精品解析：甘肃省张掖市甘州区大成学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋学期期中考试试卷 九年级数学 考生注意：试卷满分150分，考试时间120分钟 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 2. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 5. 点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（ ） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y1＜y3＜y2 6. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为6，则的周长是（　　） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 7. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约8亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　） A. 12m B. 10m C. 8m D. 7m 9. 通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则下列说法正确的是（ ） A. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2米 C. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 10. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 第二部分（填空题 共24分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a= 12. 如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：AB=2：3，则______． 13. 已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是___________ 14. 在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些求除颜色外其余完全相同，摇匀后 随机摸出一个，摸出红球的概率是，则的值为__________． 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点，垂足为，则的值为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形的边交于点D、E，其中，点D是边的中点，则四边形的面积是______． 第三部分（解答题 共96分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 （1）嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 19. 如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点B，C的坐标分别为，． （1）以O为位似中心，在y轴的左侧作的位似图形，使与的位似比为2． （2）写出点B，C的对应点，的坐标． 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 21. 有一个面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为，求垂直于墙的边的长度？ 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． （3）求的面积． 23. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 24. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 25. 深圳市某景区是级旅游景点，国庆黄金周期间，景区内游客如潮． 景区内部旅游纪念币是热销文创工艺品，每一枚纪念币的成本为元，景区内某商店国庆期间推出了优惠活动，根据销售经验，当定价为元时，平均每天可售出枚． 若每一枚纪念币的售价每降低元，平均每天可多售出枚． （1）设每一枚纪念币降价元，则每天可销售 枚（用含的代数式表示出来）； （2）若该商店想通过售出这批纪念币每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每一枚纪念币应降价多少元? 26. 在中，，，，对角线，相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转，分别交，于点E，F． （1）【问题解决】旋转过程中，当时，四边形是 ．（填四边形形状） （2）【类比探究】试说明在旋转过程中，线段与总保持相等． （3）【拓展应用】在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请证明并求出此时绕点O顺时针旋转的度数． 27. 在RtABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少． （2）当t为多少时，PQ的长度等于4？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中考试试卷 九年级数学 考生注意：试卷满分150分，考试时间120分钟 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据直接开方法进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选D． 2. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段．根据成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出． 【详解】解：线段，，，是成比例线段， ， 即， 解得． 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程得，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一元二次方程，根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程判别式与根的关系是解题关键．根据一元二次方程的根的判别式求解即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 5. 点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（ ） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y1＜y3＜y2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵函数y＝中k＝6＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵－1＜0，∴点（－1，y1）在第三象限， ∴y1＜0，∵0＜2＜3， ∴（2，y2），（3，y3）在第一象限，∴y2＞y3＞0， ∴y2＞y3＞y1. 故选D. 6. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为6，则的周长是（　　） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∵的周长为6， ∴的周长为18， 故选：C． 7. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约8亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 用分别表示出第二天、第三天的票房，再根据第三天票房约8亿元，列出方程即可． 【详解】解：第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长， 若把增长率记作x， 则第二天票房约亿元，第三天票房约亿元， 因为第三天票房约8亿元， 所以， 故选：B． 8. 如图，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　） A. 12m B. 10m C. 8m D. 7m 【答案】A 【解析】 【分析】由BE∥CD得，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵BE∥CD， ∴， ∴，即， 解得：CD=12． ∴旗杆的高为12m． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，属于基础题. 9. 通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则下列说法正确的是（ ） A. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2米 C. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 先求出函数解析式，再将代入求出的值，进而判断即可． 【详解】∵近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数， ∴设， 将代入得：， 解得：， 即， 当时，， 由图可知，若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米， 故选：A． 10. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值． 【详解】如图：连接BE， ， ∵菱形ABCD， ∴B、D关于直线AC对称， ∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小 ∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．， ∵菱形ABCD，，点， ∴，， ∴ ∴△CDB是等边三角形 ∴ ∵点是的中点， ∴,且BE⊥CD， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长． 第二部分（填空题 共24分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a= 【答案】-1 【解析】 【分析】把x=3代入一元二次方程即可求出a． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3， ∴9+3a-6=0， 解得a=-1． 故答案为：-1 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键． 12. 如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：AB=2：3，则______． 【答案】4：9 【解析】 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论． 【详解】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB=2：3， ∴． 故答案为：4：9． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 13. 已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的面积计算，准确记住公式并正确计算是解题的关键．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．根据菱形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：菱形的面积． 故答案为：． 14. 在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些求除颜色外其余完全相同，摇匀后 随机摸出一个，摸出红球的概率是，则的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可 【详解】解：∵摸到红球的概率为 ∴ 解得n=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点，垂足为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．根据矩形的对角线相等且平分，以及到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上，得到为等边三角形，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形的边交于点D、E，其中，点D是边的中点，则四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，矩形的判定与性质等知识点． 连接，过点作轴于点，则四边形是矩形，由反比例函数k的几何意义得到，那么，最后由求解． 【详解】解：连接，过点作轴于点，则， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象与矩形的边交于点D、E，其中，点D是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 第三部分（解答题 共96分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用配方法解一元二次方程； （2）公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 所以， 解得：，； 【小问2详解】 ， 移项，得， 去括号，得， ，，， ， 所以， 即，． 18. 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 （1）嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）一 （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时，方程两边才能同时除以，得 ， 当时，方程两边同时除以，无意义， ∴第一步就出现了错误，没分类讨论． 故答案为：一． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 19. 如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点B，C的坐标分别为，． （1）以O为位似中心，在y轴的左侧作的位似图形，使与的位似比为2． （2）写出点B，C的对应点，的坐标． 【答案】（1） 解：原点为位似中心，变换后为， ，横、纵坐标乘以，得变换后， ，横、纵坐标乘以，得变换后， 依次连接、、，得到的位似图形，如图所示， （2）， 【解析】 【分析】本题考查位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点位置是解答本题的关键． （1）用位似比得出对应点位置，再顺次连接即可； （2）根据位似变换的性质求出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，． 20. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 21. 有一个面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为，求垂直于墙的边的长度？ 【答案】垂直于墙的边的长度为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． 设鸡场的宽为x米，则长为米，根据长方形面积计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设鸡场的宽即垂直于墙的边的长度为x米，则长为米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴垂直于墙的边的长度为米． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． （3）求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积的计算，根据函数图象确定出不等式的解集，熟练掌握函数性质解决问题的关键． （1）先用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据一次函数与反比例函数的图象即可得出答案； （3）将分割为和两个三角形分别计算面积． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 故反比例函数表达式为； 将代入，解得， 即， 将，代入，得 解得，， 故一次函数表达式为． 【小问2详解】 由图可知，当时，一次函数图象在反比例函数下方； 当时，一次函数图象在反比例函数下方； 故的解集为或． 【小问3详解】 如图所示，设一次函数图象与轴交于点， 故 则， ， ， ， ． 23. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 24. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 25. 深圳市某景区是级旅游景点，国庆黄金周期间，景区内游客如潮． 景区内部旅游纪念币是热销文创工艺品，每一枚纪念币的成本为元，景区内某商店国庆期间推出了优惠活动，根据销售经验，当定价为元时，平均每天可售出枚． 若每一枚纪念币的售价每降低元，平均每天可多售出枚． （1）设每一枚纪念币降价元，则每天可销售 枚（用含的代数式表示出来）； （2）若该商店想通过售出这批纪念币每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每一枚纪念币应降价多少元? 【答案】（1）； （2）每枚纪念币应降价元． 【解析】 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）设每一枚纪念币降价元，则每天可售出纪念币枚，依题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【小问1详解】 解：每一枚纪念币降价元，则每天可销售枚， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每一枚纪念币降价元，则每天可售出纪念币枚， 依题意得：， ∴， 解得：，， ∵想尽可能地减少库存， ∴取， 答：每枚纪念币应降价元． 26. 在中，，，，对角线，相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转，分别交，于点E，F． （1）【问题解决】旋转过程中，当时，四边形是 ．（填四边形形状） （2）【类比探究】试说明在旋转过程中，线段与总保持相等． （3）【拓展应用】在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请证明并求出此时绕点O顺时针旋转的度数． 【答案】（1）平行四边形 （2）见解析 （3）当时，四边形为菱形，理由见解析； 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，菱形的判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）推出，根据平行四边形的性质得出，根据平行四边形的判定定理即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得出，，推出，根据推出，即可得出答案； （3）可以成菱形，当时，四边形为菱形，根据菱形的判定得出即可；求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，， 即， ， ， 当时，， ， 故四边形是平行四边形． 【小问2详解】 在中，， ， 平行四边形对角线互相平分， ， 又， ， ． 【小问3详解】 当时，四边形为菱形，如图：     由（2）知：， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； ， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， 故此时绕点顺时针旋转的角度是． 27. 在RtABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少． （2）当t为多少时，PQ的长度等于4？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？ 【答案】（1）10cm；（2）2：（3）3或 【解析】 【分析】先由运动知，CQ＝2tcm，CP＝（20﹣4t）cm，再确定出0≤t≤5； （1）先求出CP＝8cm，CQ＝6cm，最后用勾股定理求出PQ，即可得出结论； （2）利用勾股定理得出（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2，解方程，即可得出结论； （3）分①△CPQ∽△CAB和②△CPQ∽△CBA，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm， ∵AC＝20cm， ∴CP＝（20﹣4t）cm， ∵点P在AC上运动， ∴4t≤20， ∴t≤5， ∵点Q在BC运动， ∴2t≤15， ∴t≤7.5， ∴0≤t≤5， （1）当t＝3时，CP＝8cm，CQ＝6cm， 在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ＝＝10（cm）； （2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝CP2+CQ2， ∵PQ＝4， ∴（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2， 解得：t＝2或t＝6（舍去）， 即当t为2时，PQ的长度等于4； （3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，且∠C＝∠C＝90°， ∴①△CPQ∽△CAB， ∴， ∴， ∴t＝3， ②△CPQ∽△CBA， ∴， ∴， ∴t＝， 即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $