第2章 再练1课(范围：§2.6～§2.8)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦双曲线与抛物线的几何性质及综合应用，系统梳理从标准方程、离心率、渐近线等基础性质，到直线与圆锥曲线位置关系（弦中点、焦点弦），再到轨迹方程、面积计算的递进式学习支架。 资料特色在于结合太阳灶光学性质等实际情境培养数学眼光，通过方程思想、数形结合发展数学思维，规范解析过程训练数学语言。课中助力教师分层教学，课后多样题型帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

再练一课(范围：§2.6~§2.8) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案　C 解析　双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为双曲线C的离心率为，所以. 两边平方，即＝6，又a2＋b2＝c2， 所以＝1＋＝6. 解得，则. 故双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 2.已知抛物线C：x2＝6y，直线l与C交于A，B两点，若弦AB的中点为(1，4)，则直线l的斜率为(　　) A.－ B.3 C. D.－3 答案　C 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以＝6y1－6y2，整理得.因为弦AB的中点为(1，4)，所以，即直线l的斜率为. 3.已知双曲线＝1(m>0)的两条渐近线为l1，l2，过双曲线右焦点F且垂直于x轴的直线交l1，l2分别于点P，Q，O为坐标原点，若△OPQ的面积为，则m等于(　　) A.1 B. C. D.2 答案　A 解析　由双曲线方程得其渐近线方程为y＝±x， 由题知PQ⊥x轴且过右焦点F，令x＝c，得y＝±c，∴|PQ|＝c. 则△OPQ的面积S＝|PQ||OF|＝c2＝，解得c2＝5. ∵双曲线＝1(m>0)，∴c2＝4m＋m＝5，解得m＝1. 4.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2＝8x，平行于x轴的光线从点M(12，2)射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|等于(　　) A.6 B.8 C.2 D.29 答案　C 解析　由M(12，2)，可得点A的纵坐标为2，设A(m，2)，则4＝8m，解得m＝，由题意知反射光线经过抛物线y2＝8x的焦点(2，0)，所以直线AB的方程为y－0＝(x－2)，整理可得y＝－(x－2)，由消去y整理得2x2－17x＋8＝0，解得x1＝，x2＝8，则y2＝－(x2－2)＝－8，所以B(8，－8)，所以|MB|＝＝2. 5.已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积为(　　) A. B. C.2 D.4 答案　A 解析　∵在双曲线C：＝1中， a＝3，b＝4，c＝5， ∴F1(－5，0)，F2(5，0)，|F1F2|＝10. ∵|PF2|＝|F1F2|＝， ∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋. ∴在△PF1F2中， cos∠PF1F2＝， ∴sin∠PF1F2＝， ∴△PF1F2的面积为××10×. 6.已知双曲线C：x2－＝1，O为坐标原点，若直线y＝x＋2与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，则△OAB内切圆的半径等于(　　) A.－1 B.2－ C.2－ D.－1 答案　C 解析　双曲线C：x2－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x， 联立解得 同理联立解得 不妨设A(＋1，3＋)，B(1－，3－)， 则|OA|＝2(＋1)，|OB|＝2(－1)，|AB|＝2， 点O到直线y＝x＋2的距离d＝， 设△OAB内切圆的半径为r， 则S△OAB＝|AB|·d＝(|OA|＋|OB|＋|AB|)r， 即2×＝[2(＋1)＋2(－1)＋2]r， 解得r＝2－. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：y＝x2的焦点为F，P，Q两点在抛物线C上，下列说法正确的是(　　) A.若|PF|＝5，则点P的坐标为(4，4) B.直线y＝x－1与抛物线C不相切 C.点P到直线y＝x－2的距离的最小值为 D.若P，F，Q三点共线，则·＝－3 答案　CD 解析　由y＝x2，得x2＝4y，则焦点为F(0，1)，设P(x，y)，若|PF|＝5，由抛物线的定义得，y＋1＝5，解得y＝4，则点P的坐标为(4，4)或(－4，4)，故A错误；联立直线与抛物线方程消去y得x2－4x＋4＝0，得Δ＝0，所以直线y＝x－1与抛物线C相切，故B错误；因为直线y＝x－1与C相切，又直线y＝x－1与直线y＝x－2平行，所以两平行直线间的距离即点P到直线y＝x－2的最小距离，所求距离为，故C正确；抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋1，不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x2－4kx－4＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－4(1＋k2)＋4k2＋1＝－3，故D正确. 8.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|＝3|PF2|，则(　　) A.|PQ|＝4a B.3 C.双曲线C的渐近线方程为y＝±x D.直线PQ的斜率为4 答案　BC 解析　由4|PQ|＝3|PF2|，设|PQ|＝3m，|PF2|＝4m，由PQ⊥PF2，得|QF2|＝5m， 则|PF1|＝4m－2a，|QF1|＝5m－2a，而|PF1|＋|QF1|＝|PQ|，解得m＝，因此|PF1|＝，|QF1|＝， 对于A，|PQ|＝2a，A错误； 对于B，显然＝2，则3，B正确； 对于C，令|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得＝4c2， 则c2＝a2，b2＝c2－a2＝a2，即，因此双曲线C的渐近线方程为y＝±x，C正确； 对于D，由tan∠PF1F2＝＝4，结合对称性，图中P，Q位置可互换，则直线PQ的斜率为±4，D错误. 9.已知双曲线C：－x2＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，上、下焦点分别为F1，F2，则(　　) A.双曲线C的方程为－x2＝1 B.双曲线C的离心率为2 C.若点A(x0，y0)为双曲线C上支上的任意一点，P(2，0)，则|PA|＋|AF2|的最小值为2 D.若点M(2，t)为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面积为2π 答案　BC 解析　对于A，双曲线C：－x2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±ax，则a＝， 于是双曲线C的方程为3y2－x2＝1，A错误； 对于B，双曲线C的离心率e＝＝2，B正确； 对于C，F1，F2，|PA|＋|AF2|＝|PA|＋|AF1|＋2a≥|PF1|＋ ＝＝2， 当且仅当点A为线段PF1与双曲线上支的交点时，取等号，C正确； 对于D，由点M(2，t)在双曲线上支上，得t＝，|F1F2|·2， △MF1F2的周长为|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝， 设△MF1F2的内切圆半径为r，则×r＝，解得r＝， 因此△MF1F2的内切圆面积为，D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(2，0)，则k＝　　　　.  答案　 解析　将双曲线方程x2－ky2＝1化为x2－＝1，依题意，1＋＝4，所以k＝. 11.在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2，则顶点A的轨迹方程为　　　　　　　　　　.  答案　＝1(x>) 解析　以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， E，F分别为边AB，AC上的切点，则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|， 所以|AB|－|AC|＝|BD|－|CD|＝2<4， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)， 且a＝，c＝2，所以b＝， 所以顶点A的轨迹方程为＝1(x>). 12.倾斜角为锐角的直线经过抛物线C：y2＝12x的焦点F，且与C交于A，B两点，Q为线段AB的中点，P为C上一点，若|PF|＋|PQ|的最小值为8，则这条直线的斜率为　　　　.  答案　 解析　抛物线C：y2＝12x的焦点F(3，0)，准线方程为x＝－3， 显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝ty＋3(t≠0)， 由消去x并整理得y2－12ty－36＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝12t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋6＝12t2＋6， 因此线段AB的中点Q的横坐标xQ＝6t2＋3， 过P作准线x＝－3的垂线，垂足为D'，过Q作准线x＝－3的垂线，垂足为D， 由抛物线的定义可得|PF|＋|PQ|＝|PD'|＋|PQ|≥|QD'|≥|QD|＝6t2＋3＋3＝6t2＋6， 当且仅当点P是线段QD与抛物线C的交点时，取等号，因为|PF|＋|PQ|取得的最小值为8， 所以6t2＋6＝8，解得t＝±，而直线AB的倾斜角为锐角，则t＝， 所以直线AB的斜率为. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知抛物线C：x2＝2py(0<p<6)的焦点为F，点A(4，m)在抛物线C上，且＝5. (1)求抛物线C的标准方程；(4分) (2)直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P(1，2)，求直线l的方程.(8分) 解　(1)因为点A(4，m)在抛物线C上， 所以|AF|＝m＋＝5， 又因为0<p<6，解得p＝2， 故抛物线C的标准方程为x2＝4y. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 所以＝4(y1－y2)， 即(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)， 因为MN的中点为P(1，2)，所以x1＋x2＝2， 则，故直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y－2＝(x－1)， 即x－2y＋3＝0. 14.(12分)已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为. (1)求此双曲线的渐近线方程；(4分) (2)若经过点P(0，－1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M，N，求线段MN的中垂线l在y轴上的截距t的取值范围.(8分) 解　(1)由双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为且a＝1， 可得c＝，∴b＝1. ∴双曲线C：x2－y2＝1. 可得双曲线的渐近线方程为y＝±x. (2)设经过点P的直线方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， ∴ 解得1<k<. ∴MN的中点为， ∴线段MN的中垂线方程为 y＋＝－， 令x＝0得截距t＝>2. 即线段MN的中垂线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，＋∞). 15.(13分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点P(6，y0)到焦点F的距离|PF|＝2y0. (1)求抛物线C的方程；(4分) (2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C的准线上一点，且·＝3，求△MAB的面积.(9分) 解　(1)由抛物线的定义得|PF|＝y0＋. 由题意得解得 ∴抛物线的方程为x2＝12y. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知点F(0，3)， ∴直线l的方程为x＋y－3＝0. 由可得y2－10y＋9＝0， 则y1＋y2＝10，y1y2＝9， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＝y1＋y2＋p＝10＋6＝16， 则不妨取y1＝1，y2＝9， 则点A，B的坐标分别为(2，1)，(－6，9). 设点M的坐标为(t，－3)，则＝(2－t，4)，＝(－6－t，12)， 则·＝(2－t)(－6－t)＋4×12＝3， 解得t＝－或－3. 又点M到直线l的距离d＝， 故d＝或， 当d＝时， △MAB的面积S＝d·|AB|＝28； 当d＝时， △MAB的面积S＝d·|AB|＝36. 学科网（北京）股份有限公司 $