4.4.3不同函数增长的差异导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《4.4.3 不同函数增长的差异》导学案 姓名 小组 第 组 【学习目标】 1.了解指数函数、对数函数、 一次函数的增长差异. 2.经过探究对函数的图像观察， 理解对数增长、直线上升、指数爆炸。培养学生 观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力； 3.在认识函数增长差异的过程中， 使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的 关系， 培养数学应用的意识， 提升直观想象素养、数学运算素养和逻辑推理素养。 【自主学习】 （一）引入新知 三种函数模型的性质 在(0，+∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随增大逐渐近似与轴平行 随增大逐渐近似与 轴平行 随增大而增大，均匀增长 （二）新知探究 下面就来研究一次函数，指数函数在区间(0，+∞)内增长的差异 问题探究 活动一：以函数y=2x 与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. x y =2x y =2x (3) 观察两个函数图象 思考：请大家想象一下，取更大的x 值，在更大的范围内两个函数图象的关系？ 归纳总结: 总结一：函数在在[0,+∞)上增长快慢的不同如下： 虽然函数在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度. 尽管在的一定范围内, 但由于的增长最终会快于的增长， 因此，总会存在一个，当时，恒有. 总结二：一般地指数函数与一次函数的增长都与上述类似. 即使值远远大于值,指数函数虽然有一段区间会小于 ，但总会存在一个 ，当时，的增长速度会大大超过的增长速度. 研 究 一 次 函 数 ， 对 数 函 数 在 区 间(0,+∞)内增长的差异. 活动二：以函数y=lg x与 y = x 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. 总结一：虽然函数y =lg x和y = x 在区间(0, +∞ ) 上都单调递增，但它们的增长速度存在明显差异，函数y = x 的增长速度不变，而y =lg x 的增长速度在减小.随着x的增大，函数y =lg x 的图像越来越平缓，像与x 轴平行一样.函数y = x 的图像离x轴越来越远. 总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数在区间(0, +∞ )上都单调递增 ，但它们的增长速度不同. 随着的增大 ，一次函数保持着固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢， 不论 的值比 的值大多少，在一定范围内，loga x 可能会大于kx ，但是由于loga x 的增长慢于kx的增长，于是，总会存在一个x0 ,当x >x0 时，恒有loga x <kx. 活动3 类比上述过程 (1)画出一次函数y=2x,对数函数y=lgx和指数函数y=2x的图象，并比较它们的增长差异； (2)试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异； (3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义. 2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi (x)(i =1, 2, 3, 4) 关于时间x(x >1)的函数关系是f1 (x) =x2 ，f2 (x) =2x，f3 (x) =log2 x，f4 (x) =2x如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( ) A.f1 (x) =x2 B.f2 (x) =2x C.f3 (x) =log2 x D.f4 (x) =2x 【课堂小结】 三种函数模型的增长规律 (1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快． (2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)． (3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn. 不同函数模型的选取标准 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律． 【课后作业】 基础巩固：教材139页练习1,2,3,4 第 - 1 - 页 共 6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $