精品解析：内蒙古科尔沁右翼前旗兴安北京中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级数学第二次学业质量检测-2025．10．30 （考试时间：100分钟试卷满分：100分） 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，满分24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 逐一分析每个选项，判断是否符合轴对称图形的定义． 【详解】是轴对称图形，故不符合题意； 不是轴对称图形，故符合题意； 是轴对称图形，故不符合题意； 是轴对称图形，故不符合题意； 故选：． 2. 已知等腰三角形两边长分别是和，则该三角形的周长是（ ） A. 9cm B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题关键是分类讨论并验证三边是否构成三角形． 根据等腰三角形的性质和三角形三边关系，分类讨论两种情况：当腰为时，三边为、、，不满足两边之和大于第三边；当腰为时，三边为、、，满足条件，即可求解周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为和， ∴可能情况： ①腰为，底为，则三边为、、， ∵，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）， ∴此情况不成立； ②腰为，底为，则三边为、、， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为， 故该三角形的周长是， 故选：C． 3. 如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 4. 如图所示，用尺规作图“作一个角等于已知角”，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形全等的判定．利用基本作图得，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得， 则可根据“”判定， 所以． 故选：A． 5. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作角平分线；根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质及角平分线的概念，得出，，则，即可得出结论． 【详解】解：是的角平分线，是的外角的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． 7. 如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是________米． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据证明，即可推出，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米， 故答案为：30． 10. 如图，在中，，外角，若P是和的平分线的交点，则的度数为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．先根据角平分线定义得出，求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据等腰三角形性质求出底角，再由作图得出线段垂直平分线，连接相关线段，利用角度关系和直角三角形性质求解． 【详解】解：连接 ， ∵ ， ∴ 由作图可知， 是 的垂直平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴ 解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 12. 如图，，，，且，点P从点B向点A以的速度运动，点Q从点B向点D以的速度运动，点P，Q同时出发，运动_______s后，与全等． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论． 设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵于A，于， ∴， 设运动x秒钟后与全等； 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，， ∴， ∴； ②若，则， 解得：， ∴， 此时与不全等； 综上所述：运动6秒钟后与全等； 故答案为：6． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于轴对称的． （2）写出点的坐标（直接写答案）： ___________． （3）的面积为___________，（直接写答案）． （4）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标___________． 【答案】（1） 如图： （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作图即可； （2）根据作出的图形写出坐标即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：； 【小问3详解】 解：的面积为； 【小问4详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，点即为所求， 由轴对称的性质可得：， ∴，即此时的值最小， 由图可得，此时点的坐标为． 14. 如图，已知． （1）求证：． （2）若，，连接，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 即； （2）2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，可得，则，题目得证； （2）由，可得，而，则为等边三角形，则题目可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质是解答的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得到，进而根据三角形的周长求解即可； （2）先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用线段的垂直平分线的性质得到，进而利用等边对等角求得即可解答． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∴． 16. 小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． （1）求证：； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ 【答案】（1） 证明：根据题意得， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2） 解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点到距离为，于点，， 由（1）得， ， ， ， ， 小丽所在公园的秋千高度设置合理． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由同角的余角相等得到，根据即可证明； （2）由得到，进而可得，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知，为射线上一点，，． （1）证明：平分； （2）若与交，，证明：． 【答案】（1） 证明：过点作于点，于点， ． ，， ， ． ，， 平分； （2） 证明：在上截取，连接． 由（1）得平分， ． ， ， ． ， ． ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质． （1）过点作于点，于点，证明推出，利用角平分线的判定定理即可证明平分； （2）在上截取，连接．证明推出，再证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）___________（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，若的面积为S，请你写出用来表示S的式子，并表示出的取值范围． （4）当点在边上运动时，出发___________秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质和判定，两变量之间的关系式，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）根据写出关系式，当点在边上运动时，用时秒，据此写出的取值范围； （4）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即， 解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； 【小问3详解】 解：当点在边上运动时，用时秒， ； 【小问4详解】 解：①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， 秒； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， 秒； 综上所述：为秒或秒． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第二次学业质量检测-2025．10．30 （考试时间：100分钟试卷满分：100分） 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，满分24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形两边长分别是和，则该三角形的周长是（ ） A. 9cm B. C. D. 或 3. 如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，用尺规作图“作一个角等于已知角”，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是________米． 10. 如图，在中，，外角，若P是和的平分线的交点，则的度数为 ______． 11. 如图，中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．若，则______． 12. 如图，，，，且，点P从点B向点A以的速度运动，点Q从点B向点D以的速度运动，点P，Q同时出发，运动_______s后，与全等． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于轴对称的． （2）写出点的坐标（直接写答案）： ___________． （3）的面积为___________，（直接写答案）． （4）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标___________． 14. 如图，已知． （1）求证：． （2）若，，连接，求的长． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，，求的度数． 16. 小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． （1）求证：； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ 17. 已知，为射线上一点，，． （1）证明：平分； （2）若与交，，证明：． 18. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）___________（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，若的面积为S，请你写出用来表示S的式子，并表示出的取值范围． （4）当点在边上运动时，出发___________秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $