山东省潍坊安丘等区县2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025-2026学年上学期高二期中质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知直线过点和，则直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为 A. B. C. D. 3. 已知直线与平面下列命题中错误的是 A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为 A. B. C. 或 D. 或 5. 已知正四面体的棱长都为，点分别是的中点，则 A. B. C. D. 6. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为 A. B. C. D. 8. 已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知，则 A. B. C. 与同向的单位向量为 D. 在方向上的投影的数量为 10. 已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则 A. 圆锥的表面积为 B. 圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 C. 圆锥的体积为 D. 过该圆锥顶点的截面的面积最大值为 11. 数学之美，古来共谈．如图甲，在平面直角坐标系中有⊙O：与轴分别交于,两点，为⊙O上的动点，以为直径的⊙E的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，⊙E扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则 A．若，则⊙E与轴公共点坐标为和 B．点E运动轨迹为圆心为，半径为的圆 C．当⊙E与轴相切时， D．图乙中，心形区域与轴交点纵坐标的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为 . 13. 已知正方体的棱长为2，为的中点，为的中点，则到平面的距离为 . 14. 甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内 有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球、杯壁、杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知空间直角坐标系中，平行六面体满足： ，且平行六面体的体对角线的交点为. （1）求侧棱的长； （2）求. 16.（15分） 已知直线与. （1）当时，求直线与轴围成的三角形的面积； （2）讨论直线与的位置关系. 17.（15分） 如图，在四棱锥中，底面，，，，又，分别为的中点. （1）求证：平面//平面； （2）求直线与面所成角的正弦值. 18. （17分） 设⊙的圆心在直线上，且点和均在⊙上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； （3）已知点，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（17分） 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系. 如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”. （1）现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标分别为“斜坐标系”下三条数轴(轴,轴,轴)正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作=. 在平行六面体中， ，， 建立“空间斜坐标系”如图所示. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. （2） 如图三棱锥，，为的中点，点满足，利用本题介绍的斜坐标系，求二面角的正弦值. ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中质量监测 高二数学参考答案 2025.11 一、单选题：ABCD CDDC 二、多选题：9. ACD 10. BCD 11. ABD 三、填空题：12. 13. 14. 四、解答题： 15. 解（1）由题意知，平行六面体的一条体对角线为,且中点为, 已知，，所以， .....................................................................2分 所以. ..................................................................5分 （2）由题意知，为体对角线的中点，由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得，, ...........................................................................7分 所以, ， ...........................................................................9分 所以. ........13分 16. 解：（1）当时，两直线的方程分别为，. 令，代入方程得，解得，即与轴交点为, 同理可得与轴交点为, ......................................................2分 联立方程组解得两直线与的交点坐标为 , ......................4分 则线段AB的长度为，三角形的高为交点C到轴的距离，即, 则. ..............................................7分 （2）当，即且时，两直线相交； .......................10分 当时，两直线方程分别为和，两直线重合；..................12分 当时，两直线方程分别为和，两直线平行. ............14分 综上，当且时，两直线相交； 当时，两直线重合； 当时，两直线平行． .....................................................................15分 17. 解：（1）证明：因为分别为的中点， 所以，， ........................................................................2分 又因为，所以， ........................................................................4分 因为， 所以平面//平面. ........................................................................6分 （2）因为底面ABCD，，则两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， ...............7分 则，， ，， 所以，，， 所以.................10分 设面的一个法向量为 , 令 所以， ....................................................12分 设直线与所成的角为， 所以 即直线与所成角的正弦值为. ...........................15分 18. 解：（1）设圆的圆心坐标为，半径为，则， 解得 ，所以圆的标准方程为. .......................5分 （2）由（1）可知该圆的半径为，因为为等边三角形，且边长为， 所以该等边三角形的高为， ...........................7分 所以圆心到直线的距离为，即，解得, ...........9分 所以直线的方程为或. ...........................10分 （3）假设存在定点，设， 设，则， .............................12分 则， ..........14分 当，即舍去）时，为定值，且定值为， ........16分 故存在定点，使得为定值，的坐标为. .............................17分 19.解：（1）① 设 分别为与同方向的单位向量，则， 所以向量的斜坐标为 . .........................3分 ②由题意知 , 所以 所以 所以 整理得 ......................................................6分 所以. ......................................................8分 （2） 设,如图，建立斜坐标系且满足 ①②，，..............9分 ,,,，..............10分 设平面的一个法向量为， 所以即，取得 ......12分 设平面的一个法向量为， 所以即，取得 ...14分 设二面角的平面角为， 所以， ...........................16分 从而. 所以二面角的正弦值为. ...........................17分 ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上学期高二期中质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知直线1过点(0,0)和(3，√3)，则直线1的倾斜角为 A.30 B.45 C.60 D.150° 2.已知直线1过点(3,1)且与直线3x-y-1=0垂直，则直线l的方程为 A.x-3y=0 B.x+3y-6=0 C.3x-y-8=0 D.3x+y-10=0 3.已知直线m,n与平面，B,y,下列命题中错误的是 A.若m⊥a,nl∥，则m⊥n B.若o∥B,Bly,m⊥，则m⊥y C.若a∩B=m,nl∥m,则nl∥aD.若m⊥a,n⊥B,ml/n,则alB 4.已知y轴上一点P到直线4x+3y-12=0的距离等于3，则点P的坐标为 A.(0,-1) B.(0,-9) C.(0,1)或(0，-9) D.(0,-1)或(0,9) 5.己知正四面体ABCD的棱长都为1，点M,N分别是AD,BC的中点，则ABM= A.0 D. 5 2 6.已知圆C:x2+y2-4y+1=0,直线1：x-y+1=0,则圆上到直线的距离等于 的 2 点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 第1页共4页 7.已知A∈a,直线AB与平面所成的角为30°，直线AC与平面所成的角为60°， AB=4W3cm,AC=8cm,且斜线段AB,AC在平面a内的射影互相垂直，则BC的长为 A.6cm B.4v3cm C.2√13cm D.8cm 8.已知四棱锥S-ABCD,底面ABCD是边长为43的正方形，侧面SAD⊥底面ABCD, 且SAD为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为 A.105元 B.110元 C.112π D.132π 二、选择题：本题失3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a=(2,-1,-2),b=(-1,-1,0),c=(2,1,3),则 A.(a-b)Lc B.(a+b)//c 212 c.与a同向的单位向量为（写3学？ D.ā在万方向上的投影的数量为- 2 10.已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则 A.圆锥的表面积为80π B.圆锥的侧面展开图是圆心角为8”的扇形 C.圆锥的体积为128π D.过该圆锥顶点的截面的面积最大值为50 11.数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系xOy中有⊙0：x2+y2=1与x轴分 别交于A,B两点，P为⊙O上的动点，以AP为直径的⊙E的位置随P点位置的变化而变 化，当P点逆时针转过一周时，⊙E扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作M),则 A,若∠P4B=:则⊙E与x轴公共点坐标为(1,0)和(Q,0 B。点出运动轨迹为图心为(0叭，半径为的圆 C.当⊙E与y轴相切时，PA=V3 图甲 图乙 D.图乙中，心形区域M与y轴交点纵坐标的最大值为V2+2因 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知四面体ABCD中，点M在面ABC内，若D应=1DA-DB+aDC,则实数a 的值为 13.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E为BB,的中点，F为DD的中点，则F到 平面ADE的距离为 14.甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内 有半径分别为lcm和2cm的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切， 大球与小球、杯壁、杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为 cm3. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(13分) 已知空间直角坐标系中，平行六面体ABCD-AB,CD满足：A(-2,1,3),B(2,2,1), C(3,4,2),D(-1,3,4),且平行六面体的体对角线的交点为M1,1,1) (1)求侧棱AA的长： (2)求cos(BD,DC). 16.(15分) 已知直线l:(a-1)x+2y-a=0与l2:x+y+a-4=0 (1)当a=3时，求直线1，与x轴围成的三角形的面积： (2)讨论直线与2的位置关系 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB, 又PD=AD=AB=1,E,F,G分别为PD,PC,BC的中点 (1)求证：平面EFG/平面PAB; (2)求直线AF与面EFG所成角的正弦值！ D 第3页共4页 18.(17分) 设⊙C的圆心C在直线x+y-3=0上，且点(2，√2)和(4，√2)均在⊙C上. (1)求圆C的标准方程： (2)若直线l:y=x与圆C相交于A,B两点，且■ABC为等边三角形，求直线l的方 程； (3)己知点M(-1,0),P为圆C上任意一点，试问在x轴上是否存在定点N(异于 PN 点M),使得 PM 为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由： 19.(17分) 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两 条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”. (1)现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系 称为“斜60°坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60° 坐标i,,k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴，y轴，z轴)正方向上的单位向量，若 11 向量n=xi+yj+=k,则n与有序实数组[x,y,]一一对应，称向量n的斜60°坐标为 [x,y,=],记作n=[x,y,=].在平行六面体ABCD-AB,CD,中，∠BAD=∠BA41=∠DA41, A4=3,AB=AD=2,建立“空间斜60°坐标系”如图所示. ①若B范=B,求向量BD的斜60°坐标： ②若m=B,60,且册1H.求 (2)如图三棱锥A-BCD,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°，E为 BC的中点，点F满足EF=DA,利用本题介绍的斜坐标系，求二面角D-AB-F的正 弦值。 D 第4页共4页