精品解析：浙江省杭州市观成中学教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市观成中学教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件是不可能事件的是( ) A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 从一个只装有红球的袋子里摸出白球 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 明天会下雨 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故A错误，不符合题意； B、从一个只装有红球的袋子里摸出白球是不可能事件，故B正确，符合题意； C、三角形两边之和大于第三边是必然事件，故C错误，不符合题意； D、明天会下雨是随机事件，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的基本性质可得，即可求解， 本题考查了比例的基本性质，解题的关键是：熟练掌握比例的基本性质． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3. 如图，点在上，若，则（ ） A. 40° B. 50° C. 70° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆周角定理解决问题即可． 【详解】解：，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数解析式变形为：，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的顶点在y轴上，顶点坐标为， 故选B． 【点睛】本题考查根据二次函数的解析式求二次函数图象的顶点，掌握二次函数解析式的顶点式是解决本题的关键． 5. 如图，在中，，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：, ． , ， 故选：C． 6. 已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，二次函数图象的性质，先根据抛物线的顶点坐标和确定二次函数的解析式，再分别将这三个点的坐标代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，且， ∴二次函数为， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 故选：D． 7. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作，垂足为D，在中可求出AD，CD的长，在中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出的值． 【详解】解：过点A作，垂足为D，如图所示． 在中，， ； 在中，， ， ． 故选D． 【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键． 8. 点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质；先证明结合中点的含义可得，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，记与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D 10. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球，3个红球，则任意摸出一球是红球的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式的计算方法，根据概率公式求解即可． 【详解】解：在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球，3个红球， 任意摸出一球是红球的概率是， 故答案为：． 12. 已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 13. 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线解析式是：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律解答即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，由“左加右减”原则，x变为，得到；再向下平移2个单位，由“上加下减”原则，减去2，得到． 故答案为． 14. 如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 弦垂直平分半径OC得到，结合得到为等边三角形，再利用扇形面积公式即可得到答案． 【详解】解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 16. 如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片．点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合）．连结，，分别延长和，并相交于点．若，，用含的代数式表示的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径或半圆所对圆周角为直角，折叠的性质可得，，，证明，得到，证明，得到，则，在中，由勾股定理得到，结合圆的面积公式即可求解． 【详解】解：为直径， ∴， ∵折叠， ∴， 如图所示，设交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的面积是 故答案为： ． 【点睛】本题考查了本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，折叠的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算； 代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19. 学校组织研学活动，安排给九年（1）班3辆车，车辆按①，②，③编号，小明与小惠都可以从这三辆车中任选一辆搭乘． （1）小明乘坐①号车的概率为________． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小惠同车的概率． 【答案】（1） （2）小明与小惠同车的概率为 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、画树状图求概率，熟练掌握概率公式、正确画出树状图是解题的关键． （1）根据概率公式得出概率即可； （2）根据“车辆按①，②，③编号，小明与小惠都可以从这三辆车中任选一辆搭乘”，画出树状图，根据概率公式得出概率即可． 【小问1详解】 解：∵车辆按①，②，③编号，从这三辆车中任选一辆搭乘， ∴小明乘坐①号车的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，画树状图， ∴共有种等可能的结果，小明与小惠同车的有种情况， ∴小明与小惠同车的概率． 20. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 21. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用和二次函数的应用． （1）根据平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，即可列出关系式； （2）根据销售利润平均每天销售量每箱利润，列出平均每天的销售利润w与销售价x之间的函数关系式； （3）根据二次函数的性质求最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 化简得：； 【小问2详解】 解：由题意得： ， 即该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线， ∵，w随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为1125元， ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润． 22. 如图，是起钉器在起钉时的截面示意图，起钉盒可看作矩形，点落在底座上（底座厚度忽略不计），起钉时．已知，，，且三点共线． （1）求起钉时的大小； （2）求起钉时点到底座的距离．（结果保留到小数点后一位，参考数据：取，取） 【答案】（1）75° （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，理解题意构造直角三角形是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，由此即可求解； （2）过点作于点，过点分别作于点，于点，在中，由余弦函数可求得的长；易得四边形为矩形，，在中，由正弦函数求得，由即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点分别作于点，于点， ∴． ∵三点共线，， ∴， ∴在中，． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 答：起钉时点到底座的距离约为． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 24. 是等腰的外接圆，，的直径为10，点D是弧上的一点，连接，过点A作于点 （1）如图1，若点D在上，，求的度数（用含的代数式表示）． （2）在（1）的条件下，若，求． （3）若弦经过圆心O，连接，且，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点H，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）连接并延长，交于点H，交于点F，连接，利用（1）的结论和直角三角形的边角关系定理得到，设，则，利用勾股定理求得a值；利用三角形的面积公式求得，利用勾股定理求得，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论； （3）连接并延长交于点G，设，则，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理和勾股定理列出关于k的方程，解方程求得k值，再利用三角形的面积公式和勾股定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）连接并延长，交于点H，如图， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 连接并延长，交于点H，交于点F，连接，如图， 由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ； 【小问3详解】 连接并延长交于点G，如图， ， 设，则，， ， ， ， 弦经过圆心O， 为的直径， ， ， ， ， ， 的直径为10， ，，， ，， ， ， 或 经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去， ， ， ， ， ， 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市观成中学教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件是不可能事件的是( ) A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 从一个只装有红球的袋子里摸出白球 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 明天会下雨 2. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在上，若，则（ ） A. 40° B. 50° C. 70° D. 80° 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球，3个红球，则任意摸出一球是红球的概率是______． 12. 已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 13. 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线解析式是：______． 14. 如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为______． 15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 16. 如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片．点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合）．连结，，分别延长和，并相交于点．若，，用含的代数式表示的面积是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 19. 学校组织研学活动，安排给九年（1）班3辆车，车辆按①，②，③编号，小明与小惠都可以从这三辆车中任选一辆搭乘． （1）小明乘坐①号车的概率为________． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小惠同车的概率． 20. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 21. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 如图，是起钉器在起钉时的截面示意图，起钉盒可看作矩形，点落在底座上（底座厚度忽略不计），起钉时．已知，，，且三点共线． （1）求起钉时的大小； （2）求起钉时点到底座的距离．（结果保留到小数点后一位，参考数据：取，取） 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 24. 是等腰的外接圆，，的直径为10，点D是弧上的一点，连接，过点A作于点 （1）如图1，若点D在上，，求的度数（用含的代数式表示）． （2）在（1）的条件下，若，求． （3）若弦经过圆心O，连接，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $