河南省漯河市第五高级中学2025-2026学年高二上学期期中数学模拟试卷

2025-2026学年上学期期中模拟考试 高二数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.过A(2,t),B(5,-5)两点的直线的倾料角是135°，则t=( A.2 B.-2 C.4 D.-4 2.已知空间向量ā=(6，x,y),6=(21,-3)若a/,则x-y=（ A12 B.10 C.-10 D.-12 3.若椭圆需+兰=1的焦距为2，则实数m的值为（ A.3 B.3或5 C.5或8 D.8 4.已知点P(2,1)是圆x2+y2+2x-4k+3=0外一点，则k的取值范围是( A.(3.+oo) B.（-0,3) c(3) D.(很3) 5.椭圆M的左、右焦点分别为F,F,过点F且与长轴垂直的直线交椭圆M于A,B两 点.若△ABF2为等边三角形，则椭圆M的离心率为( 3 B c v3 D 2 2 6.设直线x+Qy+2=0与圆C:x2+(y-2)2=16相交于A,B两点，且△ABC的面积为 8,则a=( A.-V2 B.-1 C.1 D.√2 7.如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC是边长为3的正三角形，M是AB 上一点，AM=ME,D为BC的中点，N为PD上-点且PN=PD,则 3 IMNI=( A.5 B.3 C.5 D.3 8.已知M(-1,2),N是曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0上的动点，P是直线 x+2y+2=0上的一个动点，则|PM+PN川的最小值是( A.V17-1 B.V17 C.35-1 D.3V5 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.设R,F2是椭圆兰+上 =1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF-PFz=2,则下列 1612 说法中正确的是( A.IPFI =5,IPF2=3 B.离心率为 C.△PFF2的面积为6 D.△PF:F2的面积为12 10.圆01：x2+y2-2x=0和圆02：x2+y2+2x-8y=0交点为A,B,则有( A.公共弦AB所在直线方程为x-2y=0 B.线段AB中垂线方程为2x+y-2=0 C,公共弦AB的长为25 D.P为圆O,上一动点，则P到直线AB距离的最大值为5+1 5 11.在边长为2正方体ABCD一A'B'C‘D'中，M为BC边的中点，下列结论正确的有 A.AM与D'B'所成角的余弦值为 10 B.过A,M,D'三点的正方体ABCD-ABC'D的截面面积为3 C.当P在线段A'C上运动时，PB|+PM的最小值为3 D.若Q为正方体表面BCC'B'上的一个动点，E,F分别为AC'的三等分点，则IQE|+|QFI 的最小值为2√万 三、填空题：每小题5分，共15分. 12.已知直线l1:x+(1+m)y+m-2=0与直线12：mx+2y+8=0平行，则 m= 浪河五高高二数学 第2/4页 13.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中 点，则直线FC到平面AEC,的距离为 14.已知椭圆器+后=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为5若A,B分别是椭圆的 2 上、下项点，F,F分别为椭圆的上、下焦点，P为椭圆上任意一点，且PAPB=一 则△PFF2的面积为 四、解答题：（共77分） 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, asin Acos B+bsin AcosA=3acosC. (1)求角C的大小： (2)若a=3,且AB.AC=1,求△ABC的面积. 16.已知A(2,1),B(0,5),C(1,-2),圆M是△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程； (2)若直线过点(1，-5)，且被圆M截得的弦长为6，求直线的方程， 17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1A1,侧面ACC1A1为菱形， AC=2,∠A1AC=60°，底面ABC为等腰三角形，AB=BC,0是AC的中点， (1)证明：平面0A1B1⊥平面ABC; (2)若平面A0B,与平面0B1C,的夹角余弦值为四，求直线OB与平面0B1C,所成角的正 弦值 B B1 C O A L.1盆 第3/4页 18.如图，已知椭圆c:等+片=1a>b>0)过点P(3,1,焦距为4反：斜率为-号直线 l与椭圆C相交于异于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直 (1)求椭圆C的方程； (2)若|MN=√IO,求MN的方程： (3)记直线PM的斜率为k1,直线PN的斜率为k2,证明：k1k2为定值 2 19.已知圆0的方程为x2+y2=4, (1)求过点(2，-1)的圆0的切线方程： (2)已知两个定点A(a,2),B(m1),其中aeR,m>0P为圆0上任意一点，=n (n为常数). ①求常数n的值； ②过点E(a,t)作直线l与圆C:x2+y2=m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中 点，求实数t的取值范围. 漯河五高高二数学 第： 2025-2026学年上学期期中模拟考试 高二数学参考答案 1.【答案】B【详解】因为过A(2,t),B(5,-5)两点的直线的倾斜角是135°， 所以k知=2=tan135°=-1，解得t=-2故选：B. 2.【答案】A【详解】因ā/币，所以有：==名解得x=3,y=-9, 所以x-y=12.故选：A 3.【答案】B【详解】当椭圆器+片=1的焦点在x轴上时，有m-4=(份，故m=5, 当椭圆器+兰=1的焦点在y轴上时，有4-m=()子，故m=3.故选：B, 4.【答案】D【详解】由题意得22+02-4(-4k+3)>0且22+12+4-4k+3>0, 解得k∈(G,3)故选：D 5.【答案】A【详解】设AF|=m,因为△ABF2为等边三角形，则IAF2|=2m, IF1F2|=V3m=2c,因为AFl+lAF2l=3m=2a, 所以椭圆M的离心率为=织=号故选：A 6.【答案】C【详解】由三角形的面积公式可得SAARC=×4sin∠ACB=8, 得sin∠ACB=1,由0<LACB<π，得LACB=,所以△ABC为等腰直角三角形， 所以圆心C(0,2)到直线x+ay+2=0的距离为d=4sin=2V2, 由点到直线的距离公式得d=器=22，解得a=1故选：C 7.【答案】D【详解】解：以PA,PB,PC为一组基底， 则MN=m-a,=pm-P7-A=而-PA-P丽+P☑ =历+c-pm-西+网-元-网-c2-g元.m+gm =后×9-音×3×3×c0s60°+×9=3，所以1MN=V5,故选：D 漯河五高高二数学期中模拟答案 第1/8页 8.【答案】C【详解】解：如图所示：曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0,即为 C:(x-3)2+y-1)2=1, 表示以C(3,1)为圆心，以1为半径的圆， 设M(-1,2)关于直线x+2y+2=0的对称点为M'(m,n), =2 则 m+1 2+22+2=0 解得份-子即M-3-2》, 连接PM',PC,则|PM|+|PNPM|+|PCI-1PM'I+|PC|-1, MC1-1=3V5-1,当且仅当P,M,C共线时，等号成立， 所以则|PM+PNI的最小值是35-1，故选：C 9【答案】ABC【详解】由+上 i6+i2 =1,得a2=16,b2=12,则a=4,b=2V3,c= Va2-b2=2,因为P是椭圆上一点，所以IPF1|+1PF2l=2a=8, 因为PF-IPF2=2,所以川PFl=5,IPF2|=3,故A正确： 对于B,离心率为e==克故B正确： 对于CD,因为PF2=IPF22+EF2P,所以△PFF2为直角三角形，PF⊥FE, 所以SAPFP=×3×4=6,故C正确，D错误.故选：ABC 10.【答案】ABD【详解】对于A,由x2+y2-2x=0与x2+y2+2x-8y=0,两式作 差可得4x-8y=0,即x-2y=0,∴.公共弦AB所在直线方程为x-2y=0,故A正确： 对于B,圆01：x2+y2-2x=0的圆心为(1,0)，圆02：x2+y2+2x-8y=0的圆心(-1,4)， 由圆的性质可得AB的中垂线为01O2,可得AB的中垂线方程为y=一2×(x-1), 即2x+y-2=0,故B正确： 对于C,圆心0到直线x-2y=0的距离d=店，半径为r=1, 则A81=21-(信=g故C错误： 漯河五高高二数学期中模拟答案 第218项 对于D,P为圆0上一动点，圆心0，到直线x-y=0的距离为5 半径r=1, 则P到直线AB的距离的最大值为1+S故D正确，故选：ABD 11.【答案】AC【详解】以A'为坐标原点，AD',AB,AA所在直线分别为x,y,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,2),M(1,2,2),D'(2,0,0),B'(0,2,0),C(2,2,0), .AM=(1,2,0),DB=(-2,2,0) ..COSAM,D'B'= AM-DB- AMD'B-10’ ∴AM与DB'所成角的余弦值为票 故A正确： D 取CC的中点N,连接MN,D'N,AD',则MN II BC'IAD', 故梯形MND'A为过点A,M,D的该正方体的截面，：'MN=√2，AD'=2V2,AM= DN=5.梯形MwD'A的离为，5-（图-华 2 ∴梯形MND'A的面积为发×(2+2V回×号=故B错误： 由对称性可知，IPBI=IPDI,故PBI+IPM川=PD+IPMI 又由于A',B,C,D'四点共面，故IPBI+IPM=IPDI+IPM≥ID'M|=3,当P为A'C 与D'M的交点时等号成立，故C正确， 设点F关于平面BCCB'的对称点为F,连接EF',当EF与平面BCC'B'的交点为Q时， IQEI+IQF=IQE引+|QF最小， 过点E作AD'的平行线，过点F作AB的平行线，两者交于点G,此时EG=AD'=2, 3 GF=2,EF=(9)+2=2四，故D错误故选：AC 3 12.【答案】1【详解】因为l与2平行，所以1×2=m(1+m),解得m=-2或m=1. 当m=1时，直线l1:x+2y-1=0,直线l2:x+2y+8=0,两直线平行 当m=-2时，直线l1:x-y-4=0,直线l2:-2x+2y+8=0,化简l2为x-y-4=0, 此时两直线重合，不符合要求，舍去故答案为：1 13.【答案】5【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0),E(1,21,G(0,11),F(1,2,0),C(01,0), 故EG=（-1,,0),F元=（-1,2,0)，故EC/FC 而ECC平面AEC,FCt平面AEC,故FC/平面AEC1, 故直线FC到平面AEC,的距离为即为F到平面AEC1的距离 设平面AEC1的法向量为n=（x,y,z), 又正=(0，，，故 月y+z=0 取y=2,则元=(1,2，-1)， -x+2=0 而F所=(0,01)，故P到平面A5C,的距离为房=气，故答案为： 6 6 2a=4 14.【答案】号【详解】因为 = a 2 ,所以a=2,b=1,c=V3, a2=b2+c2 所以椭圆方程为+x2=1, 设P(xoyo),椭圆的上、下顶点A(0,2),B(0,-2), 所以PA=(-x0,2-yo),P丽=(-x0,-2-y0),且t竖+x好=1， 所以PA·P丽=x号+y呢-4=x号+4-4x好-4=-2，所以x好= 即得SaP听5=B×l=×2c×誓=-V3×看=竖故答案为：号 15.【小问1详解】因为asinAcosB+bsinAcosA=V3 acosC, 所以根据正弦定理得sinAsinAcosB+sin4 sinBcosA=√3 sinAcosC, 因为sinA≠0，所以sin4cosB+sinBcosA=√5cosC, 即sin(A+B)=V5cosC,即sinC=V5cosC.因为cosC≠0，所以tanC=V3. 因为0<C<元，所以C= 3 漂河五高高二数学期中模拟答案 第15页 【小问2详解】AB.AC=bccosA=1· 因为a2=b2+c2-2 bCcosA,所以b2+c2=9+2 bccosA=11①. 因为c2=a2+b2-2 abcosC,所以b2-c2=2 abcosC--a2=2×3×b×cos5 -32= 3b-9②.联立①②可得2b2-3b-2=0,解得b=2（负根舍去)， 故△ABC的面积为号bsinC=×3×2×号=2 2 2 16.【小问1详解】解：设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为圆M过A(2,1),B(0,5),C(1,-2)三点， 4+1+2D+E+F=0 (D=6 所以 25+5E+F=0,解得E=-2, (1+4+D-2E+F=0 (F=-15 所以圆M的一般式方程为x2+y2+6x-2y-15=0 【小问2详解】解：由(1)可知圆心M(-3,1),半径r=5, 32 又1被圆M截得的弦长为6， M. 7-654本32月 2345 所以由垂径定理可得圆心M到直线的距离d=V52-32=4, 当直线1的斜率不存在时，过点(1，-5)， 所以1的方程为x=1,圆心M到直线的距离d=4,故x=1满足要求.当直线的斜率存 在时，设直线的斜率为k,又过点(1，-5)，所以直线1的方程为kx-y-k-5=0, 由点到直线的距离公式可得 3水-1-k-5=4,解得k=-是 V1+k2 直线的方程为5x+12y+55=0, 综上所述，直线的方程为x=1或5x+12y+55=0 17.【小问1详解】 如图，连接A1C,菱形ACC1A1中，由∠A1AC=60得△AA1C为等边三角形， ,0是AC的中点，∴.OA1⊥AC, 平面ABC⊥平面ACC1A1,平面ABCn平面ACC1A1=AC,OA1C平面ACC1A1, ∴.0A1⊥平面ABC, B ,0A1C平面0A1B1,∴.平面0A1B1⊥平面ABC. 【小问2详解】由(1)知0A11平面ABC, ,AB=BC,O是AC的中点，.BO⊥AC, 以点0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ,AC=2,△AA1C为等边三角形，.0A1=V3, 设0B=t(t>0),则 A(1,0,0),B(0,0,t),B1(-1,V3,t),C1(-2,V3,0), .0A=(1,0,0),0B=(0,0,t),0B1=(-1,V3,t),0C= (-2,V3,0), 设平面A0B,法向量元=(h2,则元0可=-名+V31+t2=0 元.0A=x1=0 令21=3，x1=0,y=-t,得m=(0,-6,V5), 设平面0B,G法向量元=(x2,2,2),则_元.0C=-2+V32=0 (i.0B1=-x2+V3y2+tz2=0 令z2=V3,x2=-V3t,y2=-2t,可得元=(-V3t,-2t,V3) cos(m,列卡|m 212+3 √10 ,由t>0,解得t=1, 1mnV2+3V3r2+4r2+34 ∴.0B=(0,0,1),元=(-V3,-2,V3)设直线OB与平面0B1C1所成角为0， sin0=lcos(OB,)= A=点=语，即直线0B与平面0B,GC,所成角的正弦值为 V30 10 18.【小问1详解】由椭圆C等+发=1a>b>0)过点P(3,1).焦距为4反， a2=b2+c2 a=2v3 得 导+京=1，解得b2。故椭圆C的方程为号+片=1. 9 2c=4V2 c=2V2 【小间2详解】设直线的方程为y=-x+m,M(xy),N(x2,y2) 漯河五高高二数学期中模拟答案 第6/8页 (y=-ix+m 联立 +片-1 ，消去y得4x2-6mx+9m2-36=0, 由4=6m2-144m2-4)>0,得-45 .45 <m< 3 3 则x1+x2=3 2,七x2=9m2-36 4 wN=Va-+0M-a=1+写+P-49 10 9m2 -(9m2-36)= √10 3V4 6-3m=o, 2 解得m=2或m=-2, 当m=-2时，直线的方程为y=-号x-2: 当m=2时，直线：y=-x+2经过点P(3,1),不符合题意，舍去. 所以当1MNM=VI0时，MN的方程为y=-x-2. 【小问3详解】证明：直线PM,PN均不与x轴垂直，所以x1≠3，x2≠3，则m≠0且m≠ 2所以妇=器器-（字 (x1-3)(x2-3) 1 1 g3m-1,+)+(m-1) 为-3(x+x2)+9 19m2-361 9 m-02 m 43 +(m-1y23m2-6m=1 9m2-36-3.3m+9 9m2-l8m3' 4 2 所以kk2为定值 19.【小问1详解】圆O:x2+y2=4的圆心坐标为0(0,0)，半径为2， 当过点(2，一1)的圆0的切线斜率不存在时，切线方程为x=2: 当斜率存在时，设切线方程为y+1=k(x-2),即kx一y-2k-1=0 浪河」高高二数学期中模拟答案 第7/8页 由2-=2，解得k=?则切线方程为3x-4y-10=0. √k2+1 ∴过点(2，-1)圆0的切线方程为x=2或3x-4y-10=0 【小问2详解】①设点P(x,y),则x2+y2=4, IPAI=(x-a)2+(y-2)2,IPBI=(x-m)2+(y-1)2, ~=m,Pa2=21P8p,c-2+0-22=n2[x-m2+0-1)21, 又x2+y2=4,化简得2ax+4y-a2-8=2mn2x+2n2y-m2n2-5m2, 2a =2mn2 :P为圆0上任意一点，÷ 4=2n2 a2+8=m2n2+5n2 (n=V2 又m>0,n>0,解得a=2,常数n=V2. m=1 ②由①知，a=2,m=1,点E(2,t),圆C:x2+y2=1, 设M(xoyo),M是线段WE的中点，N(2x0-2,2yo-t), 又M,N在圆C上，即关于xo,yo的方程组 x行+y哈=1 有解， (2x0-22+(2%-t)2=1 化简得 x6+y6=1 有解， 8x0+4ty0-t2-7=0 即直线8x+4ty-t2-7=0与圆C:x2+y2=1有交点， 则圆心@0到直线的距离d=a≤1， 化简得：t4-2t2-15=(t2-5)(t2+3)≤0，t2-5<0, 解得te[-V5,V⑤ 漯河五高高二数学期中模拟答案 第85页