专题7.3 三角函数的图像与性质（九大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（苏教版必修第一册）

该高中数学讲义围绕三角函数图像与性质，通过分题型系统梳理知识体系，从定义域、周期、值域等基础性质到图像变换、综合应用，构建清晰脉络，突出各性质内在联系与重难点分布，助力学生形成完整知识框架。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如定义域、周期判断夯实基础，综合题型如“已知对称中心求参数及单调区间”培养数学思维与运算能力，适配不同层次学生。配套题型示例与方法指导，支持教师精准教学，帮助学生自主高效复习。

专题7.3 三角函数的图像与性质 题型1 三角函数的定义域 1．（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 2．（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解正弦不等式、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 3．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域 【分析】根据对数函数真数大于0得到， 结合三角函数性质解三角不等式即可. 【详解】由题意得：，即， 则. 故选：C. 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 5．（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求含tanx的函数的定义域 【分析】由题意，，解不等式得出结论. 【详解】由题意，，所以，， 所以，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 6．（22-23高一下·辽宁本溪·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、求含tanx的函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由函数解析式列出不等式组，再根据正切函数的图像及二次函数的图像解出不等式组，即可得出答案． 【详解】由，得，， 在数轴上表示如图所示， 所以， 故答案为：． 题型2 三角函数的周期 1．（25-26高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 2．（25-26高二上·海南·月考）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】直接利用余弦函数的周期公式求解即可． 【详解】函数的最小正周期是. 故选：C 3．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由余弦型函数的周期公式可求得的最小正周期. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为. 故选：A. 4．（24-25高二上·上海·月考）已知函数的最小正周期是则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用正弦型函数的周期性质即可求解. 【详解】由， 故答案为：. 5．（2025·湖北十堰·三模）函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用函数周期性的定义可求出函数的最小正周期. 【详解】因为， 如下图所示： 结合图形可知，函数的最小正周期为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用正切型函数的最小正周期公式即可求得. 【详解】的最小正周期为, 故答案为：. 题型3 三角函数的值域 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ）． A． B．4 C． D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由基本不等式中“1”的妙用，将表达式化简计算即可求解. 【详解】易知不为0，由可得 因此， 当且仅当时，等号成立； 故选：C． 2．（2025·山西·模拟预测）设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由正弦函数的性质，即可得到结果. 【详解】若，则， 由正弦函数的性质可知， 当时，函数取得最小值，即， 当时，函数取得最大值，即， 所以. 故选：B 3．（2025·天津红桥·模拟预测）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】直接用公式计算函数的最小正周期即可. 【详解】由，所以函数的最小正周期为. 故选：B 4．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即得函数值域． 【详解】当时，， ，即的值域为． 故答案为：． 5．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数与方程的综合应用 【分析】利用换元法，分离参变量，构造两个函数图象有交点问题，即可求参数范围. 【详解】令，则， 原方程可转化为关于的方程在上有解， 分离参变量得：， 即等价于直线与函数的图象在内有交点． 又因为的图象开口向下，对称轴为直线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 故答案为：. 6．（24-25高一上·宁夏银川·期末）不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】将不等式成立问题转化为，再由二次函数性质计算即可得出结果. 【详解】由不等式在上恒成立可得； 令，可得， 若，则， 由二次函数性质可得， 因此，所以. 故答案为： 题型4 三角函数的单调性 1．已知函数． (1)求函数的最小正周期及； (2)求函数的单调递增区间； 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据三角函数周期公式即可求函数的最小正周期； （2）根据三角函数单调性即可求函数的单调增区间； 【详解】（1）对于函数，它的最小正周期为；； （2）令，， 求得，，即，． 所以，函数的单调递增区间是． 2．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值是1，最大值是2． 【难度】0.85 【知识点】求sinx的函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象，利用周期公式求得函数解析式，再根据整体思想求解函数的单调区间即可； （2）根据整体思想，结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】（1）由函数图象可得，解得， 又，所以， 所以， 令， 解得， 所以的单调递增区间为． （2）当时，， 所以，所以， 所以当或即或时，取得最小值，最小值是1， 当即时，取得最大值，最大值是2． 3．已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间； （3）求在区间上的最大值和最小值 【答案】（1）；（2）；（3）最小值为；最大值为. 【难度】0.65 【知识点】求sinx的函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【解析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期； （2）解不等式，可得出函数的单调递减区间； （3）由求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值和最大值. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期； （2）由，得. 即函数的单调递减区间为； （3）因为，所以，所以， 当即时，函数取最小值，； 当即时，函数取最大值，. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 4．已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），增区间为，；（2），. 【难度】0.85 【知识点】求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】（1）直接由周期公式可得周期，由可得增区间； （2）求（1）可知，函数在区间单调递增，从而可得最值. 【详解】（1）的最小正周期为， 由，得，， 所以的单调递增区间为，. （2）求（1）可知，函数在区间单调递增，所以， . 题型5 三角函数的奇偶性 1．（2025高二下·湖南·学业考试）函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为. 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 2．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求含cosx的函数的奇偶性、求cosx型三角函数的单调性、求含sinx的函数的奇偶性、求sinx的函数的单调性 【分析】根据基本初等函数的性质，逐一判断各选项正误. 【详解】是偶函数，所以A错误； 是奇函数，且在上单调递增，所以B正确； 是偶函数，所以C错误； 在和上无定义，所以D错误； 故选：B. 3．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求含sinx的函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据奇偶性的定义，判断各函数的奇偶性，再判断值域即可. 【详解】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 4．（25-26高三上·山西晋中·月考）若函数为奇函数，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】解：函数的定义域为 因为为奇函数， 所以对任意的恒成立， 所以 故答案为： 5．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是 函数（填“奇”或“偶”） 【答案】偶 【难度】0.85 【知识点】求余弦（型）函数的奇偶性、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解. 【详解】显然的定义域关于原点对称， 且，故函数是偶函数. 故答案为：偶. 6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知是奇函数，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，验证可得答案. 【详解】根据题意，是奇函数，其定义域为， 则有，必有， 当时，，其定义域为， ， 为奇函数，符合题意. 故答案为：. 题型6 三角函数的对称性 1．（25-26高三上·广东·月考）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据余弦函数的性质求出函数的对称轴方程，即可判断. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的对称轴为， 当时，故B符合题意，、、均不符合题意. 故选：B 2．（25-26高三上·四川内江·月考）（多选题）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．在上单调递减 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的奇偶性、求cosx（型）函数的最值、求cosx型三角函数的单调性 【分析】对A，由偶函数定义判断；对B，由余弦函数对称轴求解判断；对C，由余弦函数值域判断；对D，由余弦函数单调区间求解判断. 【详解】对于A：， 令，则定义域为， 且，A错误； 对于B：由得，当时，，B正确； 对于C：函数的值域是，故的最小值是，C错误； 对于D：由得， 即的单调减区间为， 当时，的单调减区间为，而， 所以在上单调递减，D正确. 故选：BD. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上有且仅有2个零点 C．是奇函数 D．当时， 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx（型）函数的最值、函数奇偶性的应用 【分析】根据余弦函数的对称性结合求得，进而得到周期可判断A；通过求在区间上的零点可判断B；求出的解析式，根据正弦函数的性质判断C；在区间上单调性求得的范围可判断D. 【详解】对于A，函数的图象关于直线对称，则， 即，，因为，所以取，则， 则的最小正周期为．故A正确； 对于B，，令，得，，所以， 当时，；当时，；当时，． 所以在区间，上只有1个零点．故B不正确； 对于C，因为， 所以为奇函数．故C正确； 对于D，当时，，所以在区间上单调递减， 又，所以．故D不正确. 故选：AC. 4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）函数的对称轴为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据题意令，解出即可. 【详解】由题意有：令，解得， 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式，化简得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 所以函数的对称中心的坐标为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·广东中山·月考）写出函数的一个对称中心 ． 【答案】（答案不唯一，） 【难度】0.94 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质求出对称中心. 【详解】函数中，令，解得， 取，则该函数的一个对称中心为. 故答案为： 题型7 三角函数图像变换 1．（2024高二下·吉林·学业考试）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据图象变换的左加右减规律逐项分析判断即可. 【详解】对于A：将向右平行移动个单位长度， 可得，符合题意，故A正确； 对于B：将向左平行移动个单位长度， 可得，不合题意，故B错误； 对于C：将向右平行移动个单位长度， 可得，不合题意，故C错误； 对于D：将向左平行移动个单位长度， 可得，不合题意，故D错误； 故选：A. 2．（25-26高三上·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】通过平移得到，由求解即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得， 由题意为奇函数， 所以， 则， 结合选项可知：ABD不符合，C符合， 故选：C 3．（2025·内蒙古赤峰·一模）（多选题）已知曲线：，：，记变换①为：曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；变换②为：曲线上各点向右平移个单位长度；变换③为：曲线上各点向右平移个单位长度；变换④为：曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.每一次变换后得到新的曲线，把上各点按照如下哪些顺序变换，可以得到曲线.（   ） A．②-①-④ B．①-②-④ C．④-③-① D．④-①-③ 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据函数的伸缩变换和平移变换即可求解. 【详解】将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得， 再将上各点向右平移个单位长度得， 再将上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得，故B正确； 将曲线：上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得， 将上各点向右平移个单位长度得， 再将上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得，故C正确； 故选：BC. 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则与轴距离最短的对称轴的方程是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】通过平移变换得到的表达式为,再利用 “整体法”对正弦型函数的对称轴方程进行分类讨论求解即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 令,解得图像的对称轴方程为， 要求与轴距离最短的对称轴的方程，即求距离的最小值，则 当时，得距离为，对称轴的方程为； 当时，得距离为，对称轴的方程为； 当时，得距离为，对称轴的方程为； 综上可知或时，距离都大于，故与轴距离最短的对称轴的方程是. 故答案为： 5．（25-26高三上·安徽合肥·期中）将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【难度】0.85 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据平移变换求出，结合的单调性可得的最大值. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 即，所以的最大值为. 故答案为： 题型8 知图求三角函数的解析式 1．（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图象的最值得到的值，由两个零点求出，最后代入特殊点求得，即可得到函数解析式. 【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又， 所以， 又∵，∴，∴， 因为时函数取最大值， 所以，，又， ∴， ∴. 故选：C. 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【详解】由图象可知：，， 由，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由，，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误． 故选：B． 3．（25-26高三上·云南曲靖·月考）（多选题）函数的部分图象如图，下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在上为增函数 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据图象可确定最小正周期和最值，进而得到，知A错误；由，结合的范围可求得的解析式，利用代入检验法，结合的对称中心和单调性可确定BC正误；利用整体代换法，结合的单调性和最值可求得D错误. 【详解】由图象知：的最小正周期，； ，，； ，，解得：， ，，. 对于A，由题意得， 故A错误； 对于B，当时，，且， 图象关于点对称， 故B正确； 对于C，当时，， 在上单调递增，在上为增函数， 故C正确； 对于D，当时，， 由余弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 若在上有且仅有一个实数根，则，故D错误. 故选：BC. 4．（25-26高一上·江西宜春·期中）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解. 【详解】由图象得，令的最小正周期为T，则，解得，， 又，即，而，则，， 因，则的图象关于点对称，A正确； 因，则的图象不关于对称，B不正确； 因，则，所以在上为增函数，C正确； 的图象向右平移个单位长度，得到是偶函数，D不正确. 故选：AC 5．（25-26高三上·广东梅州·期中）已知函数的部分图象如图所示，且，则 .    【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】根据周期求出，再根据求出，最后根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】由图可得函数的最小正周期且，所以， 所以，又， 所以，则， 所以， 又，所以， 则. 故答案为： 6．（25-26高二上·上海·开学考试）函数的部分图像如图所示，则 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由题可得，再求出，再结合，从而可求解. 【详解】由题中图象可得，周期，则， 又，则，所以，， 又因为，所以可得，则. 故答案为：. 题型9 三角函数图像与性质的综合应用 1．（25-26高三上·重庆·期中）已知点 是函数 的一个对称中心. (1)求 的值； (2)若函数 的最大值为 ，求 的最小值和单调区间. 【答案】(1) (2) 的最小值为；单调递增区间：， 单调递减区间： 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】（1）根据是函数 的一个对称中心可以求出，求出解析式，进而求； （2）先将化简成一角一函数，再通过最大等于求出，进而解出，根据正弦型函数求解最值和单调性即可. 【详解】（1）由题知点 是函数 的一个对称中心， 故，所以，,而，故； 所以， 则. （2）由题知 ， 易得的最大值为，故解得， 故，因为， 所以， 由，解得，故单调递增区间为； 由，解得，故单调递减区间为. 2．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)函数，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据正弦函数对称轴的性质求出的值，进而确定的解析式； （2）根据正弦函数的取值范围求解不等式； （3）通过换元法将函数转化为二次函数，再结合二次函数的性质和的取值范围求出函数的值域. 【详解】（1）由题可知， 因此， ，，； （2）由，得， ， ； （3） ， 令，则． ，，， 当时，取最大值，为， 当或时，取最小值，为1， 所以函数的值域为． 3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式、解正弦不等式 【分析】（1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （2）利用根据正弦函数的图象与性质解不等式，结合即可求解. 【详解】（1）由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由得， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数，小育现按照如下步骤操作： ①将上每个点的纵坐标伸长2倍得到； ②将上每个点的横坐标缩短到原来的得到； ③将的图象向右平移个单位长度得到. (1)求的函数解析式； (2)小明同学在小育同学按照如图所示的步骤操作后认为操作顺序变为①③②，并对②、③的某个变换参数进行调整也可以得到的图像，请你改变②、③中的一个参数以得到的图像； (3)若直线在区间上与的图象有偶数个公共点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)改变③中的参数，把“向右平移”改为“向右平移. (3) 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由三角函数的平移和伸缩变化即可得出答案； （2）由三角函数的平移和伸缩变化即可得出答案； （3）设，由三角函数的性质求出在区间的值域，由周期性知，在该区间上包含个周期，偶数个公共点只包含4个和2个两种情况，求解即可. 【详解】（1）将上每个点的纵坐标伸长2倍得到，则， 将上每个点的横坐标缩短到原来的得到，则， 将的图象向右平移个单位长度得到， 则. （2）改变③中的参数，把“向右平移”改为“向右平移. 将上每个点的纵坐标伸长2倍得到， 将的图象向右平移个单位长度得到. 将每个点的横坐标缩短到原来的得到. （3）设，由得，即. ，. 由周期性知，在该区间上包含个周期，偶数个公共点只包含4个和2个两种情况. ①当有四个实数根时，； ②当有两个实数根时，. 综上，. 一、单选题 1．（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域 【分析】由题意可得，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，即， 又，故，即定义域为. 故选：C. 2．（2025·云南·模拟预测）已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据正弦函数的对称中心计算求解. 【详解】函数的对称中心的横坐标为：，解得， 当时，得到对称中心. 故选:B. 3．（25-26高三上·山东青岛·期中）将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】先求函数的对称轴，再结合已知的对称轴求的值. 【详解】函数的对称轴方程为： ，，. 由函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称， 所以函数的一条对称轴为. 由，. 因为，所以时，. 故选：C 4．（25-26高三上·甘肃天水·月考）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用平移变换得到函数，对照得到，依次将选项代入检验即得. 【详解】根据题意可得， 则可得，即， 当时，，即C正确；当分别取其它整数时，都得不到其它选项的角. 故选：C. 5．（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 二、多选题 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据题意，函数的最小正周期为，可求得，可判断A选项正确；进而可得函数的解析式，根据余弦函数的图像性质，逐项判断选项B、C、D即可. 【详解】根据题意，已知函数的最小正周期为， 根据周期公式，即，解得，又，所以，故A选项正确； 所以，其单调递增区间为， 解不等式得，故B选项错误； 其对称中心的横坐标满足，解得， 所以其对称中心为，当时，为，故C选项正确； 由，解得对称轴为，当时，为，故D选项正确. 故选：ACD 7．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为 C．曲线关于直线对称 D．函数为奇函数 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性、求cosx(型)函数的值域 【分析】按照余弦函数的性质逐一进行判断. 【详解】的值域为，的最小正周期，A，B均正确. 因为，所以曲线不关于直线对称，C错误. 因为，所以为奇函数，D正确. 故选：ABD 8．（24-25高二下·云南楚雄·月考）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是的最大值 C．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 D．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求余弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据周期公式计算可判断A；代入计算可判断B；根据图象平移计算可判断C，根据图象平移及函数奇偶性可判断D. 【详解】对于A，由，故A正确， 对于B，因为，故B错误， 对于C，把函数的图象上所有点向左平移个单位长度， 得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象， 因为为偶函数，所以其图象关于轴对称，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用三角函数值域以及二次函数单调性计算可得结果. 【详解】因为，所以， 易知 当时，， 当时，， 可得函数的值域为. 故答案为： 10．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求余弦（型）函数的奇偶性、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解. 【详解】定义域为， ， 所以， 故， 故答案为： 11．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用给定的图象变换求出的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得． 【详解】依题意，， 由是偶函数，得，， 而，则． 故答案为：． 12．（25-26高三上·北京·月考）已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论： ①函数的最小正周期是；②函数在区间上单调递增； ③函数的图象过点；④若在上有且仅有两个极大值点，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图求得判断①，由解析式结合正弦函数性质判断②③④. 【详解】由图，，解得，①错误； 所以， 又图象经过，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以， 当时，，此时且单调递减， 所以，且单调递增，②正确； 因为，所以的图象过点，③错误； 由，得， 在上，的第一个极大值点，第二个极大值点，第三个极大值点， 因为在上有且仅有两个极大值点，所以，④正确； 故答案为：②④. 四、解答题 13．已知函数最小正周期为，图象过点. （1）求函数图象的对称中心； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.94 【知识点】求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用周期公式可得,将点代入解析式即得函数和对称中心和单调区间.. 【详解】（1）由已知得，解得. 将点代入解析式，，可知， 由可知，于是. 令，解得， 于是函数图象的对称中心为. （2）令 解得， 于是函数的单调递增区间为. 【点睛】本题考查正弦函数的图像和性质,基础题. 14．（25-26高一上·吉林·期末）已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【答案】(1) (2)，， (3)表格见解析 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点、特殊角的三角函数值、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）直接将点的坐标代入即可得结果； （2）由（1）的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点； （3）根据五点法作图完善表格. 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 15．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为. (1)求函数在上的单调递增区间. (2)求函数在上最大和最小值. 【答案】(1)单调递增区间为 (2)最大值为，最小值为 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由周期求得，进而由对称轴求得；再通过正弦函数单调区间即可求解； （2）由，得到，即可求解. 【详解】（1）的图象相邻两个最高点的距离为， 的最小正周期； 又的图象关于直线对称， ， ，又， ， ， 当时，， 令或， 解得或. ∴函数在上的单调递增区间为. （2）当时，， ， ∴函数在上的最大值为，最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 三角函数的图像与性质 题型1 三角函数的定义域 1．（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 5．（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 6．（22-23高一下·辽宁本溪·期中）函数的定义域为 ． 题型2 三角函数的周期 1．（25-26高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·海南·月考）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·月考）已知函数的最小正周期是则 . 5．（2025·湖北十堰·三模）函数的最小正周期为 ． 6．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为 题型3 三角函数的值域 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ）． A． B．4 C． D．5 2．（2025·山西·模拟预测）设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（   ） A．2 B． C． D． 3．（2025·天津红桥·模拟预测）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是 ． 5．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 6．（24-25高一上·宁夏银川·期末）不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是 题型4 三角函数的单调性 1．已知函数． (1)求函数的最小正周期及； (2)求函数的单调递增区间； 2．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最值． 3．已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间； （3）求在区间上的最大值和最小值 4．已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 题型5 三角函数的奇偶性 1．（2025高二下·湖南·学业考试）函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 2．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山西晋中·月考）若函数为奇函数，则 ． 5．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是 函数（填“奇”或“偶”） 6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知是奇函数，则 . 题型6 三角函数的对称性 1．（25-26高三上·广东·月考）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川内江·月考）（多选题）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．在上单调递减 3．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上有且仅有2个零点 C．是奇函数 D．当时， 4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）函数的对称轴为 . 5．（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是 6．（24-25高一下·广东中山·月考）写出函数的一个对称中心 ． 题型7 三角函数图像变换 1．（2024高二下·吉林·学业考试）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 2．（25-26高三上·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古赤峰·一模）（多选题）已知曲线：，：，记变换①为：曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；变换②为：曲线上各点向右平移个单位长度；变换③为：曲线上各点向右平移个单位长度；变换④为：曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.每一次变换后得到新的曲线，把上各点按照如下哪些顺序变换，可以得到曲线.（   ） A．②-①-④ B．①-②-④ C．④-③-① D．④-①-③ 4．（25-26高三上·福建厦门·期中）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则与轴距离最短的对称轴的方程是 . 5．（25-26高三上·安徽合肥·期中）将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为 . 、 题型8 知图求三角函数的解析式 1．（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·云南曲靖·月考）（多选题）函数的部分图象如图，下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在上为增函数 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则 4．（25-26高一上·江西宜春·期中）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 5．（25-26高三上·广东梅州·期中）已知函数的部分图象如图所示，且，则 .    6．（25-26高二上·上海·开学考试）函数的部分图像如图所示，则 ．    题型9 三角函数图像与性质的综合应用 1．（25-26高三上·重庆·期中）已知点 是函数 的一个对称中心. (1)求 的值； (2)若函数 的最大值为 ，求 的最小值和单调区间. 2．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)函数，求在区间上的值域． 3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 、 4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数，小育现按照如下步骤操作： ①将上每个点的纵坐标伸长2倍得到； ②将上每个点的横坐标缩短到原来的得到； ③将的图象向右平移个单位长度得到. (1)求的函数解析式； (2)小明同学在小育同学按照如图所示的步骤操作后认为操作顺序变为①③②，并对②、③的某个变换参数进行调整也可以得到的图像，请你改变②、③中的一个参数以得到的图像； (3)若直线在区间上与的图象有偶数个公共点，求的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东青岛·期中）将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·甘肃天水·月考）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 7．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为 C．曲线关于直线对称 D．函数为奇函数 8．（24-25高二下·云南楚雄·月考）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是的最大值 C．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 D．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称 三、填空题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 . 10．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数 . 11．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为 ． 12．（25-26高三上·北京·月考）已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论： ①函数的最小正周期是；②函数在区间上单调递增； ③函数的图象过点；④若在上有且仅有两个极大值点，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 13．已知函数最小正周期为，图象过点. （1）求函数图象的对称中心； （2）求函数的单调递增区间. 14．（25-26高一上·吉林·期末）已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 15．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为. (1)求函数在上的单调递增区间. (2)求函数在上最大和最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $