4.1点的位置与坐标表示（基础提升练习）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 4.1点的位置与坐标表示 （基础提升练习） 【题型一】点的坐标 【例1】若轴上的点到x轴的距离为，则点P的坐标为（      ） A． B． C．或 D．或 【例2】若A点在第二象限，且到x，y轴的距离分别为3和2，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例4】已知点A的坐标为，轴且，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型二】点所在的象限 【例1】若实数a，b满足等式，则点一定在（     ） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】在平面直角坐标系中，点在轴上方，且，则点在（　　） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例3】若点在第三象限，则点在（   ） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4】在平面直角坐标系xOy中，若点在y轴的负半轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型三】根据点在坐标轴上求参数值 【例1】已知点在y轴上，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 【例2】若点在平面直角坐标系中的第二象限，m的取值范围是（   ） A． B． C． D．不存在 【例3】在平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围是 ． 【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作为d1，到y轴的距离记作为 d2． （1）若t＝3，则d1+d2＝　7　 ； （2）若t＜0，d1＝d2，求点M的坐标； （3）若点M在第二象限，且md1﹣5d2＝10（m为常数），求m的值． 【题型四】建立合适的平面直角坐标系 【例1】如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，“炮”的位置用表示，“马”的位置用表示，那么“车”的位置应表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】对于边长为10的等边，建立适当的平面直角坐标系，分别求出各个顶点的坐标． 【例3】如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“马”位于点，“车”位于点． (1)请根据题意，画出平面直角坐标系，并写出炮对应的点坐标； (2)如果“马”再走一步到达第二象限，写出“马”所有可能出现的新位置对应的点坐标．（按照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“”或“”的对角线行走） 【例4】如图，这是某动物园的平面示意图，建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长均代表． (1)根据以下提示，在图中标出熊猫馆、大象馆、狮虎山(三者均在格点上)的位置： ①动物园大门位于点，向北走到达熊猫馆；②大象馆位于点； ③狮虎山在熊猫馆的北方，且到大象馆和熊猫馆的距离相等． (2)根据图上信息填空：①海洋馆位于点(________，________)，在大门的________偏________方向_______； ②狮虎山位于点(________，________)． 1.在平面直角坐标系中，点A（0，6），点 B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 2.如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C．已知AC＝16，BC＝6．点B到原点的最大距离为（　　） A．22 B．18 C．14 D．10 3.如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 4.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……，根据这个规律探索可得，第2025个点的坐标为 ． 5.在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”． (1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值． (2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标． 6.我们将四个全等的菱形按图（1）所示组合的图形称为一个基本图，将此基本图复制并向右平移，使得其中一个菱形重合，得到图（2），图（3），…． (1)观察上图并完成下表： 基本图的个数 1 2 3 4 ．．． 菱形的个数 5 9 13 ①_____ ．．． 猜想：在图（n）中，菱形的个数为②_____个（用表示）； (2)如图，将图（n）放在直角坐标系中，使得第一个基本图的对称轴为直线，第二个基本图的对称轴为直线，则其中第2025个基本图的对称轴是③_____，图（2025）的对称轴为④_____． 1.如图，三角形ABC的面积等于（    ） A．12 B． C．13 D． 2.△ABC三个顶点坐标A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，0），将点B向右平移2个长度单位后，再向上平移5个长度单位到D，若设△ABC面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1与S2大小关系为（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 3.如图，在平面直角坐标系中，点，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D→A路径循环运动，则第2025秒时点P的坐标是 ． 4.在平面直角坐标系中，点、，其中，且所在的直线与坐标轴平行．下列四个结论中：①满足条件的点有3个；②的值为3或；③当时，；④当时，点均在第四象限．所有正确结论的序号是 ． 5.长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 6.如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（3，0），且与y轴正半轴交于点B，以点B为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC． （1）如图1，当AC⊥x轴时，求OB的长； （2）如图2，当OB＝4时， ①求出C点坐标； ②在第一象限内是否存在一点M，使得以点C为直角顶点的△MCB和△ABC全等，若存在，请求出点M的坐标； （3）若点P是点A关于y轴的对称点，连接CP，问：当OB的长度发生变化时，∠APC的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠APC的度数；若发生变化，请说明理由． 答案解析 【题型一】点的坐标 【例1】若轴上的点到x轴的距离为，则点P的坐标为（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【例2】若A点在第二象限，且到x，y轴的距离分别为3和2，则点A的坐标为（   ） B． B． C． D． 【答案】C 【例3】点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标是（    ） B． B． C． D． 【答案】A 【例4】已知点A的坐标为，轴且，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【题型二】点所在的象限 【例1】若实数a，b满足等式，则点一定在（     ） B． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【例2】在平面直角坐标系中，点在轴上方，且，则点在（　　） B． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【例3】若点在第三象限，则点在（   ） B． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【例4】在平面直角坐标系xOy中，若点在y轴的负半轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【题型三】根据点在坐标轴上求参数值 【例1】已知点在y轴上，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【例2】若点在平面直角坐标系中的第二象限，m的取值范围是（   ） B． B． C． D．不存在 【答案】B 【例3】在平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作为d1，到y轴的距离记作为 d2． （1）若t＝3，则d1+d2＝　7　 ； （2）若t＜0，d1＝d2，求点M的坐标； （3）若点M在第二象限，且md1﹣5d2＝10（m为常数），求m的值． 【答案】解：（1）∵点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作为d1，到y轴的距离记作为 d2， ∴d1＝|2t|，d2＝|2﹣t|， ∵t＝3， ∴d1＝|2t|＝2×3＝6，d2＝|2﹣t|＝|2﹣3|＝1， ∴d1+d2＝6+1＝7． 故答案为：7； （2）∵t＜0， ∴2﹣t＞0，2t＜0， ∴d1＝|2t|＝﹣2t，d2＝|2﹣t|＝2﹣t， ∵d1＝d2， ∴﹣2t＝2﹣t， ∴t＝﹣2， ∴2﹣t＝2﹣（﹣2）＝4，2t＝2×（﹣2）＝﹣4， ∴M（4，﹣4）； （3）∵点M在第二象限， ∴2﹣t＜0，2t＞0， ∴d1＝|2t|＝2t，d2＝|2﹣t|＝t﹣2， ∵md1﹣5d2＝10， ∴m×2t﹣5×（t﹣2）＝10， 解得m． 【题型四】建立合适的平面直角坐标系 【例1】如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，“炮”的位置用表示，“马”的位置用表示，那么“车”的位置应表示为（   ） B． B． C． D． 【答案】A 【例2】对于边长为10的等边，建立适当的平面直角坐标系，分别求出各个顶点的坐标． 【答案】平面以边所在直线为x轴，边的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系， ∵为等边三角形，边长为10， ∴， ∴， ∴各个顶点坐标为：． 【例3】如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“马”位于点，“车”位于点． (1)请根据题意，画出平面直角坐标系，并写出炮对应的点坐标； (2)如果“马”再走一步到达第二象限，写出“马”所有可能出现的新位置对应的点坐标．（按照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“”或“”的对角线行走） 【答案】（1）解：∵棋子“马”位于点，“车”位于点， ∴画图如下： ∴炮的坐标； （2）解：“马”再走一步到达第二象限，“马”所有可能出现的新位置如图所示： 此时点坐标为：． 【例4】如图，这是某动物园的平面示意图，建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长均代表． (1)根据以下提示，在图中标出熊猫馆、大象馆、狮虎山(三者均在格点上)的位置： ①动物园大门位于点，向北走到达熊猫馆；②大象馆位于点； ③狮虎山在熊猫馆的北方，且到大象馆和熊猫馆的距离相等． (2)根据图上信息填空：①海洋馆位于点(________，________)，在大门的________偏________方向_______； ②狮虎山位于点(________，________)． 【答案】（1）解：如图所示 （2）由图，可得①海洋馆位于点，在大门的北偏西方向；②狮虎山位于点． 故答案为：①1；4；北；西；；②7；6． 1.在平面直角坐标系中，点A（0，6），点 B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 2.如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C．已知AC＝16，BC＝6．点B到原点的最大距离为（　　） A．22 B．18 C．14 D．10 【答案】B 3.如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 4.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……，根据这个规律探索可得，第2025个点的坐标为 ． 【答案】 5.在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”． (1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值． (2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标． 【答案】（1）根据定义可得， 得； （2）根据题意得， 化简，得． 均为正整数， 当时，，此时点的坐标为； 当时，，此时点的坐标为． 6.我们将四个全等的菱形按图（1）所示组合的图形称为一个基本图，将此基本图复制并向右平移，使得其中一个菱形重合，得到图（2），图（3），…． (1)观察上图并完成下表： 基本图的个数 1 2 3 4 ．．． 菱形的个数 5 9 13 ①_____ ．．． 猜想：在图（n）中，菱形的个数为②_____个（用表示）； (2)如图，将图（n）放在直角坐标系中，使得第一个基本图的对称轴为直线，第二个基本图的对称轴为直线，则其中第2025个基本图的对称轴是③_____，图（2025）的对称轴为④_____． 【答案】（1）解：第1个图有个菱形， 第2个图有个菱形， 第3个图有个菱形， ……， 以此类推可知，第n个图有个菱形， ∴第4个图有个菱形； （2）解：第一个基本图的对称轴为直线， 第二个基本图的对称轴为直线， 第三个基本图的对称轴为直线， ……， 以此类推可得，第n个基本图的对称轴为直线， ∴第2025个基本图的对称轴是直线； ∵图（1）有1个基本图， 图（2）有2个基本图， 图（3）有3个基本图， ……， 以此类推，图（n）有n个基本图， ∴图（2025）一共有2025个基本图， ∴图（2025）的对称轴即为第个基本图的对称轴， ∴图（2025）的对称轴为直线． 1.如图，三角形ABC的面积等于（    ） A．12 B． C．13 D． 【答案】D 2.△ABC三个顶点坐标A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，0），将点B向右平移2个长度单位后，再向上平移5个长度单位到D，若设△ABC面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1与S2大小关系为（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 【答案】A 3.如图，在平面直角坐标系中，点，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D→A路径循环运动，则第2025秒时点P的坐标是 ． 【答案】 4.在平面直角坐标系中，点、，其中，且所在的直线与坐标轴平行．下列四个结论中：①满足条件的点有3个；②的值为3或；③当时，；④当时，点均在第四象限．所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 5.长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 【答案】（1）解：点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，， 故答案为：． （2）解：按题意描点可知，当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，当时，， ． 6.如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（3，0），且与y轴正半轴交于点B，以点B为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC． （1）如图1，当AC⊥x轴时，求OB的长； （2）如图2，当OB＝4时， ①求出C点坐标； ②在第一象限内是否存在一点M，使得以点C为直角顶点的△MCB和△ABC全等，若存在，请求出点M的坐标； （3）若点P是点A关于y轴的对称点，连接CP，问：当OB的长度发生变化时，∠APC的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠APC的度数；若发生变化，请说明理由． 【答案】解：（1）∵A（3，0）， ∴OA＝3， ∵AC⊥x轴， ∴∠OAC＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∴∠OAB＝45°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴OB＝OA＝3； （2）①过点C作CN⊥y轴于N，如图2所示： ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，CB＝AB， ∴∠CBN+∠ABO＝90°， ∵∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠CBN＝∠BAO， 在△CBN和△BAO中，， ∴△CBN≌△BAO（AAS）， ∴CN＝OB＝4，BN＝OA＝3， ∴ON＝OB+BN＝4+3＝7， ∴C点坐标为：（4，7）； ②如图3所示：当点M′在BC上方时， 过点M′作M′G⊥CN于G， ∵△M′CB≌△ABC， ∴△M′CB为等腰直角三角形， ∴CB＝CM′，∠BCN+∠GCM′＝∠BCM′＝90°， ∵∠BCN+∠NBC＝90°， ∴∠NBC＝∠GCM′， 在△NBC和△GCM′中，， ∴△NBC≌△GCM′（AAS）， ∴CN＝M′G＝4，BN＝CG＝3， ∴NG＝CN﹣CG＝4﹣3＝1，M′G+ON＝4+7＝11， ∴点M′的坐标为：（1，11）； 当点M″在BC下方时， 过点M″作y轴的垂线与过点C作x轴的垂线交于点H， 同理可证△NBC≌△HM″C（AAS）， ∴CN＝CH＝4，BN＝M″H＝3， ∴点M″的横坐标为CN+M″H＝4+3＝7，点M″的纵坐标为ON﹣CH＝7﹣4＝3， ∴点M″的坐标为：（7，3）； 综上所述，点M的坐标为（1，11）或（7，3）； （3）当OB的长度发生变化时，∠APC的大小不会发生变化；理由如下： 设OB的长度为a， ∵点P是点A关于y轴的对称点， ∴点P（﹣3，0）， 过点C分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于E、F，如图4所示： 则四边形OECF是矩形， ∴OE＝FC，CE＝OF， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝BA，∠FBC+∠OBA＝90°， ∵∠OBA+∠OAB＝90°， ∴∠FBC＝∠OAB， 在△FBC和△OAB中，， ∴△FBC≌△OAB（AAS）， ∴FC＝OB＝a，FB＝OA＝3， ∴OE＝FC＝a，CE＝OF＝OB+FB＝a+3， ∵PE＝OE+OP＝a+3， ∴PE＝CE， ∵∠CEP＝90°， ∴△EPC是等腰直角三角形， ∴∠APC＝45°． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $