1.4.2 用空间向量研究距离问题专项训练-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学练习

厦门外国语学校2025届高二数学练习10: 空间中向量研究距离 班级： 姓名： 座号： 一、单选题 1．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（ ） A．5 B．8 C． D． 3．空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为（ ） A． B．5 C． D． 4．四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为（ ） A．2 B．1 C． D．3 5．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则BC边上的中线长为（ ） A． B． C． D． 6．如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 7．如图，二面角等于，、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、 内，，，且，则CD 的长等于（ ） A． B． C．4 D．5 8．如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为上两个动点，且的长为定值，则点Q到平面的距离（ ） A．等于 B．和的长度有关 C．等于 D．和点Q的位置有关 二、多选题 9．已知分别是三棱锥的棱，的中点，．若异面直线与所成角的大小为60°，则线段的长为（ ） A．3 B．6 C． D． 10．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ） A．与EF相交 B．平面DEF C．EF与所成的角为D．点到平面DEF的距离为 11．已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A．点A到直线的距离是 B．点O到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线的距离为 12．空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为（ ） A． B．a C．a D．a 三、填空题 13．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若BB1＝AB＝2，则点C到直线AB1的距离为________． 14．如图所示，在直平行六面体中，，，点在上，且，则点到平面的距离为________. 15．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，若边上存在点，使得，则线段长度的最大值是_________. 16．在菱形中，，，将菱形沿对角线折成直二面角，折起后直线与间的距离为________. 四、解答题 17．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， （1）证明：平面AMN∥平面EFBD； （2）求平面AMN与平面EFBD间的距离． 18．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． （1）求点M到直线AC1的距离； （2）求点N到平面MA1C1的距离． 19．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若为等边三角形，求三棱锥的体积. 20．如图，高为的等腰梯形，，为的四等分点．现将沿折起，使平面平面，连接、． （1）若，且满足平面，求实数的值； （2）当点为边中点时，求点到平面的距离 厦门外国语学校2025届高二数学练习10: 空间中向量研究距离答案 1．C解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 因为，所以，，,所以点P到AB的距离． 2．C解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)，则C(0，12，0)，D1(0，0，5),,，由，得，所以a＝0，b＝c，取＝(0，5，12)，又＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为， 因为B1C1∥BC，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1，所以B1C1∥平面A1BCD1， 所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离，所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为， 3．C 4．C【详解】因为OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB.又OA⊥OB，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．因为底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形，所以OA＝2，OB＝2.则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，O1(0，0，3)．设平面O1BC的法向量为n＝(x，y，z)，则⊥，⊥，，所以，若z＝2，则x＝－，y＝3， 所以＝(－，3，2)是平面O1BC的一个法向量．设点E到平面O1BC的距离为d， 因为E是O1A的中点，所以，则d＝＝，所以点E到平面O1BC的距离等于. 5．B【详解】易得BC的中点D坐标为，＝，故BC边上的中线长为|AD|＝||＝＝＝. 6．A【详解】解：过作的平行线，交于，则到平面的距离即为到平面的距离．作于，易证平面，可求得． 7．C【详解】由二面角的平面角的定义知，，由，，得，， ， ，所以，即． 8．A【详解】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B错．又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D错．如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，∴，，，设是平面的法向量，则由得 令，则，所以是平面的一个法向量．设点Q到平面的距离为d，则，A对，C错． 9．AD【详解】如图，取的中点，连接，，． 设与的交角为．因为异面直线与所成的角为60°，所以或，所以 将，，分别代入上式，得或． 10．BCD【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误；对于选项B，在直三棱柱中， ． ，F分别是AC，AB的中点，， ．又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确；对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，．，，．与所成的角为，故C正确；对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量．0，，1，，由，即，得取，则，0，，设点到平面DEF的距离为d．又2，，，点到平面DEF的距离为，故D正确． 11．BC【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以．设，则，．故A到直线的距离，故A错． 易知， 平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对．．设平面的法向量为，则所以令，得，所以．所以点到平面的距离． 因为平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故C对．因为，所以，又，则，所以点P到的距离，故D错． 12．BC【详解】解析：如图所示，由题意知，，两两夹角均为，设，，则，所以 因为，，所以，即. 故选：BC. 13．取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B1(，0，2)，C(0，1，0)，所以＝(，1，2)，＝(0，－2，0)． ∴，∴在上的投影的长度为， 所以点C到直线AB1的距离d＝. 14．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，∴，.设平面的法向量为，则，令，则，，∴. ∴点到平面的距离. 15．2解：如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，则，设，则，因为，所以，即， 所以，当，即时，取得最大值4，所以的最大值为2，即线段长度的最大值是2. 16．【详解】设，在菱形中，，折起后，，，由于二面角为直二面角，即平面平面，平面平面，，平面，平面，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.在原菱形中，，，，， ，，，，则，，设，令，则.令，则，，.又，因此，与间的距离. 17．（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，所以，，所以EF∥MN，AM∥BF． 又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，因为MN∩AM＝M，所以平面AMN∥平面EFBD； （2）解：因为平面AMN∥平面EFBD，所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离．设是平面AMN的法向量，则有即，可取， 由于＝(0，4，0)，所以点B到平面AMN的距离为， 所以平面AMN与平面EFBD间的距离为． 18．（1）；（2）． 【详解】由题意，分别以为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)， （1）直线AC1的一个单位方向向量为，，故点M到直线AC1的距离. （2）设平面MA1C1的法向量为，则,即不妨取x＝1，得z＝2，故为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1，1，0)，所以, 故N到平面MA1C1的距离. 19．（）见解析；（2） 解：（1）证明：连接，因为，分别为，的中点，所以，又因平面，所以平面； （2）取的中点，连接，因为为等边三角形，所以， 所以，如图以为原点，为轴，过作平面的垂线轴，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，设平面的一个法向量， 则即，令，则，，所以， 则点到平面的距离，又，所以. 20．（1）；（2）. 【详解】（1）连接交于，连接. 梯形中，，则，由平面，平面，平面平面，在中，. 即，所以． （2）设点到平面的距离为．因为平面平面，平面平面，在平面中，，所以平面.建立如图所示空间直角坐标系， ，所以，. 设平面的一个法向量为，，. 则有，即，令，有． .故点到平面的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $