2.8直线与圆锥曲线的位置关系练习-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

直线与圆锥曲线的位置关系 1、 选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分. 1.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 2.直线l过抛物线（）的焦点，且与C交于A，B两点，若使的直线l恰有2条，则p的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.若P为抛物线上的动点，F为该抛物线的焦点，则的最小值为( ). A.2 B.1 C. D. 5.直线被椭圆所截得弦的中点坐标为( ) A. B. C. D. 6.抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线l上的动点，当为等边三角形时，其面积为( ) A. B.4 C.6 D. 7.直线与双曲线(，)的交点个数是( ) A.1 B.2 C.1或2 D.0 8.已知直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数b的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为( ) A.2 B.1 C.0 D.0或1 10.（多选）已知直线被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 11.直线l过定点，且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为__________. 12.直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是__________. 13.斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段的长为______. 14.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在的直线方程为__________. 三、解答题：本题共1小题，共16分. 15.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线交抛物线C于A，B两点，O为原点，求证：以AB为直径的圆经过原点O. 参考答案 1.答案：C 解析：由，得，化简得， 因为， 所以方程无解， 所以直线与椭圆的位置关系是相离， 故选：C. 2.答案：A 解析：当AB垂直于x轴时，A，B两点坐标为，此时，所以.故选：A. 3.答案：C 解析：根据双曲线方程可知，点即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.故过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条. 4.答案：D 解析：由抛物线的性质知，焦点到抛物线上一点距离最小的点为抛物线顶点，而，得，所以的最小值为. 故选：D. 5.答案：C 解析：设直线与椭圆的交点为， 它们的中点为， 则，， 两式相减得到， 故即，又， 故，所以中点坐标为. 故选：C. 6.答案：D 解析：如图，因为是等边三角形，所以，由抛物线的定义知.在中，，，所以，所以.故选D. 7.答案：A 解析：双曲线的渐近线方程为，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，且在y轴上的截距为3，所以直线与双曲线的交点个数是1.故选A. 8.答案：D 解析：由题意，知直线恒过定点，要使直线与椭圆总有公共点，则只需点在椭圆上或椭圆内，则，即.因为，所以.故选D. 9.答案：A 解析：由题意，得，所以，则，所以点在椭圆内，则过点的直线与椭圆有2个交点.故选A. 10.答案：ACD 解析：直线与直线l关于原点对称，直线与直线l关于x轴对称，直线与直线l关于y轴对称，因此A、C、D中的直线被椭圆C截得的弦长一定为7，而直线被椭圆C截得的弦长大于7.故选ACD. 11.答案：2 解析：因为点在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，一条与渐近线平行，另外一条（此时斜率不存在）与双曲线相切. 12.答案： 解析：直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数m的取值范围是. 故答案为：. 13.答案：16 解析：因为过抛物线的焦点，斜率为1， 所以直线的方程为， 则联立直线与抛物线方程 ，得到， 令， 则，， 代入弦长公式. 故答案为：16. 14.答案： 解析：设直线与椭圆的交点为，.因为为AB的中点，所以，.又A，B两点在椭圆上，所以，，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为，即. 15.答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，， 所以为抛物线的焦点，可得，则， 所以抛物线C的方程为. （2）证明：设，， 联立可得，， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 所以 . 所以，所以以AB为直径的圆经过原点O.得证. 学科网（北京）股份有限公司 $