1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 （第2课时） 题型一：求异面直线所成角大小、余弦值 1．设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为(   　) A． B． C． D． 3．点在正方形所在平面外，平面，，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 题型二：求直线与平面所成的角大小、正弦值 1．若向量是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角为 ． 2．在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 3．在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正弦值为 ． 题型三：求平面与平面的夹角大小、余弦值 1．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为 . 2．在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 题型一：已知夹角求参数 1．在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 2．在直三棱柱中，，且，异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 . 3．设平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若直线l与平面所成的角为，则正数 . 4．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当 时，直线与平面所成角的正弦值为. 5．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 6．如图，在长方体中，，，点在棱上．若二面角的大小为，则的坐标为 . 题型二：求线线角正弦值、线面角余弦值 1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型三：求二面角大小、余弦值或正弦值 1．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（    ） A． B． C．或 D． 3．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在四棱锥中，//，且，若，，则二面角的余弦值为 ． 5．如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 题型：夹角型探索性问题 1．如图1所示，在中，分别为的中点，为的中点，满足.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 3．如图1，在平行四边形中，,,,将沿折起到位置，使得平面平面，如图2． 图1                        图2 (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 （第2课时） 题型一：求异面直线所成角大小、余弦值 1．设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】， 设所成角为，则，故 故所成角为， 故选：C 2．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为(   　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可求出结果. 【详解】以D点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，由题意可得，，,，所以,, 设异面直线与所成的角为，则与向量和的夹角相等或互补， 所以. 3．点在正方形所在平面外，平面，，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先证明两两垂直，以为坐标原点，分别以所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用向量的夹角公式结合夹角范围即可求解. 【详解】 如图：因为四边形是正方形，所以， 因为平面，所以，， 所以以为坐标原点，分别以所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 所以，， 设与所成角为， 则， 因为， 所以， 故选：C 题型二：求直线与平面所成的角大小、正弦值 1．若向量是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角为 ． 【答案】 【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可 【详解】设直线l与平面α所成的角为，则由题意得 ， 因为， 所以， 所以直线l与平面α所成的角为， 故答案为： 2．在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据线面角的向量求法计算. 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 3．在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】如图，建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再利用空间向量求解. 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设与平面所成角为，则 ， 所以与平面所成角的正弦值为， 故答案为：. 题型三：求平面与平面的夹角大小、余弦值 1．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】平面与平面夹角的余弦值即两个平面法向量夹角余弦值的绝对值. 【详解】因为，所以与的夹角为. 故答案为：或 2．在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角. 【详解】 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，， 则， 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面所成的角的大小. 【详解】 因为平面，底面为正方形，， 所以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 由题知，平面PAD的法向量为， 设平面PBC的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面与平面所成的角为，则， 又，所以， 所以平面与平面所成的角的大小为， 故答案为：. 题型一：已知夹角求参数 1．在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 【答案】 【分析】由向量夹角的余弦公式运算即可. 【详解】设，所成角为， 则， 解得. 故答案为：. 2．在直三棱柱中，，且，异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 . 【答案】 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量表示异面直线所成角的余弦值，即可求解，再代入侧面积公式. 【详解】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 因为异面直线与所成的角为， 所以，即，解得， 所以该三棱柱的侧面积为. 故答案为： 3．设平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若直线l与平面所成的角为，则正数 . 【答案】 【分析】根据线面角的向量计算公式得到方程，解得即可； 【详解】解：依题意可得， 即，解得或（舍去）； 故答案为： 4．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当 时，直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】1 【分析】以为坐标原点，分别为，，轴建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，求出，利用空间向量的数量积转化求解即可． 【详解】解：以为坐标原点，分别为，，轴建立空间直角坐标系． 所以， 所以． 设平面的法向量，所以 所以， 所以平面的一个法向量， 设， 所以， 所以， 解得或（舍， 所以． 因为，所以 故答案为：1 5．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 6．如图，在长方体中，，，点在棱上．若二面角的大小为，则的坐标为 . 【答案】 【分析】首先设，根据二面角的大小为，即可得到，从而得到 【详解】设，平面的法向量为． 由题可知，，，，则，．易知平面的一个法向量为． ∵为平面的法向量，∴， 令，则，又二面角的大小为， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴，，又 故答案为： 题型二：求线线角正弦值、线面角余弦值 1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，， 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线与直线夹角的正弦值. 故选：C 2．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】底面ABCD为等腰梯形，， 如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H， 以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 则， 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 可得平面的一个法向量为， 设到平面的夹角为， 则， 可得，所以到平面的夹角余弦值为. 故选：B． 题型三：求二面角大小、余弦值或正弦值 1．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°． 故选：B 2．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由二面角的大小与二面角的两个半平面的法向量夹角的关系，求出法向量的夹角即可得解. 【详解】因，所以. 因二面角的大小与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互补， 所以两平面所成的二面角为或. 故选：C 3．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为平面，且为正方形， 如图建立空间直角坐标系，则、、， 所以，， 设平面的法向量为，则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 又，所以. 故选：A 4．如图所示，在四棱锥中，//，且，若，，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，借助平面和平面的法向量，结合图形，求出二面角的余弦值. 【详解】 取中点，中点,连接，，由已知可得//，// ∵，∴，， ∴，， ∴ 平面，∴， 又∵，∴ ∴以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则， ∵，∴, ∴，，，. 所以，， ， 设是平面的一个法向量，则 即， 令，则，，∴. 设是平面的一个法向量，则 即， 令，则，，∴. 则， 由图可知二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 5．如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 题型：夹角型探索性问题 1．如图1所示，在中，分别为的中点，为的中点，满足.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面； （2）根据向量法即可求直线和平面所成角的正弦值； （3）假设存在点，由直线和所成角的余弦值可得，从而可求得. 【详解】（1）因为在中，分别为的中点，所以 ， 又因为，所以，即.又为的中点，所以 因为平面平面且两平面交于，又平面， 所以平面. （2）取的中点，连接，所以.由（1）得， 如图建立空间直角坐标系.由题意得，， 所以. 设平面的法向量为，则即， 令，则，所以. 设直线和平面所成的角为，则， 所以直线和平面所成角的正弦值为. （3）线段上存在点适合题意.设，其中. 设，则有，所以， 从而，所以， 又，所以. 令，整理得.解得，舍去. .所以线段上存在点适合题意，且. 2．如图，在四棱台中，底面为正方形，为的中点，． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）要证明，可证明，即只要证明垂直于所在的平面即可. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角，进而确定点的位置. 【详解】（1）证明：连接， 因为，所以． 因为是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以， 因为， 所以． （2）因为， 所以，所以， 又由（1）知，且平面， 所以平面， 因为为四棱台，底面为正方形，四棱台的上下底面对应边平行且比例相同， 所以四边形为正方形，上下面平行 所以平面，. 因为点是的中点，，所以. 所以且，所以四边形为平行四边形 所以. 又平面，所以平面． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则，． 设平面的法向量为， 则 令． 设直线与平面所成角为， 则， 化简得， 即，所以． 3．如图1，在平行四边形中，,,,将沿折起到位置，使得平面平面，如图2． 图1                        图2 (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用勾股定理证明线线垂直，再利用面面垂直的性质定理证明线面垂直即可得； （2）建立适当空间直角坐标系，结合空间向量的运算，即可求面面角的余弦值. 【详解】（1）在中，因为，，， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面； （2）因为，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 即，，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图， 则， 假设点存在，设， 则， ，, 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得， 又平面的一个法向量为， 假设在线段上存在点，使得二面角的大小为， 则，解得， 所以点存在，且点是线段的中点，即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$