22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质 一、单选题 1．函数的图象是(　　) A．双曲线 B．抛物线 C．直线 D．线段 2．在同一坐标系中，作、、的图象，它们共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线开口向下 C．都是关于原点对称，顶点都是原点 D．都是关于轴对称，顶点都是原点 3．已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．图象关于直线对称 B．抛物线开口向下 C．随着的增大而减小 D．图象的顶点为原点 5．在函数①；②；③中，图象开口大小按题号顺序表示为（      ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 6．若在同一直角坐标系中，对于抛物线，，，下列说法正确的是（    ） A．开口方向相同 B．都有最低点 C．都经过原点 D．对称轴都是轴 7．若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（　　） A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3 8．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．抛物线的对称轴是 ． 10．抛物线的开口方向是向 （填“上”或“下”）． 11．已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 12．已知函数是关于x的二次函数，当k＝ 时，图象开口向上；当k＝ 时，图象开口向下． 13．已知二次函数y＝（a+2）x2有最小值，那么a的取值范围是 ． 14．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 1 三、解答题 15．在同一平面直角坐标系中作出、和的图象． 16．函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 17．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 18．已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)． (1)求a的值； (2)当x＝3时，求y的值； (3)说出此二次函数的三条性质． 19．（教材练习变式）（1）在同一直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ②抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ③抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】从可判断y是x的正比例函数，根据正比例函数的图象是一条直线，即可求解． 【详解】∵ ∴y是x的正比例函数，其图象是直线 故选：C 【点睛】本题考查的是函数的图象，掌握“一次函数的图象是直线、反比例函数的图象是双曲线、二次函数的图象是抛物线”是关键． 2．D 【分析】本题的三个抛物线解析式都符合形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点． 【详解】解：因为、、都符合形式， 形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点， 所以它们的共同特点是：关于y轴对称，抛物线的顶点在原点． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象，熟练掌握形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点是解题关键． 3．A 【分析】根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，根据各点到对称轴距离的大小求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，离对称轴越近函数值越小， ∵ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 4．C 【分析】由抛物线解析式可得到开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标，可求得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标是， ∴、、选项说法正确， ∵，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， ∴选项说法错误， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．C 【分析】由于抛物线的开口大小是由二次项系数的绝对值的大小确定，越大则开口越小．利用这个结论即可判断开口大小． 【详解】解：∵物线的开口大小是由二次项系数的绝对值的大小确定，越大则开口越小． ∴开口大小按题号顺序表示为②③①． 故选C. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小． 6．D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向可判断A，根据抛物线的顶点可判断B与C，根据抛物线的对称轴可判断D． 【详解】解：抛物线，a=2＞0，开口向上，抛物线，a=2＞0，开口向上，，a=-2＜0，开口向下，故选项A不正确； 抛物线开口向上有最低点（0，0），抛物线开口向上，有最低点（0，0），抛物线开口向下，有最高点（0，１），故选项B不正确； 抛物线的顶点是原点， 和抛物线不过原点，故选项C不正确； 抛物线的对称轴为y轴，的对称轴为y轴，的对称轴为y轴，故选项D正确． 故选择D． 【点睛】本题考查抛物线的性质，开口方向，顶点，对称轴，掌握抛物线的性质是解题关键． 7．B 【详解】解：函数 是二次函数， 可得，解得a=4或a=-2， 又因为图像开口向上，所以a=4， 故选：B. 8．A 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求得旋转后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式求解即可． 【详解】解：的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键． 9．y轴 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是y轴， 故答案为：y轴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的对称轴是y轴是解决本题的关键． 10．下 【分析】根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的开口方向，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线解析式为y＝﹣x2，a＝﹣1＜0， ∴该抛物线开口向下， 故答案为：下． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 11．增大． 【分析】根据二次函数的增减性可求得答案 【详解】∵二次函数y=x2的对称轴是y轴，开口方向向上， ∴当y随x的增大而增大， 故答案为增大. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质. 12． 4 －2 【分析】根据二次函数的定义与图象特征即可得． 【详解】由题意得：， 解得或， 则当时，图象开口向上；当时，图象开口向下， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了二次函数的定义与图象，根据二次函数的定义得出是解题关键． 13．a＞﹣2． 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数大于0时抛物线开口向下，函数有最小值，即可得出答案． 【详解】解：因为二次函数y＝（a+2）x2有最小值， 所以a+2＞0， 解得a＞﹣2． 故答案为：a＞﹣2． 【点睛】本题考查二次函数性质，熟练掌握y=ax2形的图象性质是解题关键． 14． 3 【分析】先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】和对称轴都为轴， 可将表格中的数表示为坐标 两点纵坐标相等，且 横坐标关于轴对称 故答案为：；3 【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是纵坐标相同的不同点关于对称轴对称． 15．见解析 【分析】本题主要考查了运用描点法画函数图象、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 利用列表、描点、连线画出函数、的图象，再根据的图象和的图象关于x轴对称作图即可，． 【详解】解：观察三个函数表达式可知，三个函数图象都以y轴为对称轴，都以坐标原点为顶点． 函数图象如图所示： 16．(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）把已知点代入直线解析式求得，再代入抛物线解析式即可求得； （2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案． 【详解】（1）解：把代入可得： 点的坐标为 把代入可得： ，； （2）解：由（1）可得， 抛物线开口向下，且对称轴为轴， 当时，随的增大而增大． 17．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图：      （2）解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 18．(1) 3；(2) 27；(3)答案不唯一， 【详解】试题分析：抛物线y＝ax2经过点(1，3)，将点代入即可求得a=3,将x=3代入函数中求得y=27.二次函数的性质可以通过从开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性等方面进行分析. 解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)， ∴a·1＝3.∴a＝3. (2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27. (3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等． 19．（1）画图见解析；（2）①上，直线，；②上，直线，；③上，直线，． 【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）①根据（1）中的二次函数的图象填空即可．②根据（1）中的二次函数的图象填空即可．③根据（1）中的二次函数的图象填空即可． 【详解】解：（1）列表如下： 0 1 2 2 0 5 3 5 再描点连线， ∴的图象如图所示：    （2）①抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ②抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ③抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练的利用五点画图的方法画二次函数的图象是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $