4.4.3 不同函数增长的差异（导学案）数学人教A版2019必修第一册

4.4.3 不同函数增长的差异 导学案 (1) 通过图象和数据对比，直观感受一次函数、指数函数、对数函数的增长差异，能描述它们的增长特征（直线上升、指数爆炸、对数增长）。 (2) 掌握“当自变量足够大时，指数增长 > 线性增长 > 对数增长”的规律，并能解释其原因。 (3) 能根据实际问题的增长特点，选择合适的函数模型（如快速增长问题选指数模型，平缓增长问题选对数模型）。 (4) 经历“观察图象→分析数据→归纳规律→应用模型”的过程，提升直观想象和数学建模素养。 教学重点： 1.对比分析一次函数、指数函数、对数函数的增长差异（图象特征、增长速度变化）； 2.理解“直线上升” “指数爆炸” “对数增长”的含义，并能根据实际问题选择合适的函数模型。 教学难点： 1. 理解“增长速度”与“函数值大小”的区别（如某一时刻对数函数值可能大于指数函数值，但增长速度远慢于指数函数）； 2. 从实际问题中抽象出函数模型，准确判断其增长类型。 知识点　三种函数的性质及增长速度比较 一次函数 指数函数 对数函数 解析式 y＝kx(k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) 单调性 在(0，＋∞)上单调递 图象(随x的增大) 直线逐渐上升 逐渐与 轴平行 逐渐与 轴平行 增长速度(随x的增大) y的增长速度 y的增长速度越来越 y的增长速度越来越 增长关系 存在一个x0，当x＞x0时，ax ＞kx ＞logax 情景问题1：社区便利店的盈利增长预测 某社区新开了一家便利店，店主计划通过两种方案提升盈利，两种方案的月盈利（单位：千元）与经营时间（单位：月，）的关系如下： · 方案A（稳定拓展客源）：盈利随时间均匀增长，满足一次函数模型； · 方案B（线上线下联动）：盈利初期增长较慢，后期因客户积累呈快速增长，满足指数函数模型（已知，）。 · 分别计算经营第3个月、第6个月时，两种方案的月盈利，判断前6个月内哪种方案盈利更高； · 经过多少个月后，方案B的月盈利会超过方案A？请通过计算或分析说明； · 若便利店计划长期经营（5年以上），从增长趋势来看，你会建议店主选择哪种方案？结合“指数爆炸”与“线性增长”的差异说明理由。 情景问题2：学生单词记忆效果的模型分析 某英语老师为研究学生的单词记忆效果，记录了两名学生在背诵同一组新单词后，每天能回忆起来的单词数量（单位：个）与时间（单位：天，）的关系： · 学生甲（记忆稳定遗忘慢）：回忆量随时间增长逐渐趋于稳定，满足对数函数模型甲（已知，）； · 学生乙（短期记忆爆发力强）：回忆量随时间均匀增长，满足一次函数模型乙。 1. 分别计算第1天、第4天、第8天时，两名学生能回忆的单词数量，比较不同时间点的记忆效果； 1. 随着时间推移（如1个月后，），两名学生的记忆效果会呈现怎样的趋势？请通过分析函数增长特点说明； 1. 若老师希望制定一个长期记忆计划（帮助学生3个月后仍能记住较多单词），结合“对数增长趋于稳定”与“线性增长持续但后期可能乏力”的差异，你会建议老师优先参考哪种记忆模型？并说明如何调整计划以优化长期记忆效果。 探究点1：匀速VS加速——一次函数与指数函数 在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异． 问题1　结合之前所学，请同学们自行阅读课本136页～138页，同桌之间可以相互讨论，5分钟后检查讨论结果． 通过对函数y＝lg x与y＝x的比较我们发现，函数y＝x的增长速度保持不变，函数y＝lg x的增长速度在变化，而且增长速度越来越慢，虽然函数y＝lg x在一定范围内比函数y＝x增长快些，但存在一个x0，当x>x0时，总有x>lg x，即使对数函数y＝logax(a>1)中底数a的值远远大于一次函数y＝kx(k>0)中k的值，一次函数y＝kx(k>0)的增长速度最终都会超过对数函数y＝logax(a>1)的增长速度． 问题2　把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异． 探究 选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？不妨以函数和为例． 利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-3），并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图4.4-5）．可以看到，函数和的图象有两个交点，．在区间 上，函数的图象位于的图象之上，；在区间上，函数的图象位于的图象之下，；在区间上，函数的图象位于的图象之上，．这表明，虽然这两个函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化． 表4.4-3 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 … … … 探究点2：减速的真相——对数函数与一次函数 下面在更大的范围内，观察和的增长情况． 从表4.4-4和图4.4-6可以看到，当自变量越来越大时，的图象就像与轴垂直一样，的值快速增长；而函数的增长速度依然保持不变，与函数的增长速度相比几乎微不足道． 表4.4-4 0 1 0 2 4 4 4 16 8 6 64 12 8 256 16 10 1 024 20 12 4 096 24 … … … 综上所述，虽然函数与在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度．尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有． 一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似．即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度． 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长． 典例分析 探究 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？ 不妨以函数和为例， 利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-5），并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图4.4-7）．可以看到，虽然它们在上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异．函数的增长速度保持不变，而的增长速度在变化．随着的增大，函数的图象离轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样．例如， ，，；而，，， ．这说明，当，即时，与相比增长得就很慢了． 表4.4-5 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 … … … 思考 如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？ 一般地，虽然对数函数与一次函数 在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢．不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有． 对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律 探究 类比上述过程， （1）画出一次函数，对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异； （2）试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异； （3）讨论交流“直线上升”“ 对数增长”“ 指数爆炸”的含义． 1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： x 1 2 3 … y 1 2 5 … 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（    ） A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1 C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1 2.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（      ） A． B． C． D． 3.下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 4.下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是 A． B． C． D． 5.以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知，则对任意的， C．对任意的， D．不一定存在，当时，总有 6.已知对数函数，一次函数，则当的图象位于的图象下方时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.（多选题）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 8.三个变量随变量变化的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 30 5 130 505 1130 2005 3130 4505 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120 5 30 55 80 105 130 155 其中关于呈指数增长的变量是 9.比较和在上增长的快慢． 10.在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为 （参考数据：，） A．5 B．7 C．9 D．10 1.（2012·新课标卷·高考真题）当时，，则a的取值范围是 A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 2.（2004·全国·高考真题），若，则（    ） A． B． C． D． 3.（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 4.(多选题）（23-24高一上·河南开封·期中）对于函数与的图象，下列说法错误的是（   ） A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过 kx(k>0) 的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有 注意点： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型． (3)一次函数增长速度不变，平稳变化． (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上． 1．知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：不理解三种函数增长的差异． 4.指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断． (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． 5.建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论． (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题． (1)温故本节课的三种函数模型的增长情况； (2)课本P139的练习1−−4题； (3)课本P139的习题4.4的6、11题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.3 不同函数增长的差异 导学案 (1) 通过图象和数据对比，直观感受一次函数、指数函数、对数函数的增长差异，能描述它们的增长特征（直线上升、指数爆炸、对数增长）。 (2) 掌握“当自变量足够大时，指数增长 > 线性增长 > 对数增长”的规律，并能解释其原因。 (3) 能根据实际问题的增长特点，选择合适的函数模型（如快速增长问题选指数模型，平缓增长问题选对数模型）。 (4) 经历“观察图象→分析数据→归纳规律→应用模型”的过程，提升直观想象和数学建模素养。 教学重点： 1.对比分析一次函数、指数函数、对数函数的增长差异（图象特征、增长速度变化）； 2.理解“直线上升” “指数爆炸” “对数增长”的含义，并能根据实际问题选择合适的函数模型。 教学难点： 1. 理解“增长速度”与“函数值大小”的区别（如某一时刻对数函数值可能大于指数函数值，但增长速度远慢于指数函数）； 2. 从实际问题中抽象出函数模型，准确判断其增长类型。 知识点　三种函数的性质及增长速度比较 一次函数 指数函数 对数函数 解析式 y＝kx(k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) 单调性 在(0，＋∞)上单调递 增 图象(随x的增大) 直线逐渐上升 逐渐与 y轴平行 逐渐与 x轴平行 增长速度(随x的增大) y的增长速度 不变 y的增长速度越来越 快 y的增长速度越来越 慢 增长关系 存在一个x0，当x＞x0时，ax ＞kx ＞logax [拓展]　指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有ax>xn>logax. 【设计意图】通过回顾上节课的知识，帮助学生巩固已学内容，为学习新知识做好衔接。 【教学建议】教师可以通过提问的方式，引导学生回顾知识，同时关注学生的回答情况，及时纠正错误。 情景问题1：社区便利店的盈利增长预测 某社区新开了一家便利店，店主计划通过两种方案提升盈利，两种方案的月盈利（单位：千元）与经营时间（单位：月，）的关系如下： · 方案A（稳定拓展客源）：盈利随时间均匀增长，满足一次函数模型； · 方案B（线上线下联动）：盈利初期增长较慢，后期因客户积累呈快速增长，满足指数函数模型（已知，）。 · 分别计算经营第3个月、第6个月时，两种方案的月盈利，判断前6个月内哪种方案盈利更高； · 经过多少个月后，方案B的月盈利会超过方案A？请通过计算或分析说明； · 若便利店计划长期经营（5年以上），从增长趋势来看，你会建议店主选择哪种方案？结合“指数爆炸”与“线性增长”的差异说明理由。 设计意图 1. 贴合生活场景：以便利店盈利增长为背景，贴近学生对社区商业的认知，让学生感受到不同函数增长模型在商业决策中的实际应用，体现数学与现实经济活动的关联。 1. 统领核心知识：问题覆盖一次函数与指数函数的求值、增长速度对比、长期趋势分析，能自然串联“线性增长” “指数爆炸”的特征差异，同时为后续引入对数函数增长（如后期盈利增速放缓的调整方案）埋下伏笔，构建完整的增长模型认知体系。 1. 激发探索欲：前6个月方案A盈利更高与后期方案B反超的反差，打破学生“初期优势持续保持”的惯性思维，促使其主动探究“为何指数函数后期增长会远超一次函数”，深入理解不同函数增长的本质差异，培养用长远眼光分析问题的能力。 情景问题2：学生单词记忆效果的模型分析 某英语老师为研究学生的单词记忆效果，记录了两名学生在背诵同一组新单词后，每天能回忆起来的单词数量（单位：个）与时间（单位：天，）的关系： · 学生甲（记忆稳定遗忘慢）：回忆量随时间增长逐渐趋于稳定，满足对数函数模型甲（已知，）； · 学生乙（短期记忆爆发力强）：回忆量随时间均匀增长，满足一次函数模型乙。 1. 分别计算第1天、第4天、第8天时，两名学生能回忆的单词数量，比较不同时间点的记忆效果； 1. 随着时间推移（如1个月后，），两名学生的记忆效果会呈现怎样的趋势？请通过分析函数增长特点说明； 1. 若老师希望制定一个长期记忆计划（帮助学生3个月后仍能记住较多单词），结合“对数增长趋于稳定”与“线性增长持续但后期可能乏力”的差异，你会建议老师优先参考哪种记忆模型？并说明如何调整计划以优化长期记忆效果。 设计意图 1. 贴近学生生活：以单词记忆为背景，直击学生学习中的常见场景，让学生深刻体会到数学模型能科学解释学习现象，打破“记忆效果只能凭感觉判断”的误区，感受数学的实用性。 1. 统领课堂知识：问题涵盖对数函数与一次函数的求值、短期与长期增长趋势对比、模型选择建议，能清晰展现“对数增长平缓趋于稳定”与“线性增长匀速但后期可能不及对数模型的稳定效果”的差异，同时呼应“根据实际问题选择合适函数模型”的核心目标，帮助学生建立“具体问题具体分析”的建模思维。 1. 激发求知欲：初期学生乙记忆效果更好，后期学生甲记忆更稳定的对比，引发学生对“短期效果与长期稳定”的思考，促使其主动探究对数函数“增长放缓但趋于稳定”的特征，理解为何这类模型适合描述“学习效果提升到一定程度后难以快速突破”的现实情况，培养用数学思维解决学习问题的意识。 探究点1：匀速VS加速——一次函数与指数函数 在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异． 问题1　结合之前所学，请同学们自行阅读课本136页～138页，同桌之间可以相互讨论，5分钟后检查讨论结果． 提示　通过对y＝2x与y＝2x的比较我们发现，函数y＝2x的增长速度保持不变，函数y＝2x的增长速度在变化，而且增长速度越来越快，虽然函数y＝2x在一定范围内比函数y＝2x增长快些，但存在一个x0，当x>x0时，总有2x>2x，即使一次函数y＝kx(k>0)，k的值远远大于指数函数y＝ax(a>1)中a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度．通过对函数y＝lg x与y＝x的比较我们发现，函数y＝x的增长速度保持不变，函数y＝lg x的增长速度在变化，而且增长速度越来越慢，虽然函数y＝lg x在一定范围内比函数y＝x增长快些，但存在一个x0，当x>x0时，总有x>lg x，即使对数函数y＝logax(a>1)中底数a的值远远大于一次函数y＝kx(k>0)中k的值，一次函数y＝kx(k>0)的增长速度最终都会超过对数函数y＝logax(a>1)的增长速度． 问题2　把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异． 提示　 一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lg x增长最慢． 探究 选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？不妨以函数和为例． 利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-3），并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图4.4-5）．可以看到，函数和的图象有两个交点，．在区间 上，函数的图象位于的图象之上，；在区间上，函数的图象位于的图象之下，；在区间上，函数的图象位于的图象之上，．这表明，虽然这两个函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化． 表4.4-3 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 … … … 探究点2：减速的真相——对数函数与一次函数 下面在更大的范围内，观察和的增长情况． 从表4.4-4和图4.4-6可以看到，当自变量越来越大时，的图象就像与轴垂直一样，的值快速增长；而函数的增长速度依然保持不变，与函数的增长速度相比几乎微不足道． 表4.4-4 0 1 0 2 4 4 4 16 8 6 64 12 8 256 16 10 1 024 20 12 4 096 24 … … … 综上所述，虽然函数与在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度．尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有． 反思感悟　常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似．即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度． 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长． 典例分析 探究 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？ 不妨以函数和为例， 利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-5），并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图4.4-7）．可以看到，虽然它们在上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异．函数的增长速度保持不变，而的增长速度在变化．随着的增大，函数的图象离轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样．例如， ，，；而，，， ．这说明，当，即时，与相比增长得就很慢了． 表4.4-5 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 … … … 思考 如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？ 一般地，虽然对数函数与一次函数 在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢．不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有． 对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律 探究 类比上述过程， （1）画出一次函数，对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异； （2）试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异； （3）讨论交流“直线上升”“ 对数增长”“ 指数爆炸”的含义． 1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： x 1 2 3 … y 1 2 5 … 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（    ） A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1 C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1 【答案】D 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】由题意，将表格中的数据代入选项检验，即可求解． 【详解】解：由表格中数据知, 选项当时, , 选项当时,, 选项当时,, 选项：都满足； 故选：D. 2.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、指数、对数、幂函数模型的增长差异、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】，又，所以随x的增大而减小，故D不正确； 又与它们都是增函数， 因为为指数函数，为对数函数， 则随x的增大而增大且速度最快的是 故选：A 3.下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】根据题意，结合指数函数，对数函数以及幂函数的图象，即可求解. 【详解】根据题意，由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快. 故选：D． 4.下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【解析】根据几何常见函数模型的增长速度最快的是指数函数，选出指数函数即可. 【详解】四个函数中，增长速度由慢到快依次是 ，，，. 故选：C. 【点睛】本题考查了几种常见函数的增长模型，需熟记几种常见函数的增长情况，属于基础题. 5.以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知，则对任意的， C．对任意的， D．不一定存在，当时，总有 【答案】D 【知识点】对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、指数、对数、幂函数模型的增长差异、指数函数图像应用 【分析】根据题意，结合结合指数函数，对数函数以及幂函数的图象，一一判断即可. 【详解】对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错； 对于选项B，取，此时，故B错误； 对于选项C，当时，结合图象易知知不恒成立，故C错； 对于选项D，当时，结合图象易知，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“”，则结论不成立，故D正确. 故选：D. 6.已知对数函数，一次函数，则当的图象位于的图象下方时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数图象的应用 【分析】根据对数函数和一次函数的图象与性质，画出草图，求出交点，即可解出. 【详解】作出与的图象如图所示， 则对数函数与一次函数交于点， 所以的图象位于的图象下方时的取值范围为． 故选：A. 7.（多选题）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】做出三个函数的图象，结合图象，即可求解 【详解】画出函数的图象，如图所示， 结合图象，可得三个函数中， 当时，函数增长速度最快，增长速度最慢. 所以选项B正确；选项ACD不正确. 故选：ACD.    8.三个变量随变量变化的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 30 5 130 505 1130 2005 3130 4505 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120 5 30 55 80 105 130 155 其中关于呈指数增长的变量是 【答案】 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】根据指数函数的性质得到答案. 【详解】指数型函数呈“爆炸式”增长. 从表格中可以看出，三个变量，，，的值随着的增加都是越来越大， 但是增长速度不同，相比之下，变量的增长速度最快，可知变量关于x呈指数型函数变化. 故答案为： 9.比较和在上增长的快慢． 【答案】答案见解析. 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】作出两个函数值的商，取大于1的正数并取定x的范围，再利用指数运算及不等式性质比较大小即可. 【详解】当时，有，因而有， 于是对任意正数，当时， 有， 这表明无论多大，当大到一定程度，就会比的倍还大， 所以当大到一定程度，在上比在上增长快． 10.在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为 （参考数据：，） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与相关的量，借助于题中所给的范围以及两个对数值，求得结果. 【详解】由题意可知，，且， 所以， 因为，所以， ， 分析比较可知，所以可以为7， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关健康人体血液中的的求值问题，该题属于现学现用型，在解题的过程中，需要认真审题，明确题意，借助于题中所给的两个对数值，寻求解题思路，属于较难题目. 1.（2012·新课标卷·高考真题）当时，，则a的取值范围是 A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 【答案】B 【知识点】对数函数图象的应用、指数函数图像应用 【分析】分和两种情况讨论，即可得出结果. 【详解】当时，显然不成立. 若时 当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B. 【点睛】本题主要考查对数函数与指数函数的应用，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型. 2.（2004·全国·高考真题），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算性质的应用 【分析】由奇偶性定义确定函数的奇偶性，然后由奇偶性求值． 【详解】函数定义域是，又 函数为奇函数，所以． 故选：B． 3.（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用 【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系. 详解：由题意可知：，即，，即， ，即，综上可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4.(多选题）（23-24高一上·河南开封·期中）对于函数与的图象，下列说法错误的是（   ） A．与有三个交点 B．与有两个交点 C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方 【答案】BC 【知识点】画出具体函数图象、指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得两函数交点个数，即可判断选项A，B；由指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，即可判断选项C，D. 【详解】由，，，， 可在同一坐标系内作出两函数图象如下图所示： 显然两函数有三个交点，故A正确，B错误； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当时，恒在的上方，故C错误，D正确. 故选：BC. 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 注意点： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型． (3)一次函数增长速度不变，平稳变化． (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上． 1．知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：不理解三种函数增长的差异． 4.指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断． (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． 5.建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论． (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题． (1)温故本节课的三种函数模型的增长情况； (2)课本P139的练习1−−4题； (3)课本P139的习题4.4的6、11题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $