专题二 第1讲 等差、等比数列专项训练——2025届高三数学二轮专题复习

专题二 数列 第1讲 等差、等比数列 一、考点透析 考点1 等差(比)数列的基本运算 1．（2025·全国二卷·真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 2.(2025·安徽省芜湖市·模拟)若等比数列的第项和第项分别为和，则的首项(    ) A. B. C. D. 3．（2025·全国二卷·真题多选题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 考点2 等差(比)数列的性质及应用 1.(2025·四川省成都市·期中)已知为等差数列，前项和为，，，则(    ) A. B. C. D. 2.(2025·湖北省武汉市·联考)已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则          ． 3.(2025·河南省·期中)一个等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则此数列第项为(    ) A. B. C. D. 4．（2025·全国一卷·真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 5.(2025·江西省九江市·模拟)九江银行“庐山杯”九江马拉松于月日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期周的跑步训练计划．计划第周跑步公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的倍；当周跑步量首次超过公里后，每周比前一周多跑公里；当周跑步量首次超过全马里程公里后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是(    ) A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 考点3 等差、等比数列的判断与证明 1.(2025·河南省·联考)已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2.(2025·江苏省·模拟)正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前个正方形的面积和为(    ) A. B. C. D. 3.(2025·湖北省武汉市·模拟)数列满足，下列说法正确的是(    ) A. 可能为常数列 B. 数列是等差数列 C. 若，则 D. 数列可能为公差不为的等差数列 4．（2025·全国一卷·真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 二、跟踪练习 1．（2025·北京·真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2.(2025·山东省菏泽市·模拟)已知为等比数列的前项和，若，则(    ) A. B. C. D. 3.(2025·福建省厦门市·期中)已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则(    ) A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为 4.(2025·江苏省·模拟)设是数列的前项和，且，，则(    ) A. B. C. D. 5.(2025·陕西省汉中市·模拟)鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为(    ) A. B. C. D. 6.(2025·河南省·模拟)在前项和为的等比数列中，，，． 求数列的通项公式； 设，，，是，，，的任意排列，表示其中同时满足条件和，，，的排列的个数，为数列的前项和． 证明：； 证明：能被整除． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二 数列 第1讲 等差、等比数列 一、考点透析 考点1 等差(比)数列的基本运算 1．（2025·全国二卷·真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 2.(2025·安徽省芜湖市·模拟题)若等比数列的第项和第项分别为和，则的首项(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】由，，得，得，所以． 故选：． 3．（2025·全国二卷·真题多选题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 考点2 等差(比)数列的性质及应用 1.(2025·四川省成都市·期中)已知为等差数列，前项和为，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为  ， 所以  ， 所以  ， 又因为  ， 即  ，解得  ， 所以等差数列的公差  ， 所以  ． 故选：． 2.(2025·湖北省武汉市·联考)已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则          ． 【答案】  【解析】解：据题意得，，， 因为，，构成等比数列，所以， 得：，则，可得， 所以， 故答案为． 3.(2025·河南省·期中)一个等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则此数列第项为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】由题中条件及等差数列的性质可知： 所以． 故选：． 4．（2025·全国一卷·真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 【答案】 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 5.(2025·江西省九江市·模拟)九江银行“庐山杯”九江马拉松于月日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期周的跑步训练计划．计划第周跑步公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的倍；当周跑步量首次超过公里后，每周比前一周多跑公里；当周跑步量首次超过全马里程公里后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是(    ) A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 【答案】C  【解析】解：记第一周跑步量为， 由题意，则， 所以前周的跑步量为等比数列， 所以则， 故第周到第周的跑步量为等差数列，则， 第周到第周每周公里，总和为公里， 所以小宝同学跑步的总量是公里． 故选：． 考点3 等差、等比数列的判断与证明 1.(2025·河南省·联考)已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C  【解析】解：因为为非常数数列， 若为等比数列，则为常数， 所以为非零常数，所以数列为等差数列，充分性成立 若为等差数列，则为常数， 所以为常数，所以为等比数列，必要性成立 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件． 故选C． 2.(2025·江苏省·模拟)正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前个正方形的面积和为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：第一个正方形的边长为，面积，  取各边中点作第二个正方形时，原正方形各边中点连线形成的新正方形边长为原正方形边长的由勾股定理计算可得， 因此第二个正方形的面积， 同理，第三个正方形的面积， 以此类推，各正方形面积构成首项，公比的等比数列，  前个正方形的面积和为等比数列前项和，根据等比数列求和公式 ． 故选：． 3.(2025·湖北省武汉市·模拟)数列满足，下列说法正确的是(    ) A. 可能为常数列 B. 数列是等差数列 C. 若，则 D. 数列可能为公差不为的等差数列 【答案】ABC  【解析】解：对于，令， 由，可得，解得， 所以可能为常数列，A正确； 对于，当时， 由，得， 则， 此时无意义， 中，若，则，矛盾，故， 当时，则，则， 数列是公差为的等差数列，B正确； 对于，，由选项B得等差数列的首项为，公差为， ，其中， 则由等差数列求和公式得，C正确； 对于，若数列为公差不为的等差数列，由知，， 由，得， 则不会是非零常数，D错误． 故选：． 4．（2025·全国一卷·真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 二、跟踪练习 1．（2025·北京·真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2.(2025·山东省菏泽市·模拟)已知为等比数列的前项和，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设等比数列的公比为， 由，可得， 因为，所以，所以， 所以． 故选A． 3.(2025·福建省厦门市·期中)已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则(    ) A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为 【答案】BD  【详解】等差数列的前项和为，由， 得，即， 对于，由上分析，异号，而，则数列是递减等差数列， 因此，故由可得，A错误； 对于，，则， 又，则，B正确； 对于，由选项A知，，，又数列是递减等差数列， 则当时，取得最大值，C错误； 对于，因，， 由选项A知，当时，，则当时，，D正确． 故选： 4.(2025·江苏省·模拟)设是数列的前项和，且，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， ，，， 是以为首项，公差为的等差数列， ，，， ， ． 故选：． 5.(2025·陕西省汉中市·模拟)鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即， 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得：，即， 得到，因为层数为正整数，所以舍去， 该鬼工球的层数为．故选：． 6.(2025·河南省·模拟)在前项和为的等比数列中，，，． 求数列的通项公式； 设，，，是，，，的任意排列，表示其中同时满足条件和，，，的排列的个数，为数列的前项和． 证明：； 证明：能被整除． 【答案】解：设数列的公比为， 由，得， ，解得或， 若，则由，得， ，与矛盾， ， 若，则由，得， ，，符合， ，， ， 故数列的通项公式为：． 证明：，或， 当，则，，，各项分别除以后， 恰是，，，满足条件的排列，其个数为； 当，，则，此时，，，各项分别除以后， 恰是，，，满足条件的排列，其个数为； 当，，设是该排列中第一个出现的的偶数次幂， 则前个数应是，，，，，而应是或， 由条件知，排在后的各数，要么都小于，要么都大于， 在后面，此时仅有个排列，即递增排出所有的奇数次幂， 再依递减的顺序排出所有的的奇数次幂， 综上，得到递推关系， ，，，，， 将所有式子相加，得：， ，，得证． 的余数依次为：，，，，，，，，，，，，，，，，猜测余数列以为周期， 事实上，令表示除以的余数， 则 ， 数列的周期为， 又， ， 能被整除，命题得证．  学科网（北京）股份有限公司 $