1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（六大题型+专项练习）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 题型一 共面直线夹角的向量求法 1．如图，已知正四面体中，为棱的中点，为棱上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对于任意点，到的距离的取值范围为 D．对于任意点，都不是锐角三角形 3．已知正方体中，M，N分别为棱AB，的中点，过，M，N三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为 ． 题型二 点到平面距离的向量求法 5．在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知平面的一个法向量为，，，则（  ） A．若与共线，则 B．点到平面的距离为 C．向量在向量上的投影向量为 D．直线与平面所成角的余弦值为 7．在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为 . 8．如图，在四棱锥中，平面ABCD，．E为棱PC上一点，且，平面ABE与棱PD交于点F．    (1)求证：为PD的中点； (2)求二面角的余弦值； (3)求点A到平面的距离． 题型三 平行平面距离的向量求法 9．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 11．空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 12．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 题型四 点到直线距离的向量求法 13．在长方体中，，，点，分别是，的中点，则点到直线的距离为（    ）. A． B．3 C． D． 14．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，而是线段（可与端点重合）上的动点，以下说法正确的是（    ） A．平面 B．当是的中点时，平面 C．当是的中点时，点到平面的距离为 D．当点与点重合时，直线与平面所成角最大 15．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为 ． 16．如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点.    (1)求与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 题型五 异面直线距离的向量求法 17．正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 18．（多选）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 19．在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为 . 20．如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 题型六 空间线段点的存在性问题 21．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 22．（多选）在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上的一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面平面 C．当时，直线与所成角的余弦值为 D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 23．如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的最大值为 .    24．在如图所示的几何体中，平面，平面，，，是棱上一点（不包括端点）.    (1)求证：； (2)是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 题型一 共面直线夹角的向量求法 1．如图，已知正四面体中，为棱的中点，为棱上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，设，根据向量的线性运算法则，分别求得因为为棱的中点，可得及，利用向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设正四棱锥的棱长为，且， 因为为棱的中点，可得， 则 设，可得， 则， 又由， 所以， 令，则，可得 可得， 设 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以的最大值为，所以 即的最大值为. 故选：C. 2．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对于任意点，到的距离的取值范围为 D．对于任意点，都不是锐角三角形 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，表达出，，可判断A和B；写出到的距离的表达式可判断C；求出，两个向量的夹角的余弦值表达式，即可得出的形状可判断D. 【详解】由题意，在正方体中，棱长为1，是棱上的动点， 建立空间直角坐标系如图所示，    所以，，，， ，，，， 设，其中， 所以，， 对于A，当，即，所以，方程组无解， 所以不存在使得，即不存在点，使得，故A错误； 对于B，当时，解得，即当点与点重合时，故B正确； 对于C，因为， 所以点到的距离为，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 所以为直角三角形或钝角三角形，故D正确. 故选：BCD. 3．已知正方体中，M，N分别为棱AB，的中点，过，M，N三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据，求出坐标，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】设正方体棱长为2，多边形与棱相交于，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设，， 则， 由正方体左右侧面平行，与截面多边形分别交于，所以， 同理，可得 故，， 所以，解得， 所以，， 则， 所以在顶点处的内角的余弦值为． 故答案为：. 4．如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)当为钝角时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明； （2）显然不是平角，则为钝角时有，解得不等式即可． 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    设正方体的棱长为1，则； ， 因为，所以， 所以， 所以，所以． （2），， 与是异面直线，显然不是平角， 则为钝角，有，解得． 所以的取值范围为． 题型二 点到平面距离的向量求法 5．在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】因，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点P到平面的距离为； 故选：C 6．（多选）已知平面的一个法向量为，，，则（  ） A．若与共线，则 B．点到平面的距离为 C．向量在向量上的投影向量为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】AC 【分析】利用法向量定义可求得，根据共线向量定义可构造方程组求得的值，知A正确；根据点面距离的向量求法可求得B错误；根据投影向量的求法可求得C正确；根据线面角的向量求法可求得D错误. 【详解】对于A，平面，，解得：， 与共线，，即，解得：， ，A正确； 对于B，点到平面的距离，B错误； 对于C，在上的投影向量为，C正确； 对于D，， ， 即直线与平面所成角的余弦值为，D错误. 故选：AC. 7．在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离. 【详解】如图所示， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 所以，，，， 则，， 设是平面的一个法向量，则， 令，则，所以， 又， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 8．如图，在四棱锥中，平面ABCD，．E为棱PC上一点，且，平面ABE与棱PD交于点F．    (1)求证：为PD的中点； (2)求二面角的余弦值； (3)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理可得为的中点，再利用线面平行判定定理和性质定理即可得，即可得出证明； （2）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面的法向量为，易知是平面的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果. （3）求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 在中，．     在直角梯形中， 由，，可求得，所以． 因为，所以为的中点．     因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，所以．             所以， 所以为的中点； （2）由题可知因为平面，所以． 又，所以两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系，                则,,,，,, 所以，，． 设平面的法向量为，则，即 令，则，．于是．         因为平面，且，所以平面， 又平面，所以． 又，且为的中点，所以．平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量．     ．     由题设，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． （3）,,,， 则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，所以， 所以点A到平面的距离为， 所以点A到平面的距离为 题型三 平行平面距离的向量求法 9．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 10．（多选）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 【答案】ABD 【分析】过点作使得，过点作，分析可知几何体为正方体，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BD选项；证明出四边形为平行四边形，可判断A选项；计算出几何体的体积，可判断C选项. 【详解】过点作使得，过点作，如图所示： 因为四边形为矩形，则， 又因为，则， 所以，四边形为平行四边形，则，， 因为平面平面，则与、共面， 即与、共面，所以，、、、四点共面， 同理可知，、、、四点共面， 故几何体为四棱柱， 因为四边形为矩形，则， 又因为，，、平面， 所以，平面， 因为，则，， 所以，在底面中，，，故四边形为平行四边形， 因为，则，所以，，即， 所以，平行四边形为正方形， 又因为，故几何体为正方体， 对于A选项，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，，A对； 对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、， ，， ， 所以，异面直线、所成的角为，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，因为，平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 又因为，、平面，所以，平面平面， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以，平面与平面间的距离为，D对. 故选：ABD. 11．空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 12．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 题型四 点到直线距离的向量求法 13．在长方体中，，，点，分别是，的中点，则点到直线的距离为（    ）. A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】建立合适的空间直角坐标系，根据空间中点到直线的距离公式计算出结果即可. 【详解】以为原点，建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 所以点到直线的距离为：， 即点到直线的距离为， 故答案为：D.    14．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，而是线段（可与端点重合）上的动点，以下说法正确的是（    ） A．平面 B．当是的中点时，平面 C．当是的中点时，点到平面的距离为 D．当点与点重合时，直线与平面所成角最大 【答案】ABD 【分析】连接，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定A正确；以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，结合，可判定B正确；求得向量，结合向量的距离公式，可判定C错误；求得平面的法向量为，结合向量的夹角公式，利用函数的单调性，可判定D正确. 【详解】对于A，连接，因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面，所以A正确； 对于B，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方体的棱长为2， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 所以，可得，所以平面，所以B正确； 对于C，由向量，且平面的法向量为， 可得点到平面的距离为，所以C错误； 对于D，设，其中， 可得， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则, 令，可得， 所以函数在单调递减，当时，取得最大值， 即时，取得最大值，即点与点重合时，直线与平面所成角最大，所以D正确. 故选：ABD. 15．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即得． 【详解】以为原点，建立空间直角坐标系， 则，所以 所以点到直线的距离为：， 即点到直线的距离为． 故答案为：． 16．如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点.    (1)求与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角余弦值； （2）利用向量法求解点到直线的距离. 【详解】（1）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，则， 因为，则， 记直线所成角为， 故； （2）因为，，则，又， 故， 则点到直线的距离 题型五 异面直线距离的向量求法 17．正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 18．（多选）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 【答案】ACD 【分析】要解决这道正方体中的空间几何问题，我们需要利用空间向量、异面直线所成角、线面角、点到直线的距离以及异面直线间的距离等相关知识，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A选项，在正方体中， 即为异面直线与所成角， 因为,所以为等边三角形， 因此，故A正确. 对于B选项,因为平面，所以是在平面上的射影， 那么直线与平面所成角为， 在中，， 则，故B错误. 对于C选项,以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.    则，那么 根据点到直线的距离公式： 又，， 代入可得.故C正确. 对于D选项,由, 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则 令，则，取， 根据异面直线间的距离公式， 又，则，故D正确 故选：ACD. 19．在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为 . 【答案】/ 【分析】如图建系，求得各点坐标及坐标，进而可求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离公式，代入计算，即可得答案. 【详解】取中点D，中点E，连接DA，DE， 因为，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 又平面， 所以， 因为，， 所以， 以D为原点，DB、DA、DE为x，y，z轴正方向建系， 所以， 则， 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即， 令，则， 所以异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 所以PQ的最小距离即为异面直线与的距离d， 根据异面直线间距离公式，即PQ的最小值为. 故答案为：    20．如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用基底表示各向量，再结合向量垂直的数量积表示，可得证. （2）直线平面，直线平面，求出平面的法向量，进而求出异面直线的距离. 【详解】（1）取空间向量的一个基底，则，， 且，， ， 因此， 即，所以直线直线. （2）由（1）得，， 由和是异面直线，令直线平面，直线平面， 设是平面的法向量，则，且， 即，取，得， ， ， 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长， 所以异面直线与间的距离为. 题型六 空间线段点的存在性问题 21．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得，， ， ， 又平面， ，，解得. 故选：C. 22．（多选）在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上的一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面平面 C．当时，直线与所成角的余弦值为 D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BC选项； 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值， 又，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图1所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，、、， 对于B项，，，，，， 设，其中， 则．设平面的法向量为， 由，令，可得． 设平面的法向量为， 由，令，可得． 若平面平面，则，则，解得，故B正确； 对于C选项，当时，，． 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D项，如图2，当为的中点时，、，，． 设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 则，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确． 故选：ABD． 23．如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的最大值为 .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面求出点坐标，再利用模长公式结合函数的性质即可求出. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设，，， 由题意得，，，， ，，， 平面， ，解得，， ，，，， 线段的长的最大值为：. 故答案为：. 24．在如图所示的几何体中，平面，平面，，，是棱上一点（不包括端点）.    (1)求证：； (2)是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由； 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点位于线段中点，或者八分之一点处且靠近点. 【分析】（1）应用线面垂直的性质定理和判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标，标注出相关点坐标，设，，，求出相关平面的法向量，应用向量法及已知求面面角，列方程求参数值，即可得结论. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以； （2）过点作，则平面， 以点为原点，，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，    由，得，，，，， 设，，，则，解得， 设平面的法向量为，且，， 由，取，则， 设平面的法向量为，且， 由，取，则， 设二面角的平面角为，且， 所以，解得或， 则点位于线段中点，或者八分之一点处且靠近点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $