专题05 三角函数（期末真题汇编，山东专用）高一数学上学期

专题05 三角函数 4大高频考点概览 考点01 任意角与弧度制 考点02 诱导公式 考点03 三角恒等变换 考点04 三角函数的图像与性质 地 城 考点01 任意角与弧度制 一、单选题 1．（24-25高一上·山东德州·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若，，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知所求弓形的面积为扇形的面积减去等边三角形的面积，所以根据已知条件求出扇形的面积和等边三角形的面积即可. 【详解】因为，，所以为等边三角形， 因为，所以， 所以弧与弦围成的弓形的面积为 . 故选：B 2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）集合，，，则集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解. 【详解】解不等式，可得， 所以，整数的取值有、、， 又因为集合，， 则，即集合中的元素个数为. 故选：B. 3．（23-24高一上·山东临沂·期末）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（    ）    A．960 B．480 C．320 D．240 【答案】B 【分析】利用扇形的面积公式计算即可. 【详解】易知，根据题意可知扇面的面积为. 故选：B 4．（24-25高一上·山东聊城·期末）若扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长面积公式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，扇形的半径为， 所以扇形的面积为. 故选：C 5．（24-25高一上·山东济南·期末）将化为弧度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角度制和弧度制转化即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 6．（23-24高一上·山东济南·期末）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形的面积公式可求出扇环的面积，即可得解. 【详解】由题意可知，扇环的面积为. 故选：C. 二、多选题 7．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ）    A． B． C．点的坐标为 D．点的坐标为 【答案】ABC 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】对于A：因为，，所以，正确； 对于B：依题意为线段的中点，则，则， 又，所以，正确； 对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点， 所以， 又，所以点的坐标为，正确； 对于D： ， ， 所以点的坐标为，错误. 故选：ABC 8．（23-24高一上·山东聊城·期末）以下说法正确的是（   ） A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D．“，”是真命题，则 【答案】ACD 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果判断D. 【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，即，解得， 因为所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为， 则该扇形面积为，故C正确； 对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立. 当时，命题成立； 当时，，解得， 综上可得，，故D正确； 故选：ACD. 9．（22-23高一上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．在范围内，与角终边相同的角是 B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 C．不等式的解集为 D．函数的定义域是 【答案】ABD 【分析】根据终边相同角的表示判断A，由锐角三角函数求出圆的半径，再由弧长公式，即可判断B，根据正弦函数的性质解不等式，即可判断C，根据正切函数的性质求出函数的定义域，即可判断D. 【详解】对于A：与角终边相同的角为， 令，此时，故A正确； 对于B：设圆的半径为，则，所以， 所以弧长为，故B正确； 对于C：不等式，则， 即不等式的解集为，故C错误； 对于D：对于函数，则，解得， 即函数的定义域为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 10．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 . 【答案】/ 【分析】由扇形的弧长公式即可直接求得答案. 【详解】由题意可知弧长， 故答案为：. 11．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2，， ，.则S阴影= . 【答案】 【分析】阴影部分的面积为的半圆面积减去中圆心角为的弓形面积，利用已知数据计算即可. 【详解】，则为⊙A的直径，连接，如图所示， ，，则为等边三角形，， 的半径为2，的半径为4， 阴影部分的面积为的半圆面积减去中圆心角为的弓形面积， 则阴影部分的面积为. 故答案为： 12．（22-23高一上·山东德州·期末）如图，直角中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A．其中的面积与扇形OAB的面积之比为3：2，记，则 ． 【答案】/1.5 【分析】设出扇形的半径，分别计算扇形面积与三角形面积代入可得结果. 【详解】设扇形OAB的半径为r，则扇形OAB的面积为， 直角三角形POB中，，则△POB的面积为， 由题意知，， 所以 故答案为：. 13．（23-24高一上·山东济宁·期末）若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式直接求解即可. 【详解】设扇形的面积为，则扇形面积，解得：. 故答案为：. 14．（23-24高一上·山东滨州·期末）杭州第19届亚运会会徽（图1）名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手、紧密相拥、永远向前.图2是会徽抽象出的几何图形.设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，若，，则 . 【答案】6 【分析】由弧长比可得，结合扇形面积公式得答案． 【详解】设，由，得，即， 则． 故 故答案为：6． 15．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，已知是等腰直角三角形，，，在平面内绕点逆时针旋转到，使C，B，在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】由图可知，分别计算即可. 【详解】如图：    由是等腰直角三角形，，， 所以，， ， ， 所以 . 故答案为： 16．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知一个扇形面积为16，其圆心角为，则该扇形周长为 . 【答案】16 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可. 【详解】根据扇形面积可知，代入题中数据可得，则该扇形周长为 故答案为：16 17．（22-23高一上·山东济南·期末）已知一个扇形的周长为10，弧长为6，那么该扇形的面积是 . 【答案】6 【分析】根据周长和弧长求出半径，再根据面积公式可求出结果. 【详解】设该扇形的弧长为，半径为，周长为，面积为， 则，，所以， 则. 故答案为：. 四、解答题 18．（22-23高一上·山东烟台·期末）勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的．如图1，以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形ABC．受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形．如图2，分别以正五边形ABCDE的顶点为圆心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形ABCDE．设正五边形ABCDE的边长为1． (1)求勒洛五边形ABCDE的周长； (2)设正五边形ABCDE外接圆周长为，试比较与大小，并说明理由．（注：） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）先运用正多边形内角和公式求出，再利用三角形内角和公式求出，在中运用正弦定理即可求出的长度，再用弧长公式即可求解； （2）根据正多边形性质与外接圆的性质求出，再利用余弦定理即可求得半径，代入圆的周长公式即可求得外接圆的周长，用作差法即可比较大小. 【详解】（1）依题意，因为五边形ABCDE为正五边形且边长为1， 所以，, 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理得：， 所以 ， 所以劣弧， 所以勒洛五边形ABCDE的周长：. （2），理由如下： 如图所示：作出正五边形ABCDE外接圆， 由（1）知，易得， 所以由圆心角与圆周角的关系得：， 在中，，，， 由余弦定理得：， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以正五边形ABCDE外接圆周长为： ， 因为， 所以，所以. 地 城 考点02 诱导公式 一、单选题 1．（24-25高一上·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意求出，再根据任意角的三角函数的定义和诱导公式求出的值，然后代入计算即可. 【详解】由题意得，且，解得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·山东济南·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断，根据同角的平方关系计算求出，结合诱导公式计算即可求解. 【详解】因为，所以，则， 又，所以. 所以. 故选：A 4．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接判断的范围，再比较大小. 【详解】利用对数函数的性质可得,, 利用诱导公式可得 所以. 故选：D 5．（23-24高一上·山东济南·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C. 6．（23-24高一上·山东菏泽·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 7．（23-24高一上·山东青岛·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式把化简为，再根据特殊角三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：B 8．（22-23高一上·山东菏泽·期末）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， 故选：C 9．（22-23高一上·山东菏泽·期末）计算等函数值时，计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算该多项式的值求出原函数近似值，如，其中. 英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，从中可以看出，右边的项用得越多，计算得出和的值也就越精确. 运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用诱导公式，结合题中所给公式进行求解即可. 【详解】. 故选：C 10．（22-23高一上·山东济南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式可求出结果. 【详解】. 故选：A 二、多选题 11．（24-25高一上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则为第二象限角 B． C．函数的最小正周期为 D．函数的单调递增区间为， 【答案】BC 【分析】利用三角函数值符号与角的终边位置可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项；利用正切型函数的单调性可求出函数的单调递增区间，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，可得， 所以，为第二或第三象限角，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，函数的最小正周期为，C对； 对于D选项，对于函数， 由得， 所以，函数的单调递增区间为，，D错. 故选：BC. 12．（24-25高一上·山东德州·期末）已知角满足，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知条件可得，然后利用同角三角函数的关系求出，再化简计算即可得答案 【详解】由，得， 所以，则， 化简整理得， 所以，或， 当时，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 故选：ACD 13．（24-25高一上·山东聊城·期末）若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用任意角的三角函数值与诱导公式逐一判断即可. 【详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B正确； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D错误. 故选：BC 14．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数，则（    ） A．点是图象的一个对称中心 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 【答案】AB 【分析】通过代入验证法，判断选项中的对称中心对称轴单调区间等结论是否成立. 【详解】函数， ，点是图象的一个对称中心，A选项正确； ，是函数最值，直线是图象的一条对称轴，B选项正确； 时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误； ，D选项错误. 故选：AB 三、填空题 15．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，当时，取得最大值，则 . 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式可得出，其中，，为锐角，根据题意确定与的关系，结合诱导公式可求得的值. 【详解】令，，其中为锐角， 则 ， 因为当时，取得最大值，则， 所以，， 所以，， ，故. 故答案为：. 16．（23-24高一上·山东淄博·期末）若，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】 . 故答案为： 17．（22-23高一上·山东德州·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合特殊角三角函数，可得答案. 【详解】， 故答案为：. 四、解答题 18．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故 19．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知. (1)求的值； (2)若，为锐角，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据，利用二倍角的正切公式求得，再利用诱导公式和商数关系求解； （2）由（1）得到，结合，求得，，再利用角的变换求解. 【详解】（1）∵， ∴， 所以； （2）由（1）知， 又，， ∴，， ∵，均为锐角， ∴，又∵， ∴， ∴ . 20．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 【答案】(1)， (2)时，取最大值；时，取最小值. 【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间； （2）求得，由可求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值以及对应的值. 【详解】（1）因为， 由正弦函数的单调性可得，， 解得，，， 因此，函数的单调递减区间为，. （2）由（1）可知，， 所以， 当时，， 当时，即当时，函数取最大值， 当时，即当时，函数取最小值. 21．（24-25高一上·山东德州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第四象限内的点. (1)若，求及的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得，，结合求出，然后根据任意角的三角函数的定义求出，再对所求的式子化简变形，然后代值计算即可； （2）利用同角三角函数的关系对已知条件化简可求出，然后由可求得答案. 【详解】（1）由已知角的终边与单位圆交于第四象限内的点， 则，，，，由， 得， 则， 再由诱导公式可得 . （2）因为， 所以，又是第四象限角， 所以，，即， 22．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知 (1)若角是第三象限角，且，求的值； (2)若为锐角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简，求出，利用平方关系求出，代入； （2）利用诱导公式、弦化切、两角差的正弦展开式化简可得，求出可得答案. 【详解】（1） 因为是第三象限角，且，所以， 则， 所以； （2）方法一： ， ，又是锐角，所以， 则. 方法二： ， ，又是锐角，所以， 则. 23．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和正切公式展开计算即可； （2）根据诱导公式化简式子，然后利用“1”的代换及弦化切求解即可. 【详解】（1）由题意，解得. （2）. 24．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知为第二象限角，且终边与单位圆相交于点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数的平方关系与商数关系计算即可； （2）利用诱导公式结合（1）的结论弦化切计算即可. 【详解】（1）点的横坐标为， ， 又为第二象限角， ． ； （2） . 25．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，且，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用诱导公式即可求出结果； （2）利用，再利用正弦的和差公式及，即可得出结果. 【详解】（1），且，则为第四象限角， 所以， 所以. （2）因为原式 . 26．（23-24高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)已知为锐角，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值； （2）求出的值，利用两角差的正弦公式求出的值，结合角的范围可求得角的值. 【详解】（1）解：因为角的终边过点，所以， 则，，． ． （2）解：因为角的终边过点，所以为第四象限角，即， 又因为为锐角，则，可得， 因为，则， 因为，所以． 则 ． 所以． 27．（23-24高一上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系xoy中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边OQ重合． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义结合同角三角关系可得，，进而结合诱导公式运算求解； （2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，， 因为，即，且，解得， 即，． 又因为， 可得， ． 所以． （2）由（1）知， 所以． 28．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解. （2）利用诱导公式化简即可求解. 【详解】（1）由三角函数的定义知： 因为，所以， 所以． （2）因为，， ， 所以． 29．（23-24高一上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义可求得、的值，即可得出的值； （2）由三角函数的定义求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】（1）解：设点与原点的距离为，则. 所以，，， 所以，. （2）解：由条件得. 则 . 30．（22-23高一上·山东德州·期末）已知函数． (1)化简； (2)若锐角满足，求的值： (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据诱导公式化简即可； （2）由第（1）问化简结果可知的值，结合为锐角，求出的值代入所求即可求出结果； （3）由条件可知，求的值再根据角的范围判断正负可得出结果. 【详解】（1）解： （2）因为，所以，且为锐角，所以，则 （3），即，，因为，所以， 则 31．（22-23高一上·山东聊城·期末）求解下列问题： (1)已知，，求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得正确答案. （2）利用对数、根式运算求得正确答案. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴或，∴或， 又∵，∴， ∴． （2）原式 ． 32．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知． (1)求； (2)若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角关系求解即可； （2）根据三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）因为 所以， 所以. （2）由正切函数的定义知， 又因为，所以，，所以． 地 城 考点03 三角恒等变换 一、单选题 1．（24-25高一上·山东济南·期末）若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得到，由得到：，结合正弦函数零点构造不等式即可； 【详解】 由可得：， 函数在上有且仅有三个零点， 则， 解得：， 故选：D 2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值. 【详解】由已知可得，解得， 所以，， 故. 故选：D. 3．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系得到和，再利用凑角法，正弦和角公式求出答案. 【详解】因为，都是锐角，所以， 故， 又，所以， 所以 . 故选：B 4．（23-24高一上·山东济南·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C. 5．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角关系以及和差角公式即可求解. 【详解】由于，所以，所以， 由可得， 故， 故选：A 二、多选题 6．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（   ） A．最大值为2 B．的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】由，利用伸缩变换得到，再逐项判断. 【详解】因为函数， 所以将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数， 则的最大值为2，故A正确； 因为，所以的图象不关于对称，故B错误； 因为，所以函数为偶函数，故C正确； 因为，所以， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ACD 7．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ）    A． B． C．点的坐标为 D．点的坐标为 【答案】ABC 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】对于A：因为，，所以，正确； 对于B：依题意为线段的中点，则，则， 又，所以，正确； 对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点， 所以， 又，所以点的坐标为，正确； 对于D： ， ， 所以点的坐标为，错误. 故选：ABC 8．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知为第一象限角，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用已知和求出、，逐项判断可得答案. 【详解】由得， 代入得， 解得或， 因为为第一象限角，所以，， 所以，， ，. 故选：AC. 9．（22-23高一上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（    ） A． B．的最大值为2 C． D． 【答案】ACD 【分析】计算，，代入数据计算A正确，，B错误，计算得到，C正确，根据诱导公式得到D正确，得到答案. 【详解】， ， 对选项A：，正确； 对选项B： ，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确. 故选：ACD 10．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．点为函数图象的一个对称中心 B．的取值范围为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于直线对称 【答案】AB 【分析】运用函数的对称性的性质、单调性的定义，结合特例法、二倍角的正弦公式、降幂公式逐一判断即可. 【详解】选项A：因为 ， 所以点为函数图象的一个对称中心，因此本选项正确； 选项B：因为， 所以，即的取值范围为，所以本选项正确； 选项C：因为， 所以的一个单调递增区间为不正确，因此本选项说法不正确； 选项D：当时，， 因为， 所以此时函数不关于直线对称，因此本选项不正确， 故选：AB 【点睛】关键点睛：运用特例法、函数对称性的性质，结合降幂公式是解题的关键. 三、填空题 11．（23-24高一上·山东聊城·期末）在中，，边上的高等于，则 ． 【答案】 【分析】由题意得，由此锐角三角函数以及两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意设为边上的高，， 又，所以，所以垂足必定落在线段上面，如图所示：   ，， 又， 所以. 故答案为：. 12．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，当时，取得最大值，则 . 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式可得出，其中，，为锐角，根据题意确定与的关系，结合诱导公式可求得的值. 【详解】令，，其中为锐角， 则 ， 因为当时，取得最大值，则， 所以，， 所以，， ，故. 故答案为：. 13．（22-23高一上·山东滨州·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD延长线上的点，，且，则PQ的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，用分别表示，再利用和角的正切及均值不等式求解作答. 【详解】依题意，， 显然，由得：， 即，整理得， 在中，， 当且仅当，即时取等号， 所以PQ的最小值为2. 故答案为：2 四、解答题 14．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． (1)求的值及函数在上的最小值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，最小值为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值； （2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）解：函数 ， 则， 因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且， 所以，函数的最小正周期为，则， 可得． 由，得，所以，， 所以，，故函数在上的最小值为． （2）解：设，因为，所以． 因为不等式恒成立， 设， 所以在上恒成立． 则，即， 解得，故的取值范围为． 15．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值； (3)若在区间上恰有两个零点、，求. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值； （3）求出函数图象在内的对称轴方程，可得出，得，，利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，则，， 所以，，则，可得， 因为，则，所以，，解得， 因此，. （2）因为，则，所以，，即， 所以的最大值为，最小值为. （3）因为，当时，， 令，所以， 因为在区间上恰有两个零点、， 函数图象在区间内的对称轴为直线， 由正弦型函数的对称性可知，点、关于直线对称，则， 所以， 由得，， 所以， 所以. 16．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知 (1)若角是第三象限角，且，求的值； (2)若为锐角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简，求出，利用平方关系求出，代入； （2）利用诱导公式、弦化切、两角差的正弦展开式化简可得，求出可得答案. 【详解】（1） 因为是第三象限角，且，所以， 则， 所以； （2）方法一： ， ，又是锐角，所以， 则. 方法二： ， ，又是锐角，所以， 则. 17．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知. (1)求的值； (2)若，为锐角，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据，利用二倍角的正切公式求得，再利用诱导公式和商数关系求解； （2）由（1）得到，结合，求得，，再利用角的变换求解. 【详解】（1）∵， ∴， 所以； （2）由（1）知， 又，， ∴，， ∵，均为锐角， ∴，又∵， ∴， ∴ . 18．（23-24高一上·山东菏泽·期末）如图，任意角的终边与以为圆心2为半径的圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为，记的面积为（规定当点落在坐标轴上时，）.    (1)求的解析式； (2)求取最大值时的值； (3)求的单调递减区间. 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）利用三角形面积和二倍角公式得到； （2）利用整体法求出当时，最大，并求出相应的值； （3）画出的图象，求出单调递减区间. 【详解】（1）由三角函数的定义知，， 所以； （2）由知，当时，最大， 此时，，即，， ∴最大时，，. （3）画出的图象如下，的周期，    当时，在上为增函数，在上为减函数. ∴的单调递减区间为，. 19．（23-24高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)已知为锐角，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值； （2）求出的值，利用两角差的正弦公式求出的值，结合角的范围可求得角的值. 【详解】（1）解：因为角的终边过点，所以， 则，，． ． （2）解：因为角的终边过点，所以为第四象限角，即， 又因为为锐角，则，可得， 因为，则， 因为，所以． 则 ． 所以． 20．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.    (1)设，求的取值范围及； (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得，即可得，在中，利用即可求出结果； （2）根据条件得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）因为为等腰直角三角形，为线段的中点， 所以. 因为点在线段上运动，所以， 因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为.    21．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，且，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用诱导公式即可求出结果； （2）利用，再利用正弦的和差公式及，即可得出结果. 【详解】（1），且，则为第四象限角， 所以， 所以. （2）因为原式 . 22．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数，图象上相邻两个对称中心的距离为. (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的最大值. 【答案】(1)，（）. (2). 【分析】（1）利用周期求出，借助三角函数的单调性即可求出单调增区间； （2）通过三角函数图象的变换求出，代入化简，借助三角函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）由题意知，，则，得 所以. 由，， 得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得，再向右平行移动个单位长度，得. ， 因为，则， 所以， 当且仅当时，即,此时在上有最大值为. 23．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和正切公式展开计算即可； （2）根据诱导公式化简式子，然后利用“1”的代换及弦化切求解即可. 【详解】（1）由题意，解得. （2）. 24．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数在区间上的最小值为3. (1)求常数的值； (2)在中，若，求的最大值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，再由求得，再由正弦函数的性质可求出其最小值，从而列方程可求出的值； （2）由求出，利用三角函数恒等变换公式化简变形，得，再由的范围求出的范围，再由正弦函数的性质可求出其最大值. 【详解】（1） ， 由，得，知， 最小值， 解得. （2）由（1）知，由， 即，得， 因为，所以，则， 于是， 因为，所以， 所以当，即当时，的最大值为. 25．（23-24高一上·山东枣庄·期末）如图，ABCD是边长为80米的正方形菜园，计划在矩形ECFG区域种植蔬菜．E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，米，设矩形ECFG的面积为S（单位：平方米）    (1)若，请写出S（单位：平方米）关于的函数关系式； (2)求S的最小值． 【答案】(1) (2)1400平方米 【分析】（1）由题意用的三角函数表示出，的长，即可求得答案； （2）将化简，利用三角代换，即令，即可将转化为关于t的二次函数，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）延长FG交AB于H，    则米，米， 则米，米， 故． （2）由（1）得：． 令，则． 因为， 所以． 所以， 因为， 所以当时，． 即当时，矩形ECFG面积的最小值为1400平方米． 26．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)函数的周期，且时函数取得最大值，求使得不等式恒成立的实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，利用辅助角公式以及二次函数的性质即可求解， （2）由辅助角公式化简得，即可根据最值以及周期求解. 【详解】（1）由，得 ， 令，可得， 所以的值域为； （2）化简， 其中， 由题知，即，， 则， ， 且 可得， 又因为且，则为第一象限角， 因为，即，而且，，可得，， 使最小，则，即， 则不等式恒成立，时. 27．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数的最大值为， (1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简可得，所以，可得的值，令，可得的值； （2）令，进而解出，即可求解. 【详解】（1）                                                                         . 当时，函数取到最大值， 所以，即，   令，得，                               所以当函数取到最大值时的集合为. （2）由（1）得， 所以令， 得， 所以函数的单调递增区间为. 28．（22-23高一上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆O交于A，B两点，且. (1)求的值； (2)若点A的纵坐标为，求点B的纵坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，确定的范围，再利用平方关系求解作答. （2）利用三角函数的定义，结合差角的正弦公式求解作答. 【详解】（1）因为都是锐角，则，而， 所以. （2）因为角终边与单位圆交点纵坐标为，则， 又因为角为锐角，因此， 所以， 所以B点的纵坐标为. 29．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：由，可得，然后利用二倍角公式可得，从而可求出的值；方法二：由，得，再利用同角三角函数的关系和二倍角公式可求得结果， （2）利用余弦的二倍角公式化简变形可求得结果 【详解】（1）方法一：由于，可得，则， ， 整理得 解得（舍去），或. 方法二：因为，所以， 所以； （2） . 地 城 考点04 三角函数的图像与性质 一、单选题 1．（24-25高一上·山东泰安·期末）函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除一些选项，然后通过分析函数在特殊点（如附近）的取值情况进一步确定函数图象． 【详解】，其定义域为，对于任意， ， 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除A选项， 当时，，，，所以，则， 当时，，，，所以，则，故排除C选项， 当时，，所以排除选项D． 故选：B． 2．（23-24高一上·山东聊城·期末）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，， 由于是三角形的一个内角，所以， 则， 由于函数在区间上单调， 所以，解得， 即的取值范围为. 故选：B 3．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义逐个选项分析即可. 【详解】对于A，令，，故，即是奇函数，故A错误， 对于B，令，而，故是偶函数，故B正确， 对于C，令，，显然当时，不是偶函数，故C错误， 对于D，令，而,故，即是奇函数，故D错误. 故选：B 4．（23-24高一上·山东青岛·期末）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标． 【详解】作出函数和在上的图象如下 从图像上可得：函数的图象和的图象在内有两个交点： ，即，得， ，，得， 所有交点横坐标之和为. 故选：A 5．（23-24高一上·山东济宁·期末）若对任意，方程有解，则实数的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先求方程左侧函数的值域，后解不等式求参数范围即可. 【详解】因为，可知，所以． 又方程有解，所以． 所以，， 故选：A． 6．（23-24高一上·山东·期末）函数的零点的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将零点问题转化为交点问题，作图求解即可. 【详解】令，故，即的零点个数为与的交点个数， 显然在单调递增，的周期为，且当时，， 故此时两个函数无交点，作出图像如下图， 由图像得共有个交点，故有个零点，即C正确. 故选：C 7．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数是定义域为的偶函数，对任意，，，都有.实数，，满足，，（），则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得在单调递增，结合对称性可得函数的单调性，进而根据基本函数的单调性结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由，，，可得，故在单调递增， 由于是定义域为的偶函数，故的图象关于对称，故在 单调递减， 由于函数单调递增，故由可得， 函数单调递增，故，可得， 由于函数在单调递增，，，故，则， 所以，故，即， 故选：D 【点睛】函数零点的估计，往往需要结合零点存在定理和函数的单调性来进行判断，后者需结合基本初等函数的性质来处理，另外取点时注意以函数值容易计算为主旨. 8．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，求出周期，再利用周期公式可求出，再由可求出的值. 【详解】由题意可得，得，所以，得， 所以， 因为的图象过点， 所以，得， 所以， 所以，或， 所以，或， 因为，所以， 故选：C 9．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为偶函数，可排除B和D，根据在上为增函数，排除C. 【详解】对于B和D，因为为偶函数，所以和都是偶函数，它们的图象都关于轴对称，故B和D都不正确； 对于C，由于在上为增函数，且，所以在上为减函数，由图可知，C不正确； 故只有A可能正确. 故选：A 10．（22-23高一上·山东聊城·期末）如图，动点P从点M出发，按照路径运动，四边形ABCD是边长为2的正方形，弧DM以A为圆心，AD为半径，设点P的运动路程为x，的面积为y，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得在上的解析式，由此确定正确答案. 【详解】弧长为， 当时，，排除AC选项. 当时，，排除D选项. 故选：B 二、多选题 11．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（   ） A．最大值为2 B．的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】由，利用伸缩变换得到，再逐项判断. 【详解】因为函数， 所以将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数， 则的最大值为2，故A正确； 因为，所以的图象不关于对称，故B错误； 因为，所以函数为偶函数，故C正确； 因为，所以， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ACD 12．（24-25高一上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则为第二象限角 B． C．函数的最小正周期为 D．函数的单调递增区间为， 【答案】BC 【分析】利用三角函数值符号与角的终边位置可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项；利用正切型函数的单调性可求出函数的单调递增区间，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，可得， 所以，为第二或第三象限角，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，函数的最小正周期为，C对； 对于D选项，对于函数， 由得， 所以，函数的单调递增区间为，，D错. 故选：BC. 13．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数，假如存在实数，使得对任意的实数恒成立，称满足性质，则下列说法正确的是（    ） A．若满足性质，且，则 B．若，则不满足性质 C．若满足性质，则 D．若满足性质，且时，，则当时， 【答案】ACD 【分析】利用定义直接计算可判定A，利用诱导公式可判定B，利用指数运算法则结合指数函数单调性可判定C，利用定义递推函数关系可判定D. 【详解】对于A，若满足性质，且，则恒成立， 所以，故A正确； 对于B，若，显然， 即，此时满足性质，故B错误； 对于C，若满足性质， 即， 易知，所以，故C正确； 对于D，若满足性质，且时，， 由题意 ， 则当时，，则， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：对于函数的新定义问题首先审清题意，然后根据定义结合三角函数、指数函数的性质以及函数的递推关系计算即可. 14．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．在上单调递增 C．若、，且，则 D．把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 【答案】ACD 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性可求出的值，代值计算出的值，可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，， 函数的最小正周期满足，可得，则， 则， 又因为，可得， 因为，则，所以，，可得， 所以，，A对； 对于B选项，当时，， 所以，在上不单调，B错； 对于C选项，当时，， 由可得， 所以，函数在区间内的图象关于直线对称， 若、，且，则， 所以，，C对； 对于D选项，把的图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则，D对. 故选：ACD. 15．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解． 【详解】对A：由，函数的最小正周期为，故A正确； 对B：由，，解得，， 所以的定义域为，故B正确； 对C：，，解得，， 所以函数在，上单调递增，故C错误； 对D：由C知当时，在上单调递增，所以，故D正确； 故选：ABD. 16．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数，则（    ） A．点是图象的一个对称中心 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 【答案】AB 【分析】通过代入验证法，判断选项中的对称中心对称轴单调区间等结论是否成立. 【详解】函数， ，点是图象的一个对称中心，A选项正确； ，是函数最值，直线是图象的一条对称轴，B选项正确； 时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误； ，D选项错误. 故选：AB 17．（23-24高一上·山东滨州·期末）函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的为（    ）    A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象，则是奇函数 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据已知图象可确定相关参数，求得函数解析式，进而判断A; 将代入函数中解析式求得其值，即可判断B；根据正弦函数的图象的平移变换规律可得平移后的解析式，可判断C;利用正弦函数的单调性可判断D. 【详解】因为经过，所以， 即因为，所以所以 又因为经过，所以， 即，所以，即， 因为，所以.故. 对于选项A:因为，所以,故选项A正确； 对于选项B: 将代入函数，可得：， 故的图象关于点对称，故选项B正确； 对于选项C：将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 得到, 令，则， 所以的对称中心为, 在对称中心中无坐标原点，故不是奇函数，故选项C错误； 对于选项D: 对于，令， 因为，所以，而在单调递减， 所以在上单调递减，故选项D正确. 故选：ABD. 18．（22-23高一上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则的最小值为3 B．当时，的最小值为4 C．已知，，，则的取值范围是 D．已知，，，则的最小值为8 【答案】AC 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，根据对勾函数的性质判断B. 【详解】对于A：因为，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，又函数在上单调递减， 所以当时取得最小值，故B错误； 对于C：因为，且， 所以， 即，解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号，即的取值范围是，故C正确； 对于D：因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D错误； 故选：AC 19．（22-23高一上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．在范围内，与角终边相同的角是 B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 C．不等式的解集为 D．函数的定义域是 【答案】ABD 【分析】根据终边相同角的表示判断A，由锐角三角函数求出圆的半径，再由弧长公式，即可判断B，根据正弦函数的性质解不等式，即可判断C，根据正切函数的性质求出函数的定义域，即可判断D. 【详解】对于A：与角终边相同的角为， 令，此时，故A正确； 对于B：设圆的半径为，则，所以， 所以弧长为，故B正确； 对于C：不等式，则， 即不等式的解集为，故C错误； 对于D：对于函数，则，解得， 即函数的定义域为，故D正确； 故选：ABD 20．（22-23高一下·山东青岛·开学考试）已知函数的最小正周期为π，则（    ） A． B．函数为奇函数 C．函数在上单调递减 D．直线是图象的一条对称轴 【答案】ABD 【分析】根据三角函数性质逐项分析判断. 【详解】对A：由题意可得：，解得，A正确； 故， 对B：，故函数为奇函数，B正确； 对C：令，解得， 故函数的递减区间为， 令，且，则函数在上单调递减，在上单调递增，C错误； 对D：为最大值，故直线是图象的一条对称轴，D正确. 故选：ABD. 21．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．点为函数图象的一个对称中心 B．的取值范围为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于直线对称 【答案】AB 【分析】运用函数的对称性的性质、单调性的定义，结合特例法、二倍角的正弦公式、降幂公式逐一判断即可. 【详解】选项A：因为 ， 所以点为函数图象的一个对称中心，因此本选项正确； 选项B：因为， 所以，即的取值范围为，所以本选项正确； 选项C：因为， 所以的一个单调递增区间为不正确，因此本选项说法不正确； 选项D：当时，， 因为， 所以此时函数不关于直线对称，因此本选项不正确， 故选：AB 【点睛】关键点睛：运用特例法、函数对称性的性质，结合降幂公式是解题的关键. 22．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．的最大值为1 D．的最小正周期为 【答案】BCD 【分析】根据正弦函数的奇偶性、最值和周期性可得答案. 【详解】因为，所以，所以为奇函数，故A不正确； 因为，，所以，故B正确； 因为的最大值为，故C正确； 因为的最小正周期为，故D正确. 故选：BCD 23．（22-23高一上·山东滨州·期末）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于y轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B．函数图象的对称轴过函数图象的对称中心 C．在区间上，函数与都单调递减 D．，使得 【答案】ABD 【分析】根据平移得出的解析式，再根据对称关系，得出的取值，再根据三角函数性质即可判断A、B、C三个选项，D选项题意为在区间内，的值域是值域的子集，求出两个函数值域即可作出判断. 【详解】A． 的图象向左平移个单位得，因为的图象与的图象关于y轴对称，所以，A正确； B．，其对称轴为，，其对称中心为，B正确； C．当，在此区间单调递减，在此区间单调递增，C错误； D．当时，的值域为，的值域为，因此，使得，正确. 故选：ABD 24．（22-23高一上·山东滨州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．幂函数的图象都过点 B．函数与是同一函数 C．函数的最小正周期为 D．若为三角形的一个内角，且，则 【答案】ACD 【分析】根据幂函数性质判断A；根据函数的三要素判断B；求出函数的周期判断C；根据三角形内角范围结合正切函数性质判断D. 【详解】由幂函数的性质可知幂函数的图象都过点，A正确； 函数的定义域是R，的定义域为， 二者定义域不同，故不是同一函数，B错误； 函数的最小正周期为，C正确； 为三角形的一个内角，且，即，故，D正确， 故选：ACD 25．（22-23高一上·山东泰安·期末）关于函数，下列命题正确的是（    ） A．是以为最小正周期的周期函数 B．的表达式可改写为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】BC 【分析】利用余弦函数的图象和性质判断ACD，利用诱导公式判断B即可. 【详解】的最小正周期，A错误； ，B正确； 因为，所以的图象关于点对称，C正确； 因为，所以的图象不关于直线对称，D错误； 故选：BC 26．（22-23高一上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为2 B．若，，，则最小值为4 C．若对，恒成立，则实数m的最大值为2 D．若，则的最大值是 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项分析判断，注意基本不等式成立的条件. 【详解】对A：当时，则，当且仅当，即时等号成立； 当时，则，当且仅当，即时等号成立， 则； 综上所述：函数的值域为，无最小值，A错误； 对B：若，，则， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 对C：当，则，当且仅当，即时等号成立， 若对，恒成立，则，即实数m的最大值为2，C正确； 对D：∵，则， ∴，当且仅当，即时等号成立， 即，故的最大值是，D正确. 故选：BCD. 27．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．若，则（） D．在其定义域上是增函数 【答案】ABC 【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解. 【详解】A：，函数的最小正周期为，故A正确； B：由，得， 所以函数的定义域为，故B正确； C：，得，解得，故C正确； D：，解得 所以函数在上单调递增，故D错误. 故选：ABC. 28．（22-23高一上·山东烟台·期末）设函数，则（    ） A．是偶函数 B．是的一个周期 C．函数存在无数个零点 D．存在，使得 【答案】AC 【分析】求出即可判断A项；求出即可判断B项；当时，有，即可说明C项；当时，可求出.进而根据偶函数的性质即可判断D项. 【详解】对于A项，定义域为R.又， 所以是偶函数，故A项正确； 对于B项，，所以不是的一个周期，故B项错误； 对于C项，因为时，有，又，所以有无数多个解，所以函数存在无数个零点，故C项正确； 对于D项，当时，有，所以. 所以有在上恒成立. 又，是偶函数， 所以，当时，有恒成立，故D项错误. 故选：AC. 29．（22-23高一上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（    ） A． B．的最大值为2 C． D． 【答案】ACD 【分析】计算，，代入数据计算A正确，，B错误，计算得到，C正确，根据诱导公式得到D正确，得到答案. 【详解】， ， 对选项A：，正确； 对选项B： ，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确. 故选：ACD 三、填空题 30．（23-24高一上·山东青岛·期末）设函数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将已知条件因式分解可得，然后分析的值域，根据值域判断出的值并求出的值，由此可知的表示，则结果可求. 【详解】因为，所以， 又因为且，所以， 所以，， 显然， 所以，即， 当且仅当时，成立， 所以，所以，， 所以，，， 当且仅当或时（，），有最小值，且， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两个方面： （1）利用因式分解将所给条件变形； （2）根据正弦型函数的值域确定的具体表示. 31．（山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 . 【答案】0 【分析】由题意利用辅助角公式，化简，结合图象关于直线对称可求得的值，即可求得a的值，进而求得答案. 【详解】由题意得函数， 显然，， 又函数的图象关于直线对称，故, 则，故，则，故. 故答案为：0 32．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，当时，取得最大值，则 . 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式可得出，其中，，为锐角，根据题意确定与的关系，结合诱导公式可求得的值. 【详解】令，，其中为锐角， 则 ， 因为当时，取得最大值，则， 所以，， 所以，， ，故. 故答案为：. 33．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，结合题意分析可知在上单调递增，结合二次函数性质分析求解. 【详解】因为，， 令，由可知，可得， 又因为函数在上是单调递增函数， 可知在上单调递增， 则，解得：， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 34．（23-24高一上·山东淄博·期末）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意可知，结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】若“，”为真命题，则， 可知当时，取到最小值， 可得，所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 35．（22-23高一上·山东烟台·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 确定，，根据单调性得到，解得答案 【详解】当时， 在区间上不可能单调递增，排除； 当时，，则，则，解得； 综上所述： 故答案为： 四、解答题 36．（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数的最小正周期为．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填大了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 (1)请在上表补充完整数据，并直接写出实数的值． (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值域． 【答案】(1)答案见解析， (2)． 【分析】（1）根据最值求得，根据最小正周期求得，进一步完成表格数据补充即可. （2）先根据三角函数图象变换法则求得，然后利用正弦函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由题意，则，完善表格如下： （2）由题意可知，， 因为，所以， 所以， 所以，所以的值域为． 37．（23-24高一上·山东菏泽·期末）如图，任意角的终边与以为圆心2为半径的圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为，记的面积为（规定当点落在坐标轴上时，）.    (1)求的解析式； (2)求取最大值时的值； (3)求的单调递减区间. 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）利用三角形面积和二倍角公式得到； （2）利用整体法求出当时，最大，并求出相应的值； （3）画出的图象，求出单调递减区间. 【详解】（1）由三角函数的定义知，， 所以； （2）由知，当时，最大， 此时，，即，， ∴最大时，，. （3）画出的图象如下，的周期，    当时，在上为增函数，在上为减函数. ∴的单调递减区间为，. 38．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 【答案】(1)， (2)时，取最大值；时，取最小值. 【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间； （2）求得，由可求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值以及对应的值. 【详解】（1）因为， 由正弦函数的单调性可得，， 解得，，， 因此，函数的单调递减区间为，. （2）由（1）可知，， 所以， 当时，， 当时，即当时，函数取最大值， 当时，即当时，函数取最小值. 39．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数的最小正周期为，且图象经过点． (1)求的单调递减区间； (2)当时，求的最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)时，函数取得最大值2；时，函数取得最小值为. 【分析】（1）利用余弦函数的周期性、图象过定点先计算函数解析式，再利用余弦函数的单调性计算减区间即可； （2）利用余弦函数的图象与性质计算即可. 【详解】（1）函数的最小正周期为， ，即， ∵的图象经过点， ， ，则， ， 令，， 求得，， 故函数的单调递减区间为，． （2）当时，可知， 由余弦函数的单调性可知， 则当，即时，函数取得最大值2， 当，即时，函数取得最小值为． 40．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知函数． (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)写出的单调递增区间． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）求出的周期，对比正弦函数，算出“五点法”的五点，描点画图即可； （2）对比正弦函数的单调区间，列不等式求解即可. 【详解】（1）函数的周期为，列表 0 0 2 0 0 描点、连线得到图象如下， （2）由， 得． 所以的单调递增区间为． 41．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． (1)求的值及函数在上的最小值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，最小值为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值； （2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）解：函数 ， 则， 因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且， 所以，函数的最小正周期为，则， 可得． 由，得，所以，， 所以，，故函数在上的最小值为． （2）解：设，因为，所以． 因为不等式恒成立， 设， 所以在上恒成立． 则，即， 解得，故的取值范围为． 42．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值； (3)若在区间上恰有两个零点、，求. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值； （3）求出函数图象在内的对称轴方程，可得出，得，，利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，则，， 所以，，则，可得， 因为，则，所以，，解得， 因此，. （2）因为，则，所以，，即， 所以的最大值为，最小值为. （3）因为，当时，， 令，所以， 因为在区间上恰有两个零点、， 函数图象在区间内的对称轴为直线， 由正弦型函数的对称性可知，点、关于直线对称，则， 所以， 由得，， 所以， 所以. 43．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数的最大值为3，最小值为1. (1)求和的值； (2)把的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出方程组即可得解. （2）首先得表达式，进一步整体代入列出不等式组即可求解. 【详解】（1）因为，由题意可得，解得. （2）由（1）得，所以， 由，得， 所以的单调递减区间为. 44．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记． (1)记四边形的面积为的函数，周长为的函数， （i）证明：； （ii）求的最大值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2)答案见解析 【分析】（1）（i）根据已知条件求出，，结合同角三角函数的平方关系即可求解； （ii）根据（i）的结论及重要不等式即可求解； （2）根据已知条件求出四边形的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）（i）由题知：，． 所以． （ii）由（i）知：， 当时，时取等号， 所以， 故当时，的最大值为． （2）因为． 令，所以， 令， 对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以． 若，则在上单调递减， 所以， 综上，当时，四边形面积最小值为； 当时，四边形面积最小值为. 45．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数的图象过点，且其图象上相邻两个最高点之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合周期性和特值求即可； （2）根据题意可得，结合正弦函数单调性分析求解. 【详解】（1）因为函数的图象上相邻两个最高点之间的距离为， 可知，且，所以， 又因为函数的图象过点，则， 且，可知，所以． （2）由（1）可知． 令，因为的单调递减区间为， 且由，解得． 故函数的单调递减区间为． 46．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数的最小正周期为2，的一个零点是． (1)求的解析式； (2)当时，的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据题设中周期求得，再由零点条件可求，即得函数解析式； （2）由的范围求出整体角的范围，结合正弦函数的图象，依题意须使，解之即得的取值范围. 【详解】（1）由题知，所以． 又因为，所以，，即：， 又，则， 所以． （2） 因为，，令， 因为在上的最小值为，如图， 可知须使，解得， 所以的取值范围是． 47．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数，图象上相邻两个对称中心的距离为. (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的最大值. 【答案】(1)，（）. (2). 【分析】（1）利用周期求出，借助三角函数的单调性即可求出单调增区间； （2）通过三角函数图象的变换求出，代入化简，借助三角函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）由题意知，，则，得 所以. 由，， 得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得，再向右平行移动个单位长度，得. ， 因为，则， 所以， 当且仅当时，即,此时在上有最大值为. 48．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知函数（），满足函数是奇函数． (1)求函数，的值域； (2)函数在区间和上均单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由奇函数解得，再将看成整体，将所求函数转化为二次函数值域求解即可； （2）将复合函数单调性利用换元法转化为余弦函数的单调性即可求解参数范围. 【详解】（1）因为， 由是奇函数， 所以，则， 解得， 又，则. 验证：当时，， 由，得是奇函数. 因为函数 ， 由，则， 所以， 故当时，； 当或时，. 故所求函数的值域为； （2）因函数在区间和上均单调递增， 令，则在区间和单调递增， 故，且， 解得， 则实数的取值范围为. 49．（22-23高一上·山东聊城·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数的周期求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】（1）解：∵的最小正周期为，∴，∴，∵，∴， ∴， 令，，得 ，，，， 所以的单调递增区间为，． （2）解：∵，∴，∴， ∴，∴，∴的值域为． 50．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数在区间上的最小值为3. (1)求常数的值； (2)在中，若，求的最大值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，再由求得，再由正弦函数的性质可求出其最小值，从而列方程可求出的值； （2）由求出，利用三角函数恒等变换公式化简变形，得，再由的范围求出的范围，再由正弦函数的性质可求出其最大值. 【详解】（1） ， 由，得，知， 最小值， 解得. （2）由（1）知，由， 即，得， 因为，所以，则， 于是， 因为，所以， 所以当，即当时，的最大值为. 51．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)函数的周期，且时函数取得最大值，求使得不等式恒成立的实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，利用辅助角公式以及二次函数的性质即可求解， （2）由辅助角公式化简得，即可根据最值以及周期求解. 【详解】（1）由，得 ， 令，可得， 所以的值域为； （2）化简， 其中， 由题知，即，， 则， ， 且 可得， 又因为且，则为第一象限角， 因为，即，而且，，可得，， 使最小，则，即， 则不等式恒成立，时. 52．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数的最大值为， (1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简可得，所以，可得的值，令，可得的值； （2）令，进而解出，即可求解. 【详解】（1）                                                                         . 当时，函数取到最大值， 所以，即，   令，得，                               所以当函数取到最大值时的集合为. （2）由（1）得， 所以令， 得， 所以函数的单调递增区间为. 53．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值是1，最大值是2． 【分析】（1）根据图象，利用周期公式求得函数解析式，再根据整体思想求解函数的单调区间即可； （2）根据整体思想，结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】（1）由函数图象可得，解得， 又，所以， 所以， 令， 解得， 所以的单调递增区间为． （2）当时，， 所以，所以， 所以当或即或时，取得最小值，最小值是1， 当即时，取得最大值，最大值是2． 54．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数的最小正周期为，且其图象经过点． (1)求函数的单调递增区间； (2)设，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先根据条件列式求得参数，进而用整体法求单调递增区间即可； （2）由整体法结合正弦函数的单调性解不等式. 【详解】（1）由最小正周期为得，由图象经过点得，解得. 故. 故的单调递增区间为，即 （2），则， 由得， ∴，∴. ∴不等式的解集为. 55．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数，且当时，的最大值为． (1)求a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）整理可得，利用换元法结合二次函数的性质运算求解； （2）先求值域，根据题意可得值域是值域的子集，分类讨论运算求解. 【详解】（1）∵ ， 令，则在上的最大值为，且， 则，解得， 当时，则的开口向下，对称轴为， 故当时，取到最大值， 则，解得或（舍去）， 故a的值为2. （2）由（1）可得：， 令，则的开口向下，对称轴为， 故当或时，取到最小值， 故在上的值域， 又∵，则，故， 设在上的值域为， 若对任意的，总存在，使得，则， 当时，则，显然不成立，不合题意，舍去； 当时，则，可得，解得； 当时，则，可得，解得； 综上所述：实数b的取值范围为. 【点睛】方法点睛：三角函数值域(最值)的三种求法 （1）直接法：利用sinx，cosx的有界性直接求． （2）单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sinx的单调性求出函数的值域(最值)． （3）换元法：对于y＝asin2x＋bsinx＋c和y＝a(sinx＋cosx)＋bsinxcosx＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数 4大高频考点概览 考点01 任意角与弧度制 考点02 诱导公式 考点03 三角恒等变换 考点04 三角函数的图像与性质 地 城 考点01 任意角与弧度制 一、单选题 1．（24-25高一上·山东德州·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若，，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）集合，，，则集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东临沂·期末）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为（    ）    A．960 B．480 C．320 D．240 4．（24-25高一上·山东聊城·期末）若扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（   ） A． B． C．6 D．3 5．（24-25高一上·山东济南·期末）将化为弧度为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东济南·期末）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ）    A． B． C．点的坐标为 D．点的坐标为 8．（23-24高一上·山东聊城·期末）以下说法正确的是（   ） A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D．“，”是真命题，则 9．（22-23高一上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．在范围内，与角终边相同的角是 B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 C．不等式的解集为 D．函数的定义域是 三、填空题 10．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 . 11．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2，， ，.则S阴影= . 12．（22-23高一上·山东德州·期末）如图，直角中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A．其中的面积与扇形OAB的面积之比为3：2，记，则 ． 13．（23-24高一上·山东济宁·期末）若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是 ． 14．（23-24高一上·山东滨州·期末）杭州第19届亚运会会徽（图1）名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手、紧密相拥、永远向前.图2是会徽抽象出的几何图形.设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，若，，则 . 15．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，已知是等腰直角三角形，，，在平面内绕点逆时针旋转到，使C，B，在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ．    16．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知一个扇形面积为16，其圆心角为，则该扇形周长为 . 17．（22-23高一上·山东济南·期末）已知一个扇形的周长为10，弧长为6，那么该扇形的面积是 . 四、解答题 18．（22-23高一上·山东烟台·期末）勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的．如图1，以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形ABC．受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形．如图2，分别以正五边形ABCDE的顶点为圆心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形ABCDE．设正五边形ABCDE的边长为1． (1)求勒洛五边形ABCDE的周长； (2)设正五边形ABCDE外接圆周长为，试比较与大小，并说明理由．（注：） 地 城 考点02 诱导公式 一、单选题 1．（24-25高一上·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东济南·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东济南·期末）（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东菏泽·期末）（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东青岛·期末）（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·山东菏泽·期末）化简（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·山东菏泽·期末）计算等函数值时，计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算该多项式的值求出原函数近似值，如，其中. 英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，从中可以看出，右边的项用得越多，计算得出和的值也就越精确. 运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·山东济南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则为第二象限角 B． C．函数的最小正周期为 D．函数的单调递增区间为， 12．（24-25高一上·山东德州·期末）已知角满足，则（   ） A．0 B． C． D． 13．（24-25高一上·山东聊城·期末）若，则可以为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数，则（    ） A．点是图象的一个对称中心 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 三、填空题 15．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，当时，取得最大值，则 . 16．（23-24高一上·山东淄博·期末）若，则 . 17．（22-23高一上·山东德州·期末）计算： ． 四、解答题 18．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 19．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知. (1)求的值； (2)若，为锐角，且，求. 20．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 21．（24-25高一上·山东德州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第四象限内的点. (1)若，求及的值； (2)若，求的值. 22．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知 (1)若角是第三象限角，且，求的值； (2)若为锐角，且，求的值. 23．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 24．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知为第二象限角，且终边与单位圆相交于点． (1)求的值； (2)求的值． 25．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，且，求下列各式的值： (1)； (2). 26．（23-24高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)已知为锐角，，求． 27．（23-24高一上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系xoy中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边OQ重合． (1)求的值； (2)求的值． 28．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点． (1)求，的值； (2)求的值． 29．（23-24高一上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. (1)求的值； (2)求的值. 30．（22-23高一上·山东德州·期末）已知函数． (1)化简； (2)若锐角满足，求的值： (3)若，且，求的值． 31．（22-23高一上·山东聊城·期末）求解下列问题： (1)已知，，求的值． (2)求的值． 32．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知． (1)求； (2)若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，求的值． 地 城 考点03 三角恒等变换 一、单选题 1．（24-25高一上·山东济南·期末）若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东济南·期末）（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（   ） A．最大值为2 B．的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数在上单调递增 7．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ）    A． B． C．点的坐标为 D．点的坐标为 8．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知为第一象限角，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（    ） A． B．的最大值为2 C． D． 10．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．点为函数图象的一个对称中心 B．的取值范围为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于直线对称 三、填空题 11．（23-24高一上·山东聊城·期末）在中，，边上的高等于，则 ． 12．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，当时，取得最大值，则 . 13．（22-23高一上·山东滨州·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD延长线上的点，，且，则PQ的最小值为 . 四、解答题 14．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． (1)求的值及函数在上的最小值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 15．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值； (3)若在区间上恰有两个零点、，求. 16．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知 (1)若角是第三象限角，且，求的值； (2)若为锐角，且，求的值. 17．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知. (1)求的值； (2)若，为锐角，且，求. 18．（23-24高一上·山东菏泽·期末）如图，任意角的终边与以为圆心2为半径的圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为，记的面积为（规定当点落在坐标轴上时，）.    (1)求的解析式； (2)求取最大值时的值； (3)求的单调递减区间. 19．（23-24高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)已知为锐角，，求． 20．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.    (1)设，求的取值范围及； (2)求面积的最小值. 21．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，且，求下列各式的值： (1)； (2). 22．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数，图象上相邻两个对称中心的距离为. (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的最大值. 23．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 24．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数在区间上的最小值为3. (1)求常数的值； (2)在中，若，求的最大值. 25．（23-24高一上·山东枣庄·期末）如图，ABCD是边长为80米的正方形菜园，计划在矩形ECFG区域种植蔬菜．E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，米，设矩形ECFG的面积为S（单位：平方米）    (1)若，请写出S（单位：平方米）关于的函数关系式； (2)求S的最小值． 26．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)函数的周期，且时函数取得最大值，求使得不等式恒成立的实数的最小值. 27．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数的最大值为， (1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合； (2)求函数的单调递增区间. 28．（22-23高一上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆O交于A，B两点，且. (1)求的值； (2)若点A的纵坐标为，求点B的纵坐标. 29．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 地 城 考点04 三角函数的图像与性质 一、单选题 1．（24-25高一上·山东泰安·期末）函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东聊城·期末）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东青岛·期末）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东济宁·期末）若对任意，方程有解，则实数的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（23-24高一上·山东·期末）函数的零点的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数是定义域为的偶函数，对任意，，，都有.实数，，满足，，（），则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 9．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·山东聊城·期末）如图，动点P从点M出发，按照路径运动，四边形ABCD是边长为2的正方形，弧DM以A为圆心，AD为半径，设点P的运动路程为x，的面积为y，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（   ） A．最大值为2 B．的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数在上单调递增 12．（24-25高一上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则为第二象限角 B． C．函数的最小正周期为 D．函数的单调递增区间为， 13．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数，假如存在实数，使得对任意的实数恒成立，称满足性质，则下列说法正确的是（    ） A．若满足性质，且，则 B．若，则不满足性质 C．若满足性质，则 D．若满足性质，且时，，则当时， 14．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．在上单调递增 C．若、，且，则 D．把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 15．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是增函数 D． 16．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数，则（    ） A．点是图象的一个对称中心 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 17．（23-24高一上·山东滨州·期末）函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的为（    ）    A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象，则是奇函数 D．在上单调递减 18．（22-23高一上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则的最小值为3 B．当时，的最小值为4 C．已知，，，则的取值范围是 D．已知，，，则的最小值为8 19．（22-23高一上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．在范围内，与角终边相同的角是 B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 C．不等式的解集为 D．函数的定义域是 20．（22-23高一下·山东青岛·开学考试）已知函数的最小正周期为π，则（    ） A． B．函数为奇函数 C．函数在上单调递减 D．直线是图象的一条对称轴 21．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．点为函数图象的一个对称中心 B．的取值范围为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于直线对称 22．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．的最大值为1 D．的最小正周期为 23．（22-23高一上·山东滨州·期末）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于y轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B．函数图象的对称轴过函数图象的对称中心 C．在区间上，函数与都单调递减 D．，使得 24．（22-23高一上·山东滨州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．幂函数的图象都过点 B．函数与是同一函数 C．函数的最小正周期为 D．若为三角形的一个内角，且，则 25．（22-23高一上·山东泰安·期末）关于函数，下列命题正确的是（    ） A．是以为最小正周期的周期函数 B．的表达式可改写为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 26．（22-23高一上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为2 B．若，，，则最小值为4 C．若对，恒成立，则实数m的最大值为2 D．若，则的最大值是 27．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．若，则（） D．在其定义域上是增函数 28．（22-23高一上·山东烟台·期末）设函数，则（    ） A．是偶函数 B．是的一个周期 C．函数存在无数个零点 D．存在，使得 29．（22-23高一上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（    ） A． B．的最大值为2 C． D． 三、填空题 30．（23-24高一上·山东青岛·期末）设函数，若，则的最小值为 ． 31．（山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 . 32．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，当时，取得最大值，则 . 33．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 34．（23-24高一上·山东淄博·期末）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 35．（22-23高一上·山东烟台·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 36．（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数的最小正周期为．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填大了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 (1)请在上表补充完整数据，并直接写出实数的值． (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值域． 37．（23-24高一上·山东菏泽·期末）如图，任意角的终边与以为圆心2为半径的圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为，记的面积为（规定当点落在坐标轴上时，）.    (1)求的解析式； (2)求取最大值时的值； (3)求的单调递减区间. 38．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 39．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数的最小正周期为，且图象经过点． (1)求的单调递减区间； (2)当时，求的最值以及取得最值时的值． 40．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知函数． (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)写出的单调递增区间． 41．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． (1)求的值及函数在上的最小值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 42．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值和最小值； (3)若在区间上恰有两个零点、，求. 43．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数的最大值为3，最小值为1. (1)求和的值； (2)把的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间. 44．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记． (1)记四边形的面积为的函数，周长为的函数， （i）证明：； （ii）求的最大值； (2)求四边形面积的最小值． 45．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数的图象过点，且其图象上相邻两个最高点之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求函数的单调递减区间． 46．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数的最小正周期为2，的一个零点是． (1)求的解析式； (2)当时，的最小值为，求的取值范围． 47．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数，图象上相邻两个对称中心的距离为. (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的最大值. 48．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知函数（），满足函数是奇函数． (1)求函数，的值域； (2)函数在区间和上均单调递增，求实数a的取值范围． 49．（22-23高一上·山东聊城·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域． 50．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数在区间上的最小值为3. (1)求常数的值； (2)在中，若，求的最大值. 51．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)函数的周期，且时函数取得最大值，求使得不等式恒成立的实数的最小值. 52．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数的最大值为， (1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合； (2)求函数的单调递增区间. 53．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最值． 54．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数的最小正周期为，且其图象经过点． (1)求函数的单调递增区间； (2)设，求不等式的解集． 55．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数，且当时，的最大值为． (1)求a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数b的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $