1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（六大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 题型一 异面直线夹角的向量求法 1．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出向量坐标，进而利用向量夹角余弦公式求解． 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为，则， ， 设异面直线与所成角为， ， ，故A正确． 故选：A． 2．（多选）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，则（   ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点到直线的距离为 【答案】ACD 【分析】先建立空间直角坐标系，求出各点坐标，转化几何问题为向量问题，再通过向量运算解决几何问题，验证选项的正确性. 【详解】 过作，垂足为，则，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则： ，，，，，，即： ，，，，，所以： 选项A：，故，故A正确； 选项B：， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误； 选项C：设平面的法向量为，则： 令，得：， 设直线与平面所成角，则： ， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 选项D：设点到的距离为， 因为， ，， 则：， 即点到直线的距离为，故D正确. 故选：ACD. 3．在正四棱锥中，底面边长为 ，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC 所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】先判断点的轨迹，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BP与直线SC 所成角的余弦值. 【详解】设，连接，则平面， ，则， 则，，则， 所以在以为原点，半径为的圆上， 当A，P两点间距离最小时，在上， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设直线BP与直线SC 所成角为， 则. 故答案为： 4．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可； (2)利用空间向量法求点到面的距离即可. 【详解】（1）    由直三棱柱中，，可如图建立空间直角坐标系， 因为分别是，的中点，， 所以， 即， 所以有， 即异面直线与所成角的余弦值； （2）    设平面的法向量为， 则令可得：， 所以， 即点到平面的距离为. 题型二 已知线线角求其他量 5．已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成的角相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解． 【详解】因为为直线的方向向量，为直线的方向向量，与的夹角的余弦值为， 所以，解得． 故选：C 6．（多选）在棱长为1的正方体中，，，，，，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．线段的长度为 B．的最小值为1 C．对任意点，总存在点，使得 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 【答案】ABC 【分析】对选项A，直接通过建立空间直角坐标系，表示出线段，即可求得；对选项B，转化为，然后通过坐标表示出即可求得的最小值；对选项C，通过关系建立方程，结合点的坐标满足，得到关于的一元二次方程，再通过判别式即可判断C；对选项D，通过先求平面的法向量，然后根据直线与平面所成的角为，建立方程即可判断D. 【详解】因为，，，所以P为侧面（不含边界）内的动点， 因为，，所以Q为线段上的动点， 建立如上图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得：，，，， ，，， 设点，，由直线与的夹角为，则有： ，， 故有：，解得：， 为线段上的动点，则有：，解得：， 对选项A，则有：，故选项A正确； 对选项B，过点作平面的垂线，垂足为， 因为，则易知：， 故的最小值等价于求的最小值， ， 故有：， 则，当且仅当时成立，结合， 可得此时，故选项B正确； 对选项C，若，则有：， ，又， 则有：，则有：， 又，则有：， 故对任意点，总存在点，使得，故选项C正确； 对选项D，易知平面的法向量为，若直线与平面所成的角为， 即直线与平面的法向量成，则有： 解得：，矛盾，故选项D错误. 故选：ABC. 7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 故答案为：1 8．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为．    (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，得到，根据直线与所成的角得到方程，求出，所以点为棱的中点； （2）求出平面的法向量，利用线面角的正弦夹角公式进行求解. 【详解】（1）底面，平面，故， 又底面为矩形，故，所以两两垂直， 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系．    因，，则， 则，，，，， 设，则， 因点在棱上，则， 即，解得，则， 可得，， 由题意，可得， 整理可得，解得， 所以点为棱的中点． （2）由（1）可得：，，AE (→)=(1,0,1)， 设平面的法向量为， 则，故可取． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 题型三 线面角的向量求法 9．正方体的棱长为2，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接建立空间直角坐标系，用向量法计算线面角的正弦值. 【详解】因为在正方体中，故以所以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，则， 设平面的法向量为. 由，得，令，得. 所以向量与平面所成角的正弦值为 . 故选：A. 10．（多选）如图，棱长为2的正方体中，P是线段上的动点包含端点，给出下列四个结论，其中正确的是（    ） A．三棱锥中，点P到平面的距离为定值 B．过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的范围为 D．当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，C，用空间向量求解；对于B，可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于D，设球心，由求解球心坐标即可． 【详解】以A为坐标原点，分别以直线AB，AD，为x，y，z轴建系如图： 可得，，，，，， 得到，， 设， 则， ，则， 设面的一个法向量为， 则，， 令，得，，， 对于A：P到平面的距离为，故A正确； 对于B：连接，，四边形为平行四边形， ，又面，面， 面，同理可证面， 又，面面， 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为， 它是边长为的等边三角形，故面积为，故B错误； 对于C：设直线与面所成角为， 则， ，，， 直线与面所成角的正弦值的范围为，故C正确； 对于D：当点P为中点时， 设三棱锥的外接球球心， ， ，解得， 外接球半径R满足：， 三棱锥的外接球表面积为，故D错误． 故选：AC. 11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】设，根据条件建系，设，求出相关向量的坐标和平面的法向量坐标，设，利用空间向量夹角的坐标公式求出的表示式，再借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】    如图，设，因底面为菱形，则，依题意，平面， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，因是等边三角形，且，则， 于是，， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设，则， 且， 依题意，， 因，则，故可得. 故答案为：. 12．如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用向量夹角和线面角之间的关系求出. 【详解】（1）连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则，     因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以，     因为，，平面，所以平面，     又平面，则； （2）因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设与平面所成角为， 所以，     即与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为. 题型四 已知线面角求其他量 13．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高，求出平面的法向量，令，求出的值. 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，    设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得. 故选：D. 14．（多选）如图，在长方体中，为的中点，是上的动点，下列结论正确的是（    ）    A．若是的中点，且三棱锥的体积为1，则 B．若是的中点，且直线与平面所成的角为，则 C．若的最小值为，则 D．若的面积的最小值为，则 【答案】ACD 【分析】根据锥体体积、空间直角坐标系、线面角、距离最值、面积最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设．三棱锥的体积为，解得，A正确． 如图，连接，将和翻折到同一个平面．    假设点翻折后对应点，此时为的最小值， 为和的交点．由题意得， 且，则． 由对称性得为的中点，即． 又，所以，则， 解得或（舍去），即，C正确． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，   ， ，． 设，则． 设平面的法向量为， 则即 因为是的中点，所以，则取，得，． 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得或，B错误． 记点到直线的距离为，则的面积为． 若的面积的最小值为，则的最小值为． 故． 当时，取得最小值，最小值为，即， 解得，即，D正确． 故选：ACD 15．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，当的长为（为的中点）或（为的靠近点的一个四等分点）. 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可证明，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，假设棱上是否存在一点，直线与平面所成角的正弦值为，设且EF (→)=EB (→)+BF (→)，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为底面为矩形，所以点是的中点， 又点是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）因为底面为矩形，底面， 所以以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又， 设， 则， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 又， 当时，，即为的中点， 当时，，即为的靠近点的一个四等分点， 即当的长为（为的中点）或（为的靠近点的一个四等分点）时，直线与平面所成角的正弦值为. 题型五 面面角的向量求法 17．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面与平面夹角的向量求法，直接可得解. 【详解】由题意得平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 故选：C. 18．（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，则（    ）    A．若直线是平面和平面的交线，则 B．直线与所成角的余弦值为 C．平面与平面的夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A先判断线面平行，再由线面平行的性质可得，对于BCD则用空间向量分别求角和距离可得. 【详解】对于A：因为底面是菱形，所以，又因平面，平面，所以平面. 又平面平面，平面，由线面平行的性质定理有，故A正确； 设的中点为O，连，因为等边三角形，所以，而平面平面，所以平面. 又底面是边长为2的菱形，，所以三角形是等边三角形，所以， 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图： 所以，，.    对于B：，所以 ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，， 由，得，令，则，所以. 再设平面的法向量为，， 由，得，令，则，所以. 所以，故C错误； 对于D：因，平面的法向量， 与同方向单位法向量， 所以在上的投影向量的模为，故D正确. 故选：ABD. 19．如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 20．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 条件①：；条件②：；条件③：平面平面 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据所选的条件，应用勾股定理易得，再由线面垂直的判定、面面垂直的性质证结论即可. （2）构建为原点建立空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，再求两平面的法向量，进而应用空间向量夹角的坐标表示可得. 【详解】（1）选①②：由，，，易知：， 又，，面，则面； 选①③：由，，，易知：. 又面面，面面，面， ∴平面. 选②③：若平面平面，两平面的交线为，且在正方形中， ，所以平面，又平面，故， 所以②③为重复条件，故不符合题意. （2）由（1）知：，，又四边形是正方形，则， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，， ∴，， ，， 设面的一个法向量为，则，即 令，则，，即， 设面的一个法向量为，则，即 令，则，，即， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 题型六 已知面面角求其他量 21．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 22．（多选）在四面体中，，若四面体的体积为，则（    ） A．二面角的大小可能为 B．二面角的大小可能为 C．的值可能为5 D．的值可能为 【答案】AD 【分析】利用体积先求点到平面的距离，然后可得二面角，再根据AC (→)=AB (→)+BD (→)+DC (→)，结合二面角即可求出. 【详解】在四面体中，， 且体积， 解得，即点到平面的距离为， 由题可知，记为二面角的平面角， 则，即二面角的大小为或，故A正确，B错误；    ， ， 因为，所以， 当时，， 当时，故C错误，D正确． 故选：AD 23．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．    【答案】 【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可． 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    24．四棱锥，平面平面，，是中点， (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面平面得到平面，从而得到，在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度，在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）取中点，连接，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可. 【详解】（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面，平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，， 取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 题型一 异面直线夹角的向量求法 1．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 2．（多选）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，则（   ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点到直线的距离为 3．在正四棱锥中，底面边长为 ，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC 所成角的余弦值为 ． 4．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 题型二 已知线线角求其他量 5．已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 6．（多选）在棱长为1的正方体中，，，，，，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．线段的长度为 B．的最小值为1 C．对任意点，总存在点，使得 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则 . 8．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为．    (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型三 线面角的向量求法 9．正方体的棱长为2，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）如图，棱长为2的正方体中，P是线段上的动点包含端点，给出下列四个结论，其中正确的是（    ） A．三棱锥中，点P到平面的距离为定值 B．过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的范围为 D．当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    12．如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 题型四 已知线面角求其他量 13．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 14．（多选）如图，在长方体中，为的中点，是上的动点，下列结论正确的是（    ）    A．若是的中点，且三棱锥的体积为1，则 B．若是的中点，且直线与平面所成的角为，则 C．若的最小值为，则 D．若的面积的最小值为，则 15．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 题型五 面面角的向量求法 17．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 18．（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，则（    ）    A．若直线是平面和平面的交线，则 B．直线与所成角的余弦值为 C．平面与平面的夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 19．如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 ．    20．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 条件①：；条件②：；条件③：平面平面 题型六 已知面面角求其他量 21．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 22．（多选）在四面体中，，若四面体的体积为，则（    ） A．二面角的大小可能为 B．二面角的大小可能为 C．的值可能为5 D．的值可能为 23．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．    24．四棱锥，平面平面，，是中点， (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $