广东省东莞松莞和深大附中联考2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题

秘密★启用前 2025-2026学年度第一学期第二次检测 高二年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 5.考生必须保证答题卡的整洁。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.己知A(0,-2),B(0,2),动点P满足PA-PB=2,则点P的轨迹是() A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.射线 2.一束光线从点P(-2,4)射出，与y轴相交于点Q(0,-1).经y轴反射，则反射光线所在直线的方程为() A.5x+2y+2=0 B.5x+2y-2=0 C.5x-2y-2=0 D.5x-2y+2=0 3.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且OM=2MA, N为BC的中点，则MN=() A.1a-26+B.-2a+6+cca+6-1.2a+2五-c 2-.21 232 3 22 22 3 32 4.在空间直角坐标系中，直线1经过点P(2,-1,-2),且其方向向量i=(1,2,-1),则点M(1,0,-2)到直线1的 距离为() A.5 B.√6 C.3 D.V66 6 5.已知A(2,-1,2),B(3,1,-1),C(2,2,-2),点P(-1,y,1)在平面ABC内，则y的值为() A.2 B.-2 c 0 2 6.在△ABC中，AC=7,BC=4,AD=2DB,CD=√19，则BD=() A.1 B.2 C.3 D.4 7.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著 名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭 大方分aD≥0的菱日圆方程为土V上a士b,若圆(x3Hym +y=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则加的值为() x2 A.±3 B.±4 c.±5 D.±3√3 息椭圆C。士为口>h>0的左、石焦点分别是，R,斜率为1的直线7过左焦点，交C 11 A,B两点，且△ABF的内切圆的面积是兀，若椭圆C的离心率的取值范围是 32 线段AB的长度 的最小值为() A.√2 B.2W2 C.32 D.42 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线1：（a+2)x+y-2=0与直线：（a-2)x+3y-6=0,下列选项正确的是() A.若1/n,则a=6或a=-1 B.若1⊥n,则a=1 C.直线1恒过点(1，-1) D.若直线”在x轴上的截距为6，则直线m的斜截式为y= x-2 0.已知.是椭圆C去+)a>0与双曲线C,茶-)1b>0的公共焦点，点P是两曲线的= 个交点，e,e2分别为C1,C,的离心率，则() 11 A.a>b B.ee,<1 C.△PEF是直角三角形 D. 2+是个定值 11.如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2,M,N分别 C 是AB,B,C的中点，P是BC,与B,C的交点，Q为线段AN上的动点（包含线段的端 B 点)，K为平面A1BC上的动点，则以下说法正确的是() A.三棱锥A一QBC的体积为定值 B.Q为线段AN的中点时，异面直线PQ与A1B所成角为30° C.若e∥平面ACM,则= A1Q 3 D.若K是平面A1BC上一动点，则PK1+IKQI的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点P(-2,3,1)关于坐标平面Oxy的对称点为？，点？关于坐标平面Oz的对称点为，则 IPg=」 13.定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.己知双曲线 C亡-y=1m>0)的一条渐近线过点(2,4，则C的共靶双面线的标准方程为 m 14.已知P是圆C:(x+3)2+(y-2)2=16内一点，若过点P恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有 符合条件的点P构成的区域（忽略边界)面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分)在△ABC中，√3 bcosA=asin B (1)求∠A的大小： (2)若b-c=4,a=2√7，求△ABC的面积. 16.(15分)已知圆C过点A-V15,1和B(2V3,4,且圆心C在y轴上 (1)求圆C的标准方程： (2)若直线1过点P(2,0),且被圆C截得的弦长为43，求直线1的方程 17.(15分)在三棱柱ABC-AB,C中，已知AB=AC=A4=√5，BC=4,点A在底面ABC的投 影是线段BC的中点O A (1)证明：在侧棱AA上存在一点E,使得OE⊥平面BB,CC,并求出AE 的长： (2)求平面ABC与平面BBC,C夹角的正弦值 3 18.(17分)如图，己知圆E:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上任意一点.线段PF的垂直平分线和 半径PE相交于Q,设动点Q的轨迹为C (1)求动点Q的轨迹C的方程： (2)设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A,B,过点F作一条直线与椭圆交于M,N两点，求四边形AMBN 面积的取值范围. x'=ax+by 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中，利用公式 ①（其中4，b,c,d为常数），将点P(x,y) y'=cx+dy 变换为点P'(x,y)的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 a 6 a b a,b,c,d组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 c d 3 A,B,…表示.若在平面直角坐标系xOy中，双曲线xy=3通过二阶矩阵 6 6 进行线性变换后得到双 1 3 曲线C. (1)求双曲线C的方程； (2)根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延 长线过双曲线的另一个焦点由此可得，双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决 下列问题：若直线l,是过C的右支上点P的切线，且1，不与x轴垂直，耳，F,为双曲线C的左、右焦点， 过、F分别作直线l,的垂线，垂足为T,T. ①求证：点T,T,均在以O为圆心的定圆上，且OTPF,OT1∥PF: ②求证：FIF,T是定值. 2025-2026学年度第一学期第二次检测 高二年级数学试题 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 5 6 7 8 A B D C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.25 13.22 9 14.2元 4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(1)因为√3 bcos 4=asin B,则由正弦定理有√3 sin B cosA=sin Asin B, 由B∈(0，元)，则sinB≠0，故√3cosA=sinA, 3分 即tanA=3,又A∈(0，元)，故A= 6分 (2)由余弦定理有c0sA=+c2-a_b-c+2bc-a216+2c-281 9分 2bc 2bc 2bc 2 则bc=12 11分 故=×12x5=35 13分 2 2 16.(15分)(1)：圆C的圆心在y轴上，不妨设圆C的标准方程为x2+(y-b)?=2(r>0), 15+(1-b)2=r2 代入点A-5,1,B(2W5,4,得 3分 12+(4-b)2=r2 解得 -千即圆C的标准方程为+0y-2}=16. b=2 …6分 1 (2),直线1被圆C截得的弦长为4V3,且圆C的半径为4， ∴.圆心C到直线1的距离为d=√16-12=2 .9分 ①当直线1斜率不存在，即直线1为x=2时，满足d=2; 11分 ②当直线1斜率存在时，设1：y=k(x-2), 则由d= 2+2=2,解得k=0,即直线1的方程为y=0 VR2+1 14分 综上，直线1的方程为x=2或y=0. 15分 17.(15分)(1)证明：连接AO,在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E; 因为AA/BB,可得OE⊥BB, .1分 又因为AO⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以AO⊥BC; 因为AB=AC,OB=OC可得AO⊥BC, 又AO个A,O=O,AO,AOC平面AA,O,所以BC⊥平面AA,O;..3分 因为OEc平面AAO,所以OE⊥BC, 而BB∩BC=B,BB,BCC平面BBCC,可得OE⊥平面BB,CC;5分 易知A0=√AB2-BO2=1,AA=V5,又△AE0n△AOA, 可得 AEAO A0 AA ,即AB=AOV5 A45 即在侧棱44上存在一点B,使得O2L平面BBCC,且AB=5 7分 (2)由(1)可知OA,OB,OA两两垂直， 以O为坐标原点，分别以OA,OB,OA所在直线为x,y,2轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 2小 则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2), 8分 山亚-号4-（有0号），可得￡五的华标为 2 由《)的半面BBCC的一个法向为OE行0，}…10分 又AB=(-1,2,0),AC=(0,-2,-2) 设平面AB,C的一个法向量为元=(x,y,=), AB.=-x+2y=0 令y=1,可得x=2,二=-1：12分 AC.i=-2y-2z=0 可得i=（2,1,-1)即为平面AB,C的一个法向量， 设平面AB,C与平面BBCC的夹角为0， 6 因此可得cos9=eos(OE, OE. 5 30 oE2W5× 10 14分 5 所以平面ABC与平面BB,CC夹角的正弦值为sim0=V1-cos20= V30 V70 15分 10 10 18.(17分)(1)连接F,根据题意，e=, 则2+2=2A+川ei=4E=2, 故动点9的轨迹T是以E,F为焦点，长轴长为4的椭圆. 设其方程为+少 元+京=1(a>b>0), 可知a=2,c=Va-b2=1,则b=√5， 六点的轨迹T的方程为女+ 431 4分 (2)当直线N与x轴重合时，四边形AMBN显然不存在.5分 不妨设直线MN:x=y+1,M(3,),N(x,), 将直线方程与椭圆C:女+上-1联立，得(3mr+4)y+6y-9=0, 43 -6m 为+y=3+4 B 显然△>0恒成立，则 ,且片，y2异号8分 -9 3m2+4 则四边形AMBN的面积 S=S+Sa=ABA+与A=ABy-g2+4广-44= 24Wm2+1 3m2+4 12分 24t24 令1：Vm一121，四边形BV的面装可化为S=+3中 1 .13分 :函数y=31+在[L,+o)上单调递增，则31+≥4， 14分 .16分 24t24 .0<S= 1 ≤6 3t2+13t+ ∴.四边形MBN的面积的取值范围为(0,6 17分 19.(17分)(1)设曲线y=3上任意一点(x)变换后所得点坐标为(x,) -+ 即 ,此时(3x-(y)=y=3, 1 少=x-列 整理得 ?-y1’则双曲线C的方程为 22 .4分 -=1 =1 3 3 (2)①设P∩FT=2,Pr∩ET=W, 由双曲线光学性质，∠PT=∠F,PT, PT⊥T,PF⊥FT, ∴△PF2,△PFW均为等腰三角形， .PF=PO,FT=OT,PF=PW,FT:=WT 6分 又OI,OT分别为△QFE,△WF的中位线， ∴OT UIPF2,OT,IPE, 又：QE=PQ-PF=PE-PF=2a=2, 9分 .OT=1,同理，OT2=1,T,T,在以原点为圆心的单位圆上. .10分 ②法一：设P关于O的对称点为点R,设R处双曲线的切线交I于T,由对称性：F,工，=耳T, 由于x2-y=1的左右顶点为H(-10),K1,0), 3 H 故H(-1,0),K1,0),T,T2,T,均在单位圆上，如图， T 由圆的性质得FT,·T=T,·I=H·耳K=(c-(c+gb23; 17分 法二、设P(x,%),过P(y)的直线2y-y。=k(-x) [y=+yo-, 31 →(3-k)x-2k(少-)x-3-(,-2=0 △=4(%-广-43-k)-3(%-=(, 12分 即(y。-)}'=k2-3,故k2(x-1-2。+6+3=0, 又-=1，故3=3+， 所以兰盗+3=0，音八=0，解得经， y l2xx-%y=1, 3 .14分 又E(-2,0),F2(2,0), R4=上2-1.2-斗_A- +号++ 15分 3 3+ 3 =3 .17分 9