分钟，B正确； C选项，由图象可知，，， ，故， 将代入可得，即， 又，故，解得， 故初始状态时直线OA与水面所成的角为，C正确； D选项，，令，得， 即点A到水面的初始高度为5m，D错误. 故选：ABC 8．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 9．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据正弦函数的实际应用，由题意列出运动轨迹的函数解析式，进而写出不等式，求出结果. 【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离地面的高度为，其中，， 由题意得，，，周期，所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，，解得，， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故答案为：12. 10．（2025高二下·陕西·学业考试）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过 可以达到最高点（精确到1s）. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据实际含义分别求的值，列方程，解简单三角方程得结果. 【详解】振幅即为半径，即； 因为逆时针方向每分转1.5圈，所以； ； ， 所以，将代入， 可得， 得， 当时，. 故答案为： 11．（24-25高一下·陕西渭南·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 【答案】(1)； (2)6. 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据已知有、、求解析式中的参数，即可得； （2）根据正弦型函数性质求值域范围，即可得点到轴的距离的最大值. 【详解】（1）由题意，，则， 由题意，即，又，则. . （2）由（1）知， 当时，， ，故， 点到轴的距离的最大值为6. 题型3 三角函数在物理学中的应用 1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得. 【详解】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是. 故选：B 2．（24-25高一下·吉林长春·月考）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】根据给定的函数，代入求出函数值即可. 【详解】函数，当时，. 故选：A 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在物理学中的应用 【分析】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以. 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）将漏斗挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放纸板，纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图①，已知一根长为的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是（图②），其中，则估计线的长度应当是（精确到）（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数在物理学中的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解. 【详解】由，得．由函数的图象可知函数的周期为0.4s， 所以，即． 故选：C． 5．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在物理学中的应用 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是准确求出函数解析式，D选项容易理解为函数值相同，实际只需函数值的绝对值相同即可. 6．（23-24高一下·河南南阳·月考）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”．某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解正弦不等式、三角函数在物理学中的应用 【分析】由三角函数的对称轴与周期的关系知函数的周期为，进而求出，令，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，． 故函数的周期为，， 可得，位移的大小即，故令， 得， 所以，或， 解得，或，． 故总时间为： ． 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于的总时间为． 故选：D． 7．（2025·河南开封·二模）（多选题）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】由可判断A；求得周期可求频率判断B；利用可判断C；求得，可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误； 因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由，又， ， 所以小球从到时运动的路程是，故D正确. 故选：ACD. 8．（2025·重庆·一模）（多选题）声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】三角函数在物理学中的应用、诱导公式五、六、诱导公式二、三、四 【分析】根据题意结合诱导公式可得出合乎题意的模型. 【详解】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，， 或，， AB选项满足题意， 故选：AB. 9．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】根据题意有被动轮和主动轮同时转动，转动时间相同，据此可以得到周期，由此可得两点再次同时回到初始位置的时间. 【详解】设主动轮、被动轮的周期分别为，则， 故，所以，故需要经过4s，同时回到起点． 故答案为： 10．（24-25高一上·全国·课前预习）简谐振动 简谐振动（，）中，A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为 ，周期T＝ ，而表示单位时间内往复振动的次数，称为 ，称为 ，时的相位φ称为 ． 【答案】 振幅 频率 相位 初相 【难度】0.94 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】略 【详解】略 11．（24-25高一下·福建泉州·月考） 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 (1)请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001） (2)定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：） (3)利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61.5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1） (4)已知一个回归年的实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差. 【答案】(1)答案见解析 (2)365.2434 (3)123天 (4)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）由表格中数据，利用公式计算得解. （2）利用函数图象过点求出，再利用周期公式求解. （3）求出函数图象的对称轴方程，借助对称求解. （3）利用回归年的天数不是整数，为减少误差说明. 【详解】（1）由，，得， 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5700 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 11.5667 （2）在中，，且过点，， ，又，即， 则，解得， 一个周期即一个回归年，故一个回归年对应的天数约为365.2434， （3）由（2）知的周期，则为图象的对称轴， A观测站正午太阳高度角为61.5649度时，即， 则与图象的一个交点为， 与的交点离点最近的点与点关于直线对称， 于是，即， 而，所以两次出现间隔天数至少为123天. （4）由于一个回归年的实际天数为365.2422，不为整数， 若每年设为365天，则每百年会少24天，若每年设为366天，则每百年会多76天， 设置闰年可以让年平均天数尽可能接近回归年的天数，减少年平均天数的误差， 现行格里高利历下的年平均天数为， 与一个回归年实际天数的误差为天. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2 (2)图象见解析 (3)5 【难度】0.65 【知识点】三角函数在物理学中的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解； （2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可； （3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值. 【详解】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 13．（24-25高一上·湖南益阳·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， ）（单位: cm） 由关系式 确定． (1)点P 在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次? (2)在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在时点 P 恰好被这束光第3次照到， 求的值． 【答案】(1)点P位于平衡位置上方处，次． (2)答案见解析 (3)5 【难度】0.65 【知识点】三角函数在物理学中的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）根据题意代入可得，即可得点P的位置，结合周期性可知秒钟点P能往复运动次数； （2）根据五点法列表，根据表格即可得图象； （3）根据题意令，根据正弦函数求，即可得第3次照到的值. 【详解】（1）因为，此时P点的坐标为， 即点P位于平衡位置上方处； 又因为，所以每秒钟点P往复运动次． （2）取值列表如下： t 0 4 h 2 0 0 图象如图所示： （3）当点P被光束恰好第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标． 由，即， 则或，得或 将根从小到大排列得：，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 三角函数的应用 题型1 几何中的三角函数模型 1．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一上·山东烟台·期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 3．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为α，且小正方形与大正方形面积之比为1∶5，则tanα的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 5．记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 6．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 7．“传得淮南术最佳，皮肤退尽见精华．旋转磨上流琼液，煮月铛中滚雪花．”推豆花是传统的劳动技能，早在汉朝劳动人民发明了豆腐，通过连杆带动石磨转动，碾碎黄豆，磨出豆浆，再利用胆水，点出豆花，压成豆腐（如图1）．推豆磨的过程（图2），推磨人（身体在点）发力推动连杆，带动石磨逆时针转动，随着连杆移动，人随着连杆移动适当倾斜．当连杆在处与磨盘圆面相切时，人侧倾到，此时能使得推磨效率最大．若，，，，则下列等式成立的是（    ）              A． B． C． D． 8．某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 10．如图，直角梯形公园中，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路（点，分别在边与上），为切点，令，则道路的长度与的函数关系为 ． 11．（23-24高一下·上海·期中）如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 12．高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设，    (1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； (2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值. 题型2 三角函数在生活中的应用 1．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 2．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 4．（24-25高一下·四川巴中·月考）如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川·期中）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 米的时间为（ ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 6．（24-25高一下·四川凉山·期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）（多选题）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 8．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 9．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为 分钟. 10．（2025高二下·陕西·学业考试）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过 可以达到最高点（精确到1s）. 11．（24-25高一下·陕西渭南·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）. (1)求函数的解析式； (2)当时，求点到轴的距离的最大值. 题型3 三角函数在物理学中的应用 1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 2．（24-25高一下·吉林长春·月考）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 4．（2025高三·全国·专题练习）将漏斗挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放纸板，纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图①，已知一根长为的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是（图②），其中，则估计线的长度应当是（精确到）（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 6．（23-24高一下·河南南阳·月考）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”．某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南开封·二模）（多选题）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 8．（2025·重庆·一模）（多选题）声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 10．（24-25高一上·全国·课前预习）简谐振动 简谐振动（，）中，A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为 ，周期T＝ ，而表示单位时间内往复振动的次数，称为 ，称为 ，时的相位φ称为 ． 11．（24-25高一下·福建泉州·月考） 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 (1)请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001） (2)定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：） (3)利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61.5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1） (4)已知一个回归年的实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 13．（24-25高一上·湖南益阳·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， ）（单位: cm） 由关系式 确定． (1)点P 在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次? (2)在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在时点 P 恰好被这束光第3次照到， 求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $