精品解析：浙江省宁波市北仑区顾国和外国语学校2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷

顾国和外国语学校2025学年第一学期期中学科调研 初二年级数学 （分值：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键． 根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，剪纸图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 已知，如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了全等三角形的性质，根据得出，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：由，得， 故不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集如图： ； 故选A． 4. 若等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，并验证各种情况是否能构成三角形是解题的关键．因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确底边和腰，所以分两种情况讨论，然后根据三角形的三边关系判断即可得出答案． 【详解】解：①当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形， 该三角形的周长为：； ②当为腰时，其它两边为和， ， 、、不能构成三角形，应舍去； 故选：C． 5. 如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分，， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，如图，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用垂线段最短解决最短路线问题，涉及角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 6. 已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，等腰三角形的周长是（ ） A. 8 B. 32 C. 8或32 D. 16或32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的周长求解，三角形中线的性质以及三角形三边的关系，分类讨论两部分是哪一部分减哪一部分是解决本题的关键．根据中线的性质可得，再分类讨论求出另外两边长度，结合三角形三边的关系进行取舍即可． 【详解】解：为等腰的边上的中线，底边长为， ，， 分两种情况讨论： ①当时， 即． ， ， 周长为； ②当时， 即． ， ， 当时，三边长分别为， 而，不能构成三角形，故舍去． 综上，等腰三角形的周长为． 故选：B 7. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向；据此逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原式不成立，不符合题意； B、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； C、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； D、由，可得，原式一定成立，符合题意； 故选：D． 8. 小杰买了单价分别为2元和3元的练习本若干本（每种至少买一本），总共花了20元，则有（ ）种购买方案． A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解在实际购买问题中的应用．解题的关键是根据题意列出方程，结合“每种至少买一本”的条件确定未知数的取值范围，进而找出所有符合题意的整数解． 设单价2元、3元的练习本分别买了x本、y本，列出方程；根据且均为正整数，求出方程的所有整数解，即可确定购买方案的数量． 【详解】解：设单价为2元的练习本买了x本，单价为3元的练习本买了y本，其中x、y为正整数． 根据题意，得，则． 因为，所以，解得； 又因为且为偶数，x为整数，所以为偶数，即y为偶数． 则y可取2、4、6： 当时，； 当时，； 当时，． 共3种购买方案． 故选：B． 9. 三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形全等的判定和性质，根据两点之间线段最短，列出路程和比较解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， A. OABCO的线段表示为：, B. OACBO的线段表示为：, C. OBACO的线段表示为：, D. OBCAO的线段表示为：, ∴ ， ∵， ∴， 故B不符合题意； 在上截取， ∵， ∴， ∴， 又 ， ∵， ∴， 故C不符合题意； ． ， ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可证明，可判断①，根据全等三角形的性质得，，，从而可证，根据全等三角形的性质得，，可判断②，若，，等量代换即可求出，可判断③，在中，根据三角形三边关系得，等量代换即可判断④． 【详解】解：∵，， ， ， ， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即， ， ， 在与中， ， ，故①正确； ，， ， ， 在与中， ， ， ，故②正确； 若，， ， ，故③正确； ， ，故④错误． 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 不等式的最大整数解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，求不等式的最大整数解，熟练掌握解不等式是解答此题的关键． 解不等式，得到解集，再找最大整数解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴最大整数解是． 故答案为：． 12. 请你举出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例___________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查假命题问题，掌握命题，真命题与假命题的区别与联系，会举反例证明叫命题是解题关键． 验证一个命题是假命题，只需举反例即可． 【详解】解：当时，满足，此时，但不满足． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若三角形的三边分别为，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形中任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边成为解题的关键． 根据三角形的三边关系列不等式组求解即可． 【详解】解：∵三角形的三边分别为， ∴，即． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，是边上的中线，过点作的垂线交于点，交于点，连接．则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，平行线的判定以及性质等知识．过点作交的延长线于点，证明，可得，．又点是的中点，即得，从而可得，得，则，进而可得． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图： ，， ， ． ，， ， ， ． 又，， ， ，， 点是的中点， ， ． ，， ， 又， ， ， ∴， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角三角形时，则AD的长为_____． 【答案】7或17 【解析】 【分析】分两种情况：①当点D在AF上时；②当点D在BF上时；进行讨论即可求解． 【详解】解：作CF⊥AB于F， ∵在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24， ∴AF＝12， ∴CF＝＝5， ①如图1，当点D在AF上时， ∵∠ADE＝90°， ∴∠ADC＝∠EDC＝（360°﹣90°）÷2＝135°． ∴∠CDF＝45°． ∴CF＝DF． ∴AD＝AF﹣DF＝AF﹣CF＝12﹣5＝7． ②如图2，当点D在BF上时， ∵∠ADE＝90°， ∴∠CDF＝45°． ∴CF＝DF． ∴AD＝AF+DF＝AF+CF＝12+5＝17． 故答案为：或． 【点睛】主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 16. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组，根据不等式组有解且至多有3个整数解可得，再解分式方程，根据分式方程的解是非负整数可得非负整数，且，，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵关于的分式方程的解是非负整数， ∴非负整数，且，， 即，， ∵非负整数， ∴所有满足条件的整数的值为， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：12． 三、解答题（第17，18，19，20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解不等式（组） （1）解不等式： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：去括号得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，已知四边形，其中，，． （1）求证：． （2）作的垂直平分线，分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） 证明：在和中， ． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）直接用证明三角形全等即可； （2）分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，作垂直平分线，熟练掌握全等三角形的判定、垂直平分线尺规作图是解题关键． 19. 等腰三角形中，周长为． （1）如果腰长是底边长的倍，求各边长； （2）如果一边长为，求另两边长． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形概念，三角形的三边关系定理，解一元一次方程的应用．注意：求出的边长应符合三角形的三边关系定理． （1）设底边，则腰长，根据三角形的周长公式，列出方程，即可求解； （2）分为长为边是等腰三角形的腰和长为边是等腰三角形的底边，两种情况，进行分析，结合三角形的三边关系进行验证，即可求解． 【小问1详解】 解：设底边，则腰长， ∵三角形的周长是， ∴， ∴， 则， 即等腰三角形的三边长是，，． 【小问2详解】 解：当长为边是等腰三角形的腰时， 设底边为， 则， 解得：， 此时，等腰三角形的三边长是，，， ∵， 故三条边的边长为，，时，不构成三角形； 当长为边是等腰三角形的底边时， 设等腰三角形的腰为， 则， 解得：， 三角形的三边长是，，， ∵， 故三条边的边长为，，时，构成三角形； 故如果一边长为时，另两边长，． 20. 如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． （1）这个梯子的顶端A距离地面多远？ （2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）这个梯子的顶端A距地面有远 （2）梯子的底端在水平方向滑动了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这个梯子的顶端A距地面有远； 【小问2详解】 解：∵梯子的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 21. 为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的文具店购买A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵5元，且用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同． （1）求A，B两种文具的单价； （2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则年级组至少购买B种文具多少件？ 【答案】（1）A文具的单价为15元，则B文具的单价为10元 （2）年级组至少购买B种文具60件 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设文具的单价为元，则文具的单价为元，根据“用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同”列方程求解即可； （2）设年级组购买B种文具m件，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设文具的单价为元，则文具的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：A文具的单价为15元，则B文具的单价为10元； 【小问2详解】 解：设年级组购买B种文具m件，则购买A种文具件， 根据题意，得， 解得， 答：年级组至少购买B种文具60件． 22. 如图，已知是直角三角形，，，是线段上的一点，且于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，AD∥BC， ， ， ， ， ， ∵在和中， ， ． ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据平行线的性质得到，进而根据垂线的定义得到，证明，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，进而可知的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∵， ∴． 23. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出；进而可得答案． 【小问1详解】 解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； 【小问2详解】 解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： 【小问3详解】 解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解， ∴整数解为2，3，4，5， ∴ 解得； 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 即 解得：， 即 综上： 24. 如图，在四边形ABCD中，，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点. （1）求证：点P也是BC的中点. （2）若，且，求AP的长. （3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得是等腰三角形，求的长. 【答案】 （1）证明：∵， ∴∠B=∠ECP， ∵点P为AE的中点， ∴AP=EP， 在∆CEP和∆BAP中， ∵（对顶角相等） ∴∆CEP≅∆BAP（AAS） ∴BP=CP， ∴点P也是BC的中点； （2）5；（3）4或或. 【解析】 【分析】（1）由，得∠B=∠ECP，由点P为AE的中点，得AP=EP，根据AAS可证∆CEP≅∆BAP，进而得到结论； （2）在Rt∆DCP中，利用勾股定理，可得CP的长，即BP的长，从而在Rt∆ABP中，利用勾股定理，即可求解； （3）若是等腰三角形，分3种情况讨论：①当AQ=AB时，②当BQ=AB时，③当AQ=BQ时，分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AQ的值即可. 【详解】（1）略． （2）∵， ∴， ∴， ∴BP=CP=3， ∴在Rt∆ABP中， （3）若是等腰三角形，分3种情况讨论： ①当AQ=AB时，如图1， ∵AB=4， ∴AQ=4； ②当BQ=AB时，如图2， 过段B作BM⊥AE于点M， ∵在Rt∆ABP中，AB=4，BP=3，AP=5， ∴BM=， ∵在Rt∆ABM中，， ∴， ∵BQ=AB，BM⊥AE， ∴MQ=AM=， ∴AQ=2×=， ③当AQ=BQ时， ∴∠QAB=∠QBA， ∵， ∴∠QAB+∠QPB=90°，∠QBA+∠QBP=90°， ∴∠QPB=∠QBP， ∴BQ=PQ， ∴AQ= BQ=PQ=AP=×5=； 综上所述，AQ的长为：4或或. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，根据题意，分别画出图形，熟练运用等腰三角形的性质，是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顾国和外国语学校2025学年第一学期期中学科调研 初二年级数学 （分值：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 5. 如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，等腰三角形的周长是（ ） A. 8 B. 32 C. 8或32 D. 16或32 7. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 小杰买了单价分别为2元和3元的练习本若干本（每种至少买一本），总共花了20元，则有（ ）种购买方案． A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 9. 三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 不等式的最大整数解是___________． 12. 请你举出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例___________ 13. 若三角形的三边分别为，则a的取值范围是_______． 14. 如图，在中，，，，是边上的中线，过点作的垂线交于点，交于点，连接．则______． 15. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角三角形时，则AD的长为_____． 16. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 三、解答题（第17，18，19，20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解不等式（组） （1）解不等式： （2）解不等式组： 18. 如图，已知四边形，其中，，． （1）求证：． （2）作的垂直平分线，分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 等腰三角形中，周长为． （1）如果腰长是底边长的倍，求各边长； （2）如果一边长为，求另两边长． 20. 如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． （1）这个梯子的顶端A距离地面多远？ （2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 21. 为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的文具店购买A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵5元，且用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同． （1）求A，B两种文具的单价； （2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则年级组至少购买B种文具多少件？ 22. 如图，已知是直角三角形，，，是线段上的一点，且于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 24. 如图，在四边形ABCD中，，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点. （1）求证：点P也是BC的中点. （2）若，且，求AP的长. （3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得是等腰三角形，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $