精品解析：北京市首都经济贸易大学附属中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025-2026学年11月期中考试试卷 一、单选题 1. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 2. 方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实根 3. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. ，， B. ，， C. ，4， D. ，，1 4. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．最初充电桩的安装成本为1.5万元，经过两个月的优化管理，成本降至1.2万元．设月平均成本降低率为x，则下列所列的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于，，的符号判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 下列关于二次函数的最值，说法正确的是（　 　） A. 有最小值，且最小值为1 B. 有最大值，且最大值为3 C. 有最大值，且最大值为1 D. 有最小值，且最小值为3 8. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（ ）． A. ①②④ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ②④⑥ 二、填空题 9. 一元二次方程的解为：_______________． 10. 把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度平移后图象的函数解析式为___________． 11. 请写出一个开口向下，且经过点的二次函数的表达式_______． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_____ ． 13. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：___________． 14. 若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是______． 15. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为_______． 16. 如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，菱形的两条对角线长分别为和（其中为菱形的短对角线的长度），将这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为，则的值为___________． 三、解答题 17. 解方程：，_____________ 18. 配方法解方程：． 19. 如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一根小于0，求的取值范围． 21. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 22. 已知：如图是抛物线的图像的一部分，图像经过点，且对称轴是直线， （1）由图像可知，a______________0（用“>”或“<”填空），抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______________，当x______________时，y随x的增大而减小； （2）若点在该抛物线的图像上，且，则______________，______________0（用“>”或“<”填空）． 23. 已知一个二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： （1）这个二次函数的解析式是______ ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像； （3）当时，的取值范围为______ ． 24. 2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练． （1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 竖直高度y/m … ①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式； ③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由； （2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）． 25. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为．若，且，求t的取值范围． 26. 如图，在正方形中，点P是线段延长线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，作直线交于点E． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图1，若点，点P为M，N的点，连接． ① °； ②求点P的纵坐标； （2）已知点． ①当时，点P为M，N的点，且点P的横坐标为，则 ； ②当时，点P为M，N的点，且点P的横坐标为2，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年11月期中考试试卷 一、单选题 1. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 2. 方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 求出的值即可判断． 【详解】∵， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. ，， B. ，， C. ，4， D. ，，1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 4. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为标准形式后，通过因式分解法求解即可． 【详解】解∶原方程变形为 ∴， ∴， 解得：， 故选∶C． 5. 随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．最初充电桩的安装成本为1.5万元，经过两个月的优化管理，成本降至1.2万元．设月平均成本降低率为x，则下列所列的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（平均变化率问题），解题的关键是根据平均降低率的规律列出方程． 根据平均降低率的公式，结合初始成本、降低率和两个月后的成本，列出方程并判断选项． 【详解】解：设月平均成本降低率为，则第一个月后的成本为万元，第二个月后的成本为万元， 根据题意，两个月后成本降至1.2万元， 因此方程为： 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于，，的符号判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向下；对称轴在轴左侧，，同号；抛物线与轴的交点即为的值． 根据开口方向可得，根据对称轴及抛物线与轴的交点可得，，即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在轴左侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于轴正半轴， ∴， 综上所述：，，． 故选：A． 7. 下列关于二次函数的最值，说法正确的是（　 　） A. 有最小值，且最小值为1 B. 有最大值，且最大值为3 C. 有最大值，且最大值为1 D. 有最小值，且最小值为3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 把二次函数利用配方法改为顶点式，利用函数的性质求得函数的最值即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，二次函数有最大值，且最大值为3． 故选：B 8. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（ ）． A. ①②④ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ②④⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图象可知：， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以②④⑤正确． 故选：C． 二、填空题 9. 一元二次方程的解为：_______________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ，， 故答案为：，． 10. 把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度平移后图象的函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位， 得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握此规律解题是本题的关键． 11. 请写出一个开口向下，且经过点的二次函数的表达式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，图像和性质，熟练掌握二次函数的概念，图像和性质是解题的关键；根据开口方向及经过点的坐标，即可求解． 【详解】解：因为二次函数的图像开口向下，且经过点， 所以二次项系数， 所以该函数图像可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据是一元二次方程的两个实数根，得出，据此列式，代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：设该方程的另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：5． 13. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．分别把，代入解析式求解即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了函数图象与轴只有一个公共点，熟练掌握二次函数根的判别式为，分类讨论是解题关键． 分和两种情况解答，当时，是一次函数；当时，，解方程即可． 【详解】解：关于的函数的图象与x轴仅有一个公共点， ∴当时， ， 解得， 当时，是一次函数，图象与轴只有一个公共点， 故答案为：或． 15. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据图象求与x轴的另一个交点坐标，然后根据图象与x轴交点坐标的横坐标为一元二次方程的根，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的一元二次方程的两根为，， 故答案为：，． 16. 如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，菱形的两条对角线长分别为和（其中为菱形的短对角线的长度），将这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识．由菱形的性质可得直角三角形的直角边分别为，，推出大正方形的面积为，再根据阴影面积大正方形的面积四个三角形的面积，列方程即可求解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 直角三角形的直角边分别为，， 大正方形的面积为， 阴影小正方形的面积为， ， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程：，_____________ 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，运用配方法求解即可.             【详解】解：      ∴，． 故答案为： ，． 18. 配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．利用配方法解方程即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 或， ，． 19. 如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1），M (1，-2)；（2） 【解析】 【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 【详解】解 （1）∵抛物线过点A(2，0)， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一根小于0，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：依题意，得， 该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，公式法解一元二次方程； （1）求出根的判别式，根据判别式的意义可得结论； （2）利用公式法求出方程的解为，，根据该方程有一根小于0可知，然后可求出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ，， ∵该方程有一根小于0， ∴， ∴． 21. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 22. 已知：如图是抛物线的图像的一部分，图像经过点，且对称轴是直线， （1）由图像可知，a______________0（用“>”或“<”填空），抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______________，当x______________时，y随x的增大而减小； （2）若点在该抛物线的图像上，且，则______________，______________0（用“>”或“<”填空）． 【答案】（1） ； ； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图像的性质求解即可； （2）根据抛物线的对称性和增减性求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线开口向下 ∴ ∵点 关于直线的对称点为 ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 由图像可知：当时，y随x的增大而减小； 【小问2详解】 解：设点与点关于直线对称； 则点在抛物线的图像上； 由 可得： ∴ ∵当时，y随x的增大而减小； ∴ ∵抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ∴当时， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 23. 已知一个二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： （1）这个二次函数的解析式是______ ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像； （3）当时，的取值范围为______ ． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，可设解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）根据，0时的函数值，再结合可知当时，，即可写出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为：， 把点代入得，解得， 抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∵对称轴为，， ∴， 当时，；当时，，开口向上，离对称轴越远函数值越大， 当时，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 24. 2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练． （1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 竖直高度y/m … ①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式； ③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由； （2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）． 【答案】（1）①如图，即为所求； ；②；； ③成功，理由如下： 当时，， 解得：或1（舍去）， 即韩旭距篮筐中心的水平距离时，篮球运行的高度为， ∴韩旭第一次投篮练习是成功； （2） 【解析】 【分析】（1）①直接利用描点法画出函数图象，即可；②设y与x满足的函数解析式为，再把点代入，求出m的值，即可；③把代入②中函数解析式，即可； （2）把点代入，求出函数解析式，再把把代入，求出x，即可． 【小问1详解】 解：①略 ②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是； 设y与x满足的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴y与x满足的函数解析式为； ③略 【小问2详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴此时y与x满足的函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∵， ∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为．若，且，求t的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性直接求对称轴即可； （2）根据，可知抛物线过原点，再根据, 且, 可知抛物线与轴的另一交点在和之间，从而确定出对称轴的取值范围. 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 【小问2详解】 ∵, ∴抛物线开口向上且经过原点， ∵, 且, ∴, ∴抛物线和轴的个交点，一个为，另外一个点为, ∴, ∴, ∵点, 点关于对称轴的对称点为， ∵, ∴, ， 综上所述，的取值范围为 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解. 26. 如图，在正方形中，点P是线段延长线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，作直线交于点E． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：如图所示，即为补全的图形； （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3） 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）证明，得出，证明是等边三角形，得出，证明，即可得出； （3）在上截取，连接，证明，得出，，证明是等边三角形，得出，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 27. 在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图1，若点，点P为M，N的点，连接． ① °； ②求点P的纵坐标； （2）已知点． ①当时，点P为M，N的点，且点P的横坐标为，则 ； ②当时，点P为M，N的点，且点P的横坐标为2，则 ． 【答案】（1）①30；②3； （2）①6；②3或 【解析】 【分析】（1）①如图1，过点Q作轴于E，过点P作轴于F，根据定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点P为M，N的点．可知为等边三角形，l与x轴所夹锐角为，则，，即可求得答案； ②先证明，根据全等三角形的性质即可求得答案； （2）①过点Q作轴于E，过点P作轴于F，作轴交直线l于K，交x轴于T，连接交x轴于W，连接交直线l于L，根据定义可得，P、Q关于直线l对称，再由勾股定理即可求得答案； ②分两种情况：或，分别画出图象，结合定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：①如图1，过点Q作轴于E，过点P作轴于F， ∵， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点P为M，N的点， ∴l与x轴所夹锐角为， ∵点P关于直线l的对称点为Q， ∴， 故答案为：30． ②在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵， ∴， ∴当时，， 如图2，过点Q作轴于E，过点P作轴于F，作轴交直线l于K，交x轴于T，连接交x轴于W，连接交直线l于L， ∵点P为M，N的点， ∴， ∴， ∵P、Q关于直线l对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． ②∵， ∴， 如图，分两种情况：当时，点在点M的右侧， ∵与l的夹角为， ∴关于l的对称线和l的夹角也为， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，点在点M的左侧， 同理可得：，即， ∴； 综上所述，或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质等，理解并运用新定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $