精品解析：河南省周口市郸城县2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题

2025-2026学年第一学期期中学业测评卷 九年级数学 （21-24章） 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填在括号内． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：( ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，弦，圆心O到弦的距离，则的半径为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 6. 已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 半圆是弧，但弧不一定是半圆 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 圆的切线垂直于半径 8. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. a＞0 B. 当x＞1时，y随x的增大而增大 C. c＜0 D. 3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 9. 如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的对称轴为直线________． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为1，则________． 13. 如图，⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点E，若BE=2，则CD的长为_______． 14. 将二次函数配方成的形式，则y＝_____． 15. 在中，，，，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线相切，则r的值为______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1）（因式分解法） （2）（公式法） 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象与x轴、y轴交点坐标； （2）画出该函数的大致图象． 18. 如图，在中，是直径，是弦，于点E ，连接，．求证：． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 20. 如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接， ． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 已知二次函数的图像经过． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点是该函数图象上的一点，当时，求n的取值范围． 22. 如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． （1）求证：； （2）若，，求长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象与轴交于，两点，与轴交于点，点是该函数图象上的动点，过点作轴于点，交直线于点． （1）求该二次函数的解析式及直线的解析式； （2）当点在第一象限时，求的最大值； （3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学业测评卷 九年级数学 （21-24章） 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填在括号内． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，且必须是整式，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数需满足整式且最高次项为2次，且， 选项A：，最高次为1次，故不符合题意； 选项B：，含有分式，不是整式，故不符合题意； 选项C：，是整式且最高次项为2次，故符合题意； 选项D：，含有分式，不是整式，故不符合题意， 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的识别，掌握顶点坐标公式即可快速求解． 根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接对比求解． 【详解】∵， ∴顶点坐标为． 故选：B． 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选D． 4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：( ) A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得：， 故选：A． 5. 如图，在中，弦，圆心O到弦的距离，则的半径为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 根据，得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴根据勾股定理得：， 即的半径为5． 故选：A． 6. 已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接用公式求解即可． 【详解】∵方程 中，，， ∴ 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 半圆是弧，但弧不一定是半圆 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 圆的切线垂直于半径 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握有关概念是解题的关键． 根据圆的基本概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A：相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故A错误； 选项B：直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆，是弧的一种；但弧可以是劣弧、优弧或半圆，故弧不一定是半圆，B正确； 选项C：等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等但圆不同则不是等弧，故C错误； 选项D：圆的切线垂直于过切点的半径，但选项未指定“过切点的”，因此说法不严谨，故D错误； 故选：B． 8. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. a＞0 B. 当x＞1时，y随x的增大而增大 C. c＜0 D. 3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 【答案】D 【解析】 【详解】由开口方向可知a，故A选项错误，不符合题意； 观察图像可知当x＞1时y随x的增大而减小，故B选项错误，不符合题意； 观察图像可知，故C选项错误，不符合题意； 抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）故3是方程ax2＋bx＋c=0的一个根，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 9. 如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键． 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知的度数，连接，，，可知，故在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半可表示出，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵为的切线， ∴， ∵为的切线，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得 , ∴ 故选：B． 10. 某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，增长率问题一般用增长后的量增长前的量（1增长率），如果设平均每次降价的百分率为，可以用表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程． 【详解】解：根据题意可得两次降价后售价为， 即方程为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的对称轴为直线________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，知道二次函数的对称轴公式是解决本题的关键． 根据二次函数的对称轴公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：2． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为1，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，能够通过一元二次方程的根计算出参数是解决本题的关键． 利用一元二次方程根定义，将已知根代入方程求解即可． 【详解】解：将代入方程 解得． 故答案为：4． 13. 如图，⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点E，若BE=2，则CD的长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接OC，求出OE＝3，根据垂径定理得出CE＝ED＝CD，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出CE的长度，即可求出CD的长度． 【详解】解：如图，连接OC． ∵⊙O的直径AB＝10， ∴OB＝OC＝5， ∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3， ∵弦CD⊥AB于点E， ∴CE＝ED＝CD． ∵Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝3，OC＝5， ∴CE＝＝4， ∴CD＝2CE＝8． 故答案为8． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识；由勾股定理求出CE是解决问题的关键． 14. 将二次函数配方成的形式，则y＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数由一般式化为顶点式的方法可进行求解． 【详解】解：将二次函数配方成的形式，则有： ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法化顶点式是解题的关键． 15. 在中，，，，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线相切，则r的值为______________． 【答案】#### 【解析】 【分析】过点C作，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出的长，即为所求的r． 【详解】解：如图，过点C作， ∵中，，，， ∴， ， ， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形面积求法， 熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16 解下列一元二次方程： （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和公式法是解题关键． （1）方程可变形为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程中的，利用公式法解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：方程中的， 方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即方程的解为． 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （2）画出该函数的大致图象． 【答案】（1）与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将、分别代入函数解析式，计算求解即可； （2）求出函数的对称轴，通过描点法画出函数图象即可． 【小问1详解】 解；令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； 【小问2详解】 解：根据题意得，二次函数， 由（1）知，该函数图象经过点、和， 其对称轴为， 令，则， 则顶点坐标为， 因此，二次函数图象如下： 18. 如图，在中，是直径，是弦，于点E ，连接，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 根据是直径，，证得，进而证得，从而得出结论． 【详解】证明：是的直径，， ． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【答案】（1）每件衬衫应降价20元 （2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． （1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解． （2）列出商场平均每天赢利y与衬衫降价x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意得， 整理得， 解得，． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元． 【小问2详解】 解：设商场平均每天赢利y元，则 ； ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元． 20. 如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接， ． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握相关知识并熟练角度之间的相互转换是解题的关键． （1）通过等腰三角形的性质证，，得到，即可求解． （2）通过等腰三角形的性质先求出，再利用圆的内接四边形对角互补，得到，证得四边形是平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， 四边形是的内接四边形， ， 又， ， ， ， 根据（1）可知， 四边形是平行四边形， 又为的直径，且， ． 21. 已知二次函数的图像经过． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点是该函数图象上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）当时， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的对称性和增减性，求二次函数的最值，是解题的关键． （1）根据抛物线与x轴的两个交点，设解析式为，再将代入求解； （2）求出抛物线的顶点坐标，找出最大值，再由对称性求出或时的y值，即得． 【小问1详解】 设二次函数解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴顶点坐标为，开口向下， 当时，y最大值为4； 当或时，， ∴当时，． 22. 如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理及圆周角定理得到，根据等边对等角证明即可； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点是该函数图象上的动点，过点作轴于点，交直线于点． （1）求该二次函数的解析式及直线的解析式； （2）当点在第一象限时，求的最大值； （3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）最大值为 （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）连接，由（2）知，，，求出，，，再分类讨论，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：，在二次函数上， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； 与轴交于点， 点， 设直线解析式为， 将代入得，解得， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：设，则， ， 即当时，最大值为； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（2）知，，， ， ， ， ， 当时，， 解得或， 当时，点的坐标为，与点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为； 当时，， 解得或或， 当或时，点分别与点或点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为； 当时，， 解得或或， 当时，点与点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为，当时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质，分类求解是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $