第3章 空间向量及其应用（复习讲义）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学复习讲义以“概念—运算—应用”为主线构建空间向量知识体系，通过表格梳理空间向量概念、坐标运算等核心内容，结合定理推导呈现知识内在逻辑，突出空间向量与平面向量的关联区分及空间角、距离求解的重难点。 讲义亮点在于分层设计题型，从基础的空间向量加减运算到复杂的二面角求解，如“用空间基底表示向量”“求异面直线距离”等题型，培养空间想象与逻辑推理能力，助力不同层次学生掌握转化方法，为教师精准教学和学生自主复习提供清晰路径。

第3章 空间向量及其应用（复习讲义） 1.空间向量的概念、运算（线性运算、数量积）及坐标表示，构建 “概念 — 运算 — 应用” 的知识体系，强化与平面向量的关联与区分。 2.熟练掌握空间向量在空间角（线线角、线面角、二面角）、距离（点到面、线到面）求解中的核心方法，提升利用向量工具转化立体几何问题的能力。 3.培养空间想象能力与逻辑推理能力，能运用空间向量解决复杂立体几何证明（平行、垂直）与计算问题，适配沪教版高考对立体几何模块的考查要求。 知识点01：空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点02：空间向量的基本定理及坐标表示 1.共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 2.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 3.空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 4.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 5.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝ 知识点03：空间向量在立体几何中的应用 1.平面的法向量 (1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于、、的方程组； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 2.平行与垂直的向量表示 设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： 3.两点间的距离的求法 、两点间的距离为。 4.点线距离的求法 如图，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。 5.点面距离的求法 如图，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。 6. 两异面直线距离的求法 如图，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。 7.求异面直线所成的角 如图，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。 特别提示：对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 8.求直线和平面所成的角 如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有 9.求平面和平面所成的角（二面角） 如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角， 。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。 (1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。 (2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。 特别提示：对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点，在内取一点，设二面角大小为，若与同号，则，若与异号，则 题型一 空间向量的加减运算、数乘运算 【例1】（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【变式1-1】（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 【变式1-2】（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 【变式1-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 ．（用，，表示）    题型二 空间向量的加减运算、数乘运算的几何表示 【例2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高二上·上海嘉定·期中）在长方体中，为中点，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 由空间向量共线求参数或值 【例3】（25-26高二上·上海·期中）已知向量，，若，则 ． 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为 ． 【变式3-2】（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 【变式3-3】（22-23高二上·上海黄浦·月考）已知，，若与共线，则 . 题型四 空间向量的数量积及其应用 【例4-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【例4-3】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 【例4-4】（25-26高二上·上海·期中）体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是 ． 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·上海闵行·期中）已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，则这样的点个数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．8 【变式4-3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【变式4-4】（25-26高二上·上海闵行·期中）从空间中一定点出发的两个向量满足：，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的表面积是 ． 题型五 判定空间向量共面 【例5】（23-24高二上·上海·月考）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 【变式5-1】（24-25高二下·上海·月考）命题“空间中的任意两个向量都是共面的”是 命题. (填“真”或“假”) 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 题型六 空间向量共面求参数 【例6】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为 ． 【变式6-1】（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 题型七 用空间基底表示向量 【例7-1】（25-26高二上·上海·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点N为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【例7-2】（24-25高二下·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .    【变式7-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）正方体中， ．（用、、表示） 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期末）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【变式7-3】（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 题型八 空间向量的坐标表示 【例8-1】（25-26高二上·上海·期中），，与垂直，则实数的值为 . 【例8-2】（25-26高二上·上海·期中）给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为 ． 【例8-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，在长方体ABCD- 中， .一质点从顶点 射向点 ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理)，记 ，第 次反射点到第 次反射点之间的线段记为 ，则 的长度之和为 . 【变式8-1】（25-26高二上·上海·期中）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是 ．（填写正确的序号） ①；②；③；④ 【变式8-2】（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 【变式8-3】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知． (1)若点满足，求； (2)求的面积． 题型九 求空间距离 【例9-1】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 ． 【例9-2】（25-26高二上·上海·月考）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 【例9-3】（22-23高二上·上海虹口·月考）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【变式9-1】（25-26高二上·上海·期中）点，，，则点到直线的距离为 . 【变式9-2】（25-26高二上·上海·月考）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 题型十 求空间角 【例10-1】（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为 . 【例10-2】（25-26高二上·上海·月考）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为 ． 【例10-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    【例10-4】（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上移动． (1)当点在棱的中点时，证明：平面平面； (2)当为何值时，平面与平面所成的锐二面角为． 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则的大小为 . 【变式10-2】（25-26高二上·上海·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 【变式10-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动， (1)证明：直线平面； (2)若，求直线和平面的所成角． 【变式10-4】（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 2．（23-24高二下·上海·月考）下列选项中，不正确的命题是（    ） A．若两条不同直线的方向向量为，则 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．圆与的位置关系为内切 3．（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 4．（24-25高二下·上海宝山·月考）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 5．（25-26高二上·上海·期中）已知空间直角坐标系，若动点满足，若均取遍，则点的轨迹形成的几何体的体积为 ． 6．（25-26高二上·上海静安·期中）若，，则 ， . 7．（24-25高二下·上海·月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 能力提升进阶练 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列两个结论： ①存在唯一点，使得； ②的面积最小值为； 其中（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则 .    4．（24-25高二下·上海·月考）如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 5．（24-25高二下·上海杨浦·月考）如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是 ． 6．（24-25高二下·上海宝山·期末）如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基. (1)求向量在基下的坐标； (2)若向量在基下的坐标为，向量与共线，且. ①求向量在基下的坐标； ②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积. 7．（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，点是棱的中点．    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由： (3)若．设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 空间向量及其应用（复习讲义） 1.空间向量的概念、运算（线性运算、数量积）及坐标表示，构建 “概念 — 运算 — 应用” 的知识体系，强化与平面向量的关联与区分。 2.熟练掌握空间向量在空间角（线线角、线面角、二面角）、距离（点到面、线到面）求解中的核心方法，提升利用向量工具转化立体几何问题的能力。 3.培养空间想象能力与逻辑推理能力，能运用空间向量解决复杂立体几何证明（平行、垂直）与计算问题，适配沪教版高考对立体几何模块的考查要求。 知识点01：空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点02：空间向量的基本定理及坐标表示 1.共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 2.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 3.空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 4.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 5.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝ 知识点03：空间向量在立体几何中的应用 1.平面的法向量 (1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于、、的方程组； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 2.平行与垂直的向量表示 设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： 3.两点间的距离的求法 、两点间的距离为。 4.点线距离的求法 如图，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。 5.点面距离的求法 如图，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。 6. 两异面直线距离的求法 如图，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。 7.求异面直线所成的角 如图，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。 特别提示：对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 8.求直线和平面所成的角 如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有 9.求平面和平面所成的角（二面角） 如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角， 。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。 (1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。 (2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。 特别提示：对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点，在内取一点，设二面角大小为，若与同号，则，若与异号，则 题型一 空间向量的加减运算、数乘运算 【例1】（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 【变式1-1】（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 【答案】 【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可. 【详解】 由 故答案为： 【变式1-2】（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 【答案】 【分析】根据条件，结合空间向量的运算，即可得到结果. 【详解】依题得， 。 故答案为：． 【变式1-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 ．（用，，表示）    【答案】 【分析】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】是的重心， ， . 故答案为：. 题型二 空间向量的加减运算、数乘运算的几何表示 【例2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用底面是平行四边形判断B，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断A,C,D． 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 【变式2-2】（22-23高二上·上海嘉定·期中）在长方体中，为中点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体中对应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义表示出. 【详解】 如上图示，，，而， 而. 故选：A 题型三 由空间向量共线求参数或值 【例3】（25-26高二上·上海·期中）已知向量，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故答案为： 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为 ． 【答案】； 【分析】根据三点共线，可得空间向量、共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 即，解得． 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 【答案】 【分析】根据空间向量的平行性质求解即可. 【详解】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 【变式3-3】（22-23高二上·上海黄浦·月考）已知，，若与共线，则 . 【答案】/ 【分析】由向量共线的坐标表示得出的值. 【详解】因为与共线，所以，所以，，则. 故答案为： 题型四 空间向量的数量积及其应用 【例4-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可． 【详解】依题意，得， 则， 故选：D 【例4-2】（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 【例4-3】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 【例4-4】（25-26高二上·上海·期中）体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是 ． 【答案】 【分析】记该正四面体为，由题意得出球是该正四面体的内切球，球心也是外接球的球心，在高上，由体积求得正四面体的棱长，并求出内切球半径，最大时，是球的直径，由数量积的运算得出取最大值时，只要最大即可得． 【详解】记该正四面体为，如图，由题意球是该正四面体的内切球，    显然在其高上，是底面正的中心，设， 则，， ，得到， 因为是正四面体，则是内切球球心也是其外接球球心， 设内切球半径为，即，又， 由，得，解得， 当最大时，是球的直径， ， 因为点在正四面体的表面上运动，当是正四面体的顶点时， 取得最大值，最大值为， 所以的最大值是． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出的最大值，进而求出值. 【详解】令集合的各向量起点为，对应终点依次为， 由向量为单位向量，则点在以为球心，1为半径的球面上， 由，得点中任意三点不共线， 由，得，则， 由，同理得，而点不共线， 于是点不共面，点为球内接正四面体的4个顶点， 若，不妨取，同理得，平面， 又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面， 与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为， 则正的外接圆半径为，正四面体的高为， 球心到平面的距离为，因此，解得， 所以. 故选：C 【变式4-2】（25-26高二上·上海闵行·期中）已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，则这样的点个数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】先用反证法证明、、不共面，从而构成空间的一组基底，设，再利用数量积运算构造方程组分别求解可得. 【详解】用反证法证明三个单位向量、、不共面. 证明：假设三个单位向量、、共面， 则存在实数，使得， 则， 由，且、、为单位向量， 可得，该方程组无解，这与假设三向量共面矛盾， 故假设错误，即、、不共面. 以为空间向量的一组基底， 则存在实数，使得， 则① ② ③ 将代入可得， ，不妨设， 则方程组可化为， 第一种情况：当时， 方程组的解为； 第二种情况：当时， 方程组的解为； 第三种情况：当时， 方程组的解为； 第四种情况：当时， 方程组的解为. 综上可知，满足题意的点共有个. (注：为统一形式易于观察，上述方程组的解未化为最简形式) 故选：B. 【变式4-3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 【变式4-4】（25-26高二上·上海闵行·期中）从空间中一定点出发的两个向量满足：，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的表面积是 ． 【答案】 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以为顶点，高为4，母线长为的圆锥，从而根据圆锥的表面积公式求解. 【详解】由，得，即， 所以存在实数，使得， 则，解得， 又，，所以在方向上的投影是， 所以围成的空间几何体是以为顶点，高为，母线长为的圆锥， 则其底面半径为， 所以由构成的空间几何体的表面积是. 故答案为：. 题型五 判定空间向量共面 【例5】（23-24高二上·上海·月考）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 【答案】B 【分析】根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可. 【详解】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量，因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题； B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题； C：设，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题； D：如下图所示： 若，显然异面， 所以本选项命题是假命题， 故选：B 【变式5-1】（24-25高二下·上海·月考）命题“空间中的任意两个向量都是共面的”是 命题. (填“真”或“假”) 【答案】真 【分析】根据向量的基本概念，空间向量的定义来判断该命题的真假. 【详解】由向量是既有大小又有方向的量，在空间中，向量可以自由平移， 故无论它们在空间中的位置如何，都可以通过平移让它们处于同一平面内， 所以空间中的任意两个向量都是共面的. 故答案为：真. 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 题型六 空间向量共面求参数 【例6】（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用四点共面的性质即可求解参数. 【详解】空间的一点满足，由共面， 可得， 故答案为： 【变式6-1】（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】向量，，共面，存在实数，使得，即． ，． 故选：D． 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据点共面，系数相加为1的性质即可求 【详解】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面， 所以，所以. 故答案为：. 题型七 用空间基底表示向量 【例7-1】（25-26高二上·上海·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点N为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法和数乘向量的定义运算即可. 【详解】由题意可知，， 则. 故选：A 【例7-2】（24-25高二下·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .    【答案】 【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为： 【变式7-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）正方体中， ．（用、、表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的运算转化求解即可. 【详解】在正方体中， . 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期末）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】10 【分析】利用空间向量基本定理可得，由题设条件推得方程组，求解即得. 【详解】因向量，，共面，且，，是三个不共面的非零向量， 则存在，满足， 即， 则有，解得. 故答案为：10. 【变式7-3】（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 【答案】 【分析】根据N是面的中心得出，再结合向量的减法计算求解. 【详解】 因为N是面的中心，所以延长交于，是中点，且， . 故答案为：. 题型八 空间向量的坐标表示 【例8-1】（25-26高二上·上海·期中），，与垂直，则实数的值为 . 【答案】7 【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示，空间向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】向量，， 则， 由向量与垂直，得， 所以. 故答案为： 【例8-2】（25-26高二上·上海·期中）给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先计算出，然后根据垂直关系计算出的坐标之间的关系，结合模长可求解出结果. 【详解】因为，所以， 设，因为向量与向量都垂直， 所以，所以， 因为，所以，解得， 所以的坐标为或， 故答案为：或. 【例8-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，在长方体ABCD- 中， .一质点从顶点 射向点 ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理)，记 ，第 次反射点到第 次反射点之间的线段记为 ，则 的长度之和为 . 【答案】26 【分析】依次求得各反射点坐标，利用空间两点间的距离公式求出 ，相加即可. 【详解】记第次反射点为 过点E向平面作垂线，垂足为P，则，点A关于点P对称的点为，在底面，因此. 所以. 由反射的特点，得，易知平面，设，则. 所以，解得.所以. 所以. 光线被平面反射，交平面于点，设，则直线过关于平面的对称点.所以. 所以，解得.所以. 所以. 光线被平面反射，反射光线过关于平面对称的点. 所以. 设，则满足， 若，则,所以平面； 若，则,所以平面； 若，则,所以平面. 所以，所以. 综上，. 故答案为：26. 【变式8-1】（25-26高二上·上海·期中）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是 ．（填写正确的序号） ①；②；③；④ 【答案】②④ 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，依次分析判断即可. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对于①，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故①错误； 对于②，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出，故②正确； 对于③，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故③错误； 对于④，已知，若不是的充分条件， 则三个向量共面， 即存在不全为0的实数，使得， 所以，即，解得， 与存在不全为0的实数，使得矛盾， 所以不共面， 所以由能推出，故④正确. 故答案为：②④ 【变式8-2】（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标以及，即得出的单位向量的坐标； （2）由题意可知、、共面，设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】（1）由题意可得，则， 所以的单位向量为. （2）由题意可得，，， 因为、、、四点共面，则、、共面， 设，即， 即，解得，故. 【变式8-3】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知． (1)若点满足，求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标，利用的向量关系列方程，求解点的坐标，进而可计算． （2）先求向量，的坐标，计算它们的数量积和模长，进而求出夹角的正弦值，最后代入三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）设点，因为，， 所以， 则，解得，所以点， 所以，故． （2）由已知得，，则， ，， 所以，则为锐角， 所以， 因此， 故的面积为． 题型九 求空间距离 【例9-1】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到直线过点，且方向向量为，再由空间中点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】由题意，直线过点，且方向向量为， 又由，可得，可得， 所以， 又由， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 【例9-2】（25-26高二上·上海·月考）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，然后利用距离的向量公式并换元化简得，最后利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示： 设， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，则，于是， 则点到平面距离之和为， 设，则，， 因为，所以，所以， 令,则,故函数为开口向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增， 所以当时,即时，取到最小值为. 故答案为： 【例9-3】（22-23高二上·上海虹口·月考）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 【变式9-1】（25-26高二上·上海·期中）点，，，则点到直线的距离为 . 【答案】2 【分析】利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】因为，，， 所以，， 所以在的投影向量为， 所以点到直线的距离为：. 故答案为：2 【变式9-2】（25-26高二上·上海·月考）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求点到面的距离即可． 【详解】（1）在长方体中，， 得，而，得， 则四边形为平行四边形， 得，由平面，平面，得平面， 同理可得四边形为平行四边形， 得，由平面，平面，得平面， 由平面， 所以平面平面. （2）建立空间直角坐标系，如图所示：    则， 得， 设平面的法向量为， 得，取， 则点到平面的距离为：． 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 【答案】(1)D为中点 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由已知结论即可得点D为中点； （2）根据面面平行判定定理以及性质定理可知取的三等分点的中点，的中点，分别作平面为平面，平面，可得结果； （3）根据正四面体性质建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，利用点到平面距离的向量求法得出棱长，即可求出此正四面体的体积. 【详解】（1）D为中点 根据已知结论可得直线即为，若为三条等距的平行线， 所以D为中点； （2）如图所示， 取的三等分点的中点，的中点， 过三点，，作平面，过三点作平面， 因为，又，所以； 又，且，所以； 又因为，且， 所以平面, 再过点分别作平面与平面平行， 那么四个平面依次相互平行， 由线段被平行平面截得的线段相等知，其中毎每相邻两个平面间的距离相等， 故即为所求平面（注：也可将正四面体放入正方体内说明） （3）设正四面体的棱长为，综合（2）有的中点， 再取的中点，连接交于， 则由等边三角形的性质可知为的中点，且， 则以为坐标原点，以平行于直线且过点的直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 令为的三等分点，为的中点， 则，， 所以，，. 设平面的法向量， 则有，即，取，则， 即. 又相邻平面之间的距离为1， 所以点到平面的距离为， 解得. 由此可得，边长为的正四面体满足条件. 可知所求正四面体的体积. 题型十 求空间角 【例10-1】（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，再写出坐标结合异面直线所成角的余弦公式计算求解. 【详解】过作，且， 设， 得， 以为原点，以所在直线分别为轴，过作平面为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设和所成角为. 故答案为：. 【例10-2】（25-26高二上·上海·月考）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设正四棱柱的高为，标出点、、的坐标，结合已知条件得到方程，根据方程解的情况求出的取值范围即可求解. 【详解】根据已知条件，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    设正四棱柱的高为，令，，， 所以，， 因为，所以，即， 整理得，因为棱上至少存在一点使得， 所以关于的方程，至少有一个解， 即，整理得，解得， 因为，所以，所以棱长的最大值为. 故答案为： 【例10-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】设，根据条件建系，设，求出相关向量的坐标和平面的法向量坐标，设，利用空间向量夹角的坐标公式求出的表示式，再借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】    如图，设，因底面为菱形，则，依题意，平面， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，因是等边三角形，且，则， 于是，， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设，则， 且， 依题意，， 因，则，故可得. 故答案为：. 【例10-4】（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上移动． (1)当点在棱的中点时，证明：平面平面； (2)当为何值时，平面与平面所成的锐二面角为． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先证明，再应用线面垂直判定定理证明平面，最后应用面面垂直判定定理证明； （2）先设，再应用空间向量法计算二面角余弦值即可求参. 【详解】（1） 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，，， 则，，，， 即，， 因为， 所以，即，又因为平面，平面，所以平面， 所以平面，平面，所以平面平面. （2） 如图，以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设时，则， 由图知，平面法向量为，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，因为平面与平面所成角为． 所以，解得或（舍）． 所以当为时，平面与平面所成角为． 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则的大小为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求角. 【详解】如图： 在长方体中，表示入射线，平面为平面，在平面的射影为， 因为直线照射到平面的入射角为，所以. 不妨令，，将平面绕轴旋转得平面. 则，可取，则反射光线的方向向量为：. 因为点关于平面的对称点为，所以反射线的方向向量为：. 所以. 所以. 故答案为： 【变式10-2】（25-26高二上·上海·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的大小； （2）根据面面角的空间向量公式表示出，利用换元法及二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）以点O为原点，直线OB，分别为y，z轴， 过O于AB垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，，， 设， 则， ，． 当时， ，． 设异面直线与所成的角为，从而， 因此，异面直线与所成的角为； （2）由（1）知，． 易得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为， 则， 由是圆柱底而圆周上与不重合的一动点知，，则， 则，所以，所以， 所以，又，所以， 即锐二面角的范围为． 【变式10-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动， (1)证明：直线平面； (2)若，求直线和平面的所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直接用空间向量判断线面关系可证； （2）用空间向量求线面角. 【详解】（1）以为原点，以射线为轴､轴､轴的正半轴，建立空间直角坐标系．如图： 设，直线的一个方向向量为， 又，设是平面的一个法向量， 则，得，令，则. 于是平面的一个法向量， 于是，所以，又直线平面， 所以直线平面． （2）设为所求角，由（1）可知，，， 解得（负值舍去）， 平面的一个法向量，， ，， 于是， 所以直线和平面的所成角为． 【变式10-4】（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由平面平面得到平面从而得到， 在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度， 在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解； （3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解. 【详解】（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， （3）假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， 平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 2．（23-24高二下·上海·月考）下列选项中，不正确的命题是（    ） A．若两条不同直线的方向向量为，则 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D．圆与的位置关系为内切 【答案】C 【分析】对于A，根据直线方向向量的定义分析判断；对于B，由方程表示的直线斜率为,即可判断；对于C，由空间向量的基底的定义分析判断；对于D，求出两圆的圆心距，等于半径差的绝对值，可知两圆内切，即可判断. 【详解】对于A，由于两条不同直线，的方向向量为，，当时，，当时，，故A正确； 对于B，方程表示的直线斜率为,故B正确； 对于C，因为，所以共面， 所以不是空间向量的一组基底，故C错误； 对于D，圆的圆心，半径， 圆可化为，则圆心，半径， 所以，所以两圆内切，故D正确. 故选：C. 3．（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海宝山·月考）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 【答案】 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 5．（25-26高二上·上海·期中）已知空间直角坐标系，若动点满足，若均取遍，则点的轨迹形成的几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】点的轨迹是由的线性组合（系数在到之间）生成的点，且这些点集构成一个平行六面体，利用三个向量的混合积即可求解. 【详解】由题知， 点的轨迹是由的线性组合（系数在到之间）生成的点， 且这些点集构成一个平行六面体，其三条相邻的棱分别是， 则平行六面体的体积等于三个向量的混合积的绝对值， 即. 故答案为： 6．（25-26高二上·上海静安·期中）若，，则 ， . 【答案】 【分析】根据题意，存在实数，使得，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量， 因为，则存在实数，使得，即， 可得，解得. 故答案为：；. 7．（24-25高二下·上海·月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 能力提升进阶练 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值. 【详解】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故选：B.    2．（25-26高二上·上海·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列两个结论： ①存在唯一点，使得； ②的面积最小值为； 其中（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【分析】①分三种情况（若在线段上、若在直线上，且在点左侧、若在直线上，且在点右侧）讨论，根据求出参数值. ②建立空间直角坐标系，根据坐标和向量夹角的余弦公式求出，然后求出到直线的距离为，进而得到的面积表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】①：因为平面，平面，所以，同理， 若在线段上，设，所以， 又， 若，则，解得， 所以存在唯一点使得； 若在直线上，且在点左侧，设， 则，所以， 又， 由，得，舍去； 若在直线上，且在点右侧，设，则， 所以， 又， 由，得，舍去，①正确； ②：以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图， 正方体棱长为2，则， 设，则， 所以，令 设到直线的距离为， 则 若在线段上，则， 由二次函数性质知时，递减， 所以，又不变， 所以的面积最小为； 若直线上，且在左侧，则， 由二次函数性质知，时，无最小值； 若直线上，且在右侧，则， 由二次函数性质知，时，在时，取得最小， 且此时，又不变， 所以的面积最小为，②错误. 故选：B. 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则 .    【答案】 【分析】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.”，故只需求出，再结合数量积的运算律. 【详解】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.” 正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得， 则. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海·月考）如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 【答案】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，， 在正方形中，，，， 所以为二面角的平面角，即， 所以 . 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海杨浦·月考）如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是 ． 【答案】5 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 6．（24-25高二下·上海宝山·期末）如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基. (1)求向量在基下的坐标； (2)若向量在基下的坐标为，向量与共线，且. ①求向量在基下的坐标； ②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）向量在基下的坐标为，再根据向量的线性运算可求； （2）①根据向量的线性运算，先求在基下的坐标，设，再利用向量模长的坐标表示求得，即可得到向量在基下的坐标；②由题知旋转体是两个同底的圆锥，然后根据圆锥体积计算公式求解即可. 【详解】（1）设向量在基下的坐标为， 则 因为 可得方程组，解得 所以向量在基下的坐标为. （2）①向量在基下的坐标为， 即 则. 因为向量与共线，可设， 解得， 所以在基下的坐标为或. ②， 因为与的夹角为锐角，从而，所以， 在上的投影大小为 以、为邻边的三角形区域以为轴旋转一周得到的旋转体是两个同底的圆锥， 该圆锥的半径， 两个圆锥高值和为， 所以旋转体的体积为 7．（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，点是棱的中点．    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由： (3)若．设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3). 【分析】（1）根据题意只需证明平面，即可得到，从而可得答案； （2）存在实数m，使得直线与平面垂直．只需证明，，即可得到直线平面； （3）利用空间向量法来求点到面的距离，即可利用相等关系求解答案. 【详解】（1）    连接由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； （2）    存在实数，使得直线与平面垂直．理由如下： 连结，当时，， 因为，所以，所以， 则， 所以，即， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，所以平面， 又平面，所以. 同理可证，又，平面， 所以直线平面； （3）      当时，这个长方体就变成正方体，如图建立空间直角坐标系， 则， 则， 因为， 所以 则平面的法向量就是， 所以点到平面的距离为， 因为三棱锥与三棱锥的体积相等， 即三棱锥与三棱锥的体积相等， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， 则， 所以点到平面的距离为， 解得或，因为是线段上的一点（不含端点），所以. 即． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $