精品解析：贵州省大方县实验高级中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年度大方县实验高中高二数学第一次月考试卷 一、单选题 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算法则和虚部的定义得到结果. 【详解】由，， 所以的虚部为. 故选：C. 2. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立重复实验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故选：B． 3. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置.直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l的方程为，平移后的方程为，根据截距相同，求得k. 【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为， 则根据平移过程知，平移后的方程为， 该直线与原直线相同，则. 则. 故选：D 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出，然后结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为，则，又因为，所以，所以， 故选：D. 5. 空间中，若向量共面，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量共面定理有，，结合向量的坐标表示列方程求参数值，即可得. 【详解】由向量共面知，，则， 所以，可得. 故选：C 6. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 所以，解得， ， 所以， 故选：A. 7. “”是“直线与直线互相垂直的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线垂直的判定列方程求参数值，再由充分、必要性定义及推出关系判断题设条件间的关系. 【详解】由两直线垂直，则，整理得， 所以或，经检验均满足题设， 所以“”是“直线与直线互相垂直的充分不必要条件. 故选：A 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量，由，得，取，得， 又， 点到平面的距离为， 故选：D． 二、多选题 9. 经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围为 B. 直线的倾斜角的取值范围为 C. 斜率的取值范围为 D. 斜率的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】通过数形结合，找到直线斜率的取值范围，再得到倾斜角的取值范围即可. 【详解】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 【答案】AB 【解析】 【分析】A根据周期公式；B检验是否等于；C求出，再结合正弦函数的性质即可；D检验是否为零即可. 【详解】，故A正确； ，则的图象关于直线对称， 故B正确； ，则， 而在上单调递增，在上单调递减，故C错误； ，故D错误. 故选：AB 11. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直；求出面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由法向量与相等，证明平面；由向量的投影计算出点到面的距离. 【详解】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， ∵，∴，∴A选项正确； ∵，，设平面的一个法向量为， 则，令，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， ∴，∴B选项正确； ∵，∴平面，∴C选项正确； 点到平面的距离，∴D选项错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则_____. 【答案】##4.5 【解析】 【分析】根据直线的特征，直接列式计算作答. 【详解】依题意，直线，而点， 所以. 故答案为： 13. 直线过定点，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原式化简为，可得，解得的值，故可得答案. 【详解】将原式化简为， 可得， 解得. 故直线过定点， 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则______；______． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求． 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 四、解答题 15. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 16. 三角形的三个顶点是，，．求： （1）边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）边上的高线所在直线的截距式方程； （3）边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程； （2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程； 【详解】（1）BC的中点坐标为 故中线的斜率 则边BC上的中线所在直线的方程为； 故边上的中线所在直线的斜截式方程为 （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为 化为截距式方程为： （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为， 则边BC的垂直平分线的方程为 化为一般式方程为： 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数： （2）在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）；第75百分位数为84． （2）5个 （3）总平均数，总方差． 【解析】 【分析】（1）根据各组的频率和为1列方程可求出的值，再判断第75百分位数，然后列方程可求得结果； （2）先根据频率分布直方图计算出成绩在和样本人数得成绩在的比例系数，再根据比例抽样即可； （3）先计算成绩在和的市民人数，再根据分层随机抽样的总平均数和总方差的公式计算即可. 【小问1详解】 （1）由每组小矩形的面积之和为1得， ，所以． 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第百分位数，由， 解得，所以第百分位数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本成绩为的三组答卷的市民有 个样本， 成绩在的市民人数为， 所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为的中抽取市民人数为个. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 ． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简得解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则， 因此，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知得，解得， 由，得， 由余弦定理得，则， 所以. 19. 在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 因为是边长为2的等边三角形，所以，， 在直角三角形中，， 为中点，所以， 又，所以， 所以，即，又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明平面，即可解决问题； （2）建系求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知过作的平行线作为轴，分别为轴， 则， 所以，, 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得， 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得， 设平面与平面的夹角为， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度大方县实验高中高二数学第一次月考试卷 一、单选题 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置.直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 7 D. 5. 空间中，若向量共面，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“直线与直线互相垂直的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围为 B. 直线的倾斜角的取值范围为 C. 斜率的取值范围为 D. 斜率的取值范围为 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 11. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 三、填空题 12. 已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则_____. 13. 直线过定点，则点的坐标为__________. 14. 如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则______；______． 四、解答题 15. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 16. 三角形的三个顶点是，，．求： （1）边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）边上的高线所在直线的截距式方程； （3）边的垂直平分线的一般式方程． 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数： （2）在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 19. 在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $