精品解析：海南省海南中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

海南中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共36分，每小题3分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的概念解答即可． 【详解】解：A．图形绕某一点旋转后能够与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； B．图形绕某一点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C．图形绕某一点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．图形绕某一点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 若与的相似比为2，则与的面积比为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】解：∵与的相似比为2， ∴与的面积比为． 故选：C． 3. 抛物线与x轴的交点有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点情况，熟记抛物线与x轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键． 先求出方程的判别式，然后根据判别式与根的关系作出判断即可． 【详解】解：关于x的方程的判别式为：， 则抛物线与x轴有一个交点． 故选：B． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 与y轴交点是 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数顶点式，分析a的符号判断开口方向，顶点坐标，与y轴交点求时的y值，以及对称轴两侧的增减性． 【详解】解：∵二次函数为， ∴，开口向上，故A错误； 顶点坐标为，故B错误； 当时，，与y轴交点为，故C错误； ∵对称轴为，且， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确， 故选：D． 5. 将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移.根据左加右减，上加下减的规律进行解答即可. 【详解】解：将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为， 故选：B 6. 一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，根据得，再根据三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 用配方法将抛物线化成的形式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式转化，通过配方法将二次函数化为顶点式，取一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解：∵中，一次项系数为，其一半为，平方为4， ∴， 故， 故选：C． 8. 如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当或时，， 所以若，则x的取值范围为或． 故选：C． 9. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10. 已知是抛物线上的点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，y随x的增大而减小， ∵抛物线上的点， ∴关于直线的对称点也在抛物线上， ∵， ∴． 故选：D． 11. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是旋转的性质，由旋转的性质，再根据∠BAC=30°，旋转60°，可得到∠BAC1=90°，结合勾股定理即可求解. 【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1， ∴∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=30°+60°=90°， AC1=AC=6， 在RtBAC1中，∠BAC=90°，AB=8，AC1=6, ∴， 故本题选择C. 【点睛】此题重点考查学生对于旋转的性质的理解，也考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共12分，每小题3分） 13. 如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的实数根为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，于点D，，，则的长为_____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 15. 如图，在矩形中，，，点E、F在边上，和交于点G，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积计算，过点G作，交于点P，交于点Q，说明四边形和四边形为矩形，证明，得出，分别求出，，，即可得出答案． 【详解】解：过点G作，交于点P，交于点Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴四边形和四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 16. 如图，是边长为4的等边三角形，是等腰三角形，且，以点D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则_______ 度，的周长为_____ ． 【答案】 ①. 60 ②. 8 【解析】 【分析】将绕点D逆时针旋转得到，则，得，，，再证明点E，B，M在同一条直线上，求出，则，然后证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，将绕点D逆时针旋转得到， 则， ∴，，， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点E，B，M在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的周长为， ， 故答案为：60，8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及旋转的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题（本大题满分72分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）原式； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 18. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）将向右平移5个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于x轴对称的； （3）将绕原点O旋转，画出旋转后的； （4）在、、中， 与 成轴对称，其对称轴是 ； 与 成中心对称，其对称中心的坐标是 ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 即为所求； （4），，y轴，，， 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，平移变换，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （4）利用轴对称变换，中心对称变换的性质判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，在、、中，与成轴对称，其对称轴是y轴；与成中心对称，其对称中心的坐标是． 故答案为：，，y轴，，，． 19. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元？ 【答案】1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元． 【解析】 【分析】根据题意设1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的单价，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设1副乒乓球拍x元，1副羽毛球拍y元，依题意得 解得 答：1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是读懂题意，找出相等关系，本题等量关系较明显，属于基础题，考查了学生对基础知识的理解与运用等． 20. 如图，P为等腰直角内的一点，，将绕点A逆时针方向旋转后能与重合，，． （1）求的长； （2）连接，若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中的旋转问题，勾股定理，勾股定理逆定理，解题的关键是掌握旋转的性质． （1）由旋转可得，，再根据勾股定理可得的长； （2）由勾股定理的逆定理得，而，即可得． 【小问1详解】 解：∵绕点A逆时针旋转后与重合， ∴，即线段旋转后到， ∴旋转了， ∴，， ∴， 即的长为； 【小问2详解】 解：如图： 由旋转可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过B、C两点，并与x轴交于另一点A． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）设是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出n的取值范围； ②若点P在第一象限内，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； ③若是直角三角形，求m的值． 【答案】（1） （2）①；②存在，；③m的值为或1或 【解析】 【分析】（1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可； （2）①开口方向向下，离对称轴越远y值越小，据此即可求解； ②根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、N的坐标，然后用含有m的式子表示出，整理并根据二次函数的最值问题解答； ③分类讨论，每个顶点为直角时，再构造三垂直相似，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，当时，，解得， ∴点B、C的坐标分别为，， ∴，解得， ∴所求函数关系式为． 【小问2详解】 解：①∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，为最小值； 当时，为最大值， ∴当时，； ②∵点在抛物线上，且轴， ∴设点，则点， ∴， ∴当时，线段的长度的最大值为，此时点； ③当是直角时，如图，过P作轴交y轴于点G，过B作于点H， 则，，，， 由辅助线可知， ∴， ∴， ∴，即， 解得； 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴，即， 解得（舍去）或； 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴，即， 解得（舍去）或； 综上，m的值为或1或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数点的坐标特征及最值问题、直角三角形的存在性问题等内容，构造三垂直相似是解决最后一问的关键． 22. 如图1，点P是正方形的边上一点（点P与点C，D不重合），点E在的延长线上，且，连接，． （1）求证：； （2）直线交于F，连接，．点G是与的交点． ①如图2，若时，请写出与的关系并说明理由； ②如图3，若时，求证：； ③若（n是大于1的实数）时，的值为 ． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， 在与中， ， ； （2） ①，， 理由：，， ， ， ， ， ， ， ； 在与中， ， ； ，， ， ， ，即； 故与的关系：，． ②证明：设，则，，， ， , 由（1）可知， ， 为等腰直角三角形， ． ． ； ③ 【解析】 【分析】（1）利用证明； （2）①在（1）的基础上，再证明，进而得到，从而证明； ②设，则，，，得出，，，即可得出结论； ③设，则，，分别求出与的值，得，，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 ③设，则，，设的面积为，的面积为． 同理为等腰直角三角形， ． ； ， ； 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共36分，每小题3分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若与的相似比为2，则与的面积比为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3. 抛物线与x轴的交点有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 与y轴交点是 D. 当时，y随x增大而增大 5. 将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法将抛物线化成的形式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 已知是抛物线上的点，则（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 12. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12分，每小题3分） 13. 如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 14. 如图，在中，，于点D，，，则的长为_____ ． 15. 如图，在矩形中，，，点E、F在边上，和交于点G，若，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，是边长为4的等边三角形，是等腰三角形，且，以点D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则_______ 度，的周长为_____ ． 三、解答题（本大题满分72分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）将向右平移5个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于x轴对称的； （3）将绕原点O旋转，画出旋转后的； （4）在、、中， 与 成轴对称，其对称轴是 ； 与 成中心对称，其对称中心的坐标是 ． 19. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元？ 20. 如图，P为等腰直角内的一点，，将绕点A逆时针方向旋转后能与重合，，． （1）求的长； （2）连接，若，求． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过B、C两点，并与x轴交于另一点A． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）设是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出n的取值范围； ②若点P在第一象限内，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； ③若是直角三角形，求m的值． 22. 如图1，点P是正方形的边上一点（点P与点C，D不重合），点E在的延长线上，且，连接，． （1）求证：； （2）直线交于F，连接，．点G是与的交点． ①如图2，若时，请写出与的关系并说明理由； ②如图3，若时，求证：； ③若（n是大于1的实数）时，的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $