22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质同步习题 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质 一、单选题 1．与抛物线的开口方向相同的抛物线是（   ） A． B． C． D． 2．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（     ）    A．π B．2π C．4π D．都不对 3．抛物线与相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴 4．二次函数的图像大致是（    ） A．   B．   C． D．   5．抛物线的顶点在（　　） A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第四象限 6．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列函数中，随的增大而减小的函数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（   ）． A．2 B． C．4 D． 二、填空题 9．对于抛物线，当时，随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 10．抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”） 11．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与y 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ． 13．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 三、解答题 14．已知函数是关于x的二次函数． (1)当m为何值时，该函数图象的开口向下？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当m为何值时，该函数有最小值？这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 15．在同一平面直角坐标系中，画出函数和的图象，并指出这两个函数图象的交点坐标． 16．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c． （1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　； （3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m n p 表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）． 17．已知抛物线，顶点为点D，D始终在直线上． (1)若，求b的值； (2)若当时，抛物线函数有最大值4，求此时a的值； (3)若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线交x轴于点G，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次项系数，开口向上，，开口向下，逐项判断，即可解题． 【详解】解：抛物线中， 抛物线开口向下， ， ，，开口向上，开口向下． 故选：B． 2．B 【分析】根据函数y=x2与函数y=-x2的图象关于x轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可． 【详解】解：∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象， ∴两函数图象关于x轴对称， ∴阴影部分面积即是半圆面积， ∴面积为：π×22=2π． 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键． 3．B 【分析】根据二次函数的性质分析即可． 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 4．D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据函数解析式可判断出图像的开口方向和顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：二次函数， ， 图像开口方向向下， 顶点坐标为， 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，轴上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．因为可看作二次函数的顶点式，根据顶点式的坐标特点，得出顶点坐标为，即可知顶点在轴上． 【详解】解：二次函数是顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知， 顶点坐标为，即顶点在轴上， 故选：． 6．D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，根据函数的图象和性质，判断其增减性，即可． 【详解】A、函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，不符合题意； B、函数，当，随的增大而减小，当，随的增大而增大，不符合题意； C、函数，随的增大而减小，符合题意； D、函数，随的增大而增大，不符合题意； 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查了二次函数和正比例函数的结合，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 9．增大 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据题目中的函数解析式以及二次函数的图象和性质，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，随的增大而增大． 故答案为：增大． 10．上升 【分析】根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大 ∴在轴的左侧部分是上升的． 故填：上升． 【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键． 11．2 【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案． 【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|， 当点P在x轴上方时，∴x2-1>0, ∴PH=|x2-1|=x2-1， 在Rt△OHP中，由勾股定理，得 OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2， ∴OP=x2+1， ∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键． 12． 【分析】如图，连接，作轴于，则，由题意知，，，可得，由正方形的性质、勾股定理可得，由，可得，，即，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于，则， 由题意知，，， ∴， 由正方形的性质、勾股定理可得， ∵， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式等知识．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了图形平移与抛物线，掌握平移的性质以及得出纵坐标相同是解题的关键； 已知和，则平移后的坐标为的坐标为都在抛物线上，且纵坐标相同，可求得，进而求的，即可求得点到点的距离． 【详解】解：设沿轴方向平移了个单位，沿轴方向平移了个单位， 则平移后的坐标为的坐标为， 都在抛物线上，且纵坐标相同， ， 解得， 将代入， ， ． 故答案为：． 14．(1)， (2)， 【分析】本题考查的是二次函数的定义与性质，一元二次方程的解法； （1）根据二次函数的定义可得且，求解的值后结合二次函数的性质可得答案； （2）结合（1）的结论，根据二次函数的性质可得答案； 【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数， 且， 解得或，即m的值为7或. 当时，，函数图象开口向下， ∴当m为时，函数图象开口向下，此时当时，y随着x的增大而减小； （2）解：当时，，函数图象开口向上，函数有最小值， ∴当m为7时，函数有最小值，当时，y随着x的增大而增大． 15．画图见解析， 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数图象的画法是解题的关键；利用描点法作出两种函数的图象后直接写出交点坐标即可． 【详解】解：列表得： 0 1 2 0 1 2 4 1 0 1 4 函数图象如图所示： 由图象可知：交点坐标为． 16．（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n 【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论； (2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2． (3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断． 【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变； （2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同， ∴a＝±2， ∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合， ∴c＝﹣2， 故答案为：±2，﹣2． （3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0， ∴p＜m＜n， 故答案为：p＜m＜n． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 17．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先把二次函数得解析式化成顶点式，然后根据顶点的特点求出a，b的关系式，即可求出b； （2）根据顶点的位置分两种情况讨论即可； （3）先表示出点C的坐标，然后表示出G的坐标，再写出 的比值即可． 【详解】（1）解：， ∴该抛物线的顶点D为， 由∵D在上， ∴， 当时，， ； （2）解：若，即， 则该函数的最大值为， ∴， 若，即， 则该函数的最大值为， 解得（舍），， ∴a的值为或； （3）解：由（2）知，，， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点G的坐标为， 设A的横坐标为，点B的横坐标为， 则， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，难度较大，要牢记二次函数一般式和顶点式相互转化的方法，要熟悉一次函数与坐标轴交点的求法． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $