专题02 直线和圆的方程（期末真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角、斜率及直线的方程 考点02 两条直线的位置关系及点线距离 考点03 圆的方程及直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 直线的倾斜角、斜率及直线的方程 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知直线的一个方向向量为，则下列直线与垂直的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知过点的直线分别与轴的正半轴交于点为坐标原点，则的面积的最小值是（    ） A．4 B． C．8 D．5 二、多选题 12．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知直线的方程为，则下列选项正确的有（    ） A．的斜率为 B．的一个方向向量为 C．在轴上的截距为5 D．在轴上的截距为5 13．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为 C．直线的倾斜角为60° D．过点且垂直于直线的直线方程为 二、非选择题 14．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为 . 15．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)在中，已知， (1)求边的高线的方程； (2)求边的中线的方程； (3)求的平分线的方程. 地 城 考点02 两条直线的位置关系及点线距离 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)若直线与互相平行，则（   ） A． B．3 C．或3 D． 2．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)直线与直线的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、非选择题 5．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知直线与直线平行，则 . 6．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)直线，若直线与垂直，则直线的斜率为 . 7．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)若直线三线共点，则的值为 . 8．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则的面积为 ． 10．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)如图，矩形中，，，，，点在线段上，点在轴的非负半轴上，且，则与的交点的轨迹所在的曲线方程为 ．（注：可不用标注范围） 11．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程． 12．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)平行四边形ABCD的两条邻边AD，AB所在的直线分别为，，两条对角线交点为， (1)求边BC所在直线方程; (2)求平行四边形ABCD的面积. 地 城 考点03 圆的方程及直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)过点的直线与圆相切，则切线长为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)过三点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)若直线过圆的圆心，则的最小值是（    ） A．16 B．10 C． D． 6．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)在平面直角坐标系中，直线与分别切于点，与轴分别交于点.若的周长为，则满足题意的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知实数，满足方程，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D． 二、多选题 11．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)直线与圆相切，则实数等于（   ） A． B． C． D． 12．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)在平面直角坐标系中，过圆外的动点作圆的两条切线，切点为，则下列结论正确的有（   ） A．若点，则四边形的面积是 B．若点，则四边形的外接圆方程是 C．若点在直线上，则所在圆的直径的最小值是 D．当取得最小值时，点到圆心的距离为 13．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 三、非选择题 14．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)直线与圆交于两点，则 . 15．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)直线被圆截得的弦长为 . 16．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知直线：，圆：，若圆上至少存在两点到直线的距离等于，则实数的取值范围是 . 17．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知曲线的方程为． (1)若曲线表示圆，求的取值范围； (2)当时，直线与曲线交于两点，求. 18．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知，点在的外接圆上试求的值． 19．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)在直角坐标系中，已知一条直线恒过定点A． (1)若直线不经过第二象限，求m取值范围． (2)已知以A为圆心的圆A与直线相切，求圆A的标准方程． 20．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知圆经过点，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)过点作的切线，求的方程. 21．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 22．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知以点为圆心的圆A与直线：相切，直线：． (1)求圆A的标准方程，并求直线所过的定点坐标； (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程．   23．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围；②若，求. 24．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知圆的圆心在轴上，且经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 25．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知圆过点，，． (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点且与圆交于，两点，且，求直线的方程． 26．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 27．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知圆C：关于直线的对称圆的圆心为D，直线l过点． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程．   28．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知圆C过点，，且圆心在上， (1)求圆C的方程； (2)已知平面内两点，，P为圆C上的动点，求的最小值. 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)圆和圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 3．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知圆与，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知圆和圆交于、两点，下列说法正确的是（   ） A．圆和圆的圆心距为 B．两圆有两条公切线 C．直线的方程为 D．线段的长为 8．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)当半径为的动圆沿着半径为的定圆的内侧沿圆周无滑动地滚动时，动圆圆周上的一定点的轨迹为星形线.如图所示现有一个星形线，下列说法正确的是（    ） A．点在曲线的外部 B．曲线所围成的封闭区域的面积小于128 C．曲线上的点到原点的距离最小值为4 D．直线与曲线有三个交点 9．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)圆和圆的交点为、，则有（    ） A．公共弦所在的直线方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 10．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知点，分别以点为圆心，以1，2为半径作圆．若直线与圆和圆相切，切点分别为，则（    ） A．若重合，则直线的方程是 B．若不重合，则 C．若直线的斜率存在，则其斜率为 D．若不重合，则四边形的面积为 三、非选择题 11．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知的圆心分别为，半径分别为，的圆心为点，半径为． (1)写出的标准方程，并判断其位置关系； (2)若与外切且与内切，求圆心的轨迹方程． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角、斜率及直线的方程 考点02 两条直线的位置关系 考点03 圆的方程及直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 直线的倾斜角、斜率及直线的方程 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，解得.所以该直线的倾斜角为.故选：D 2．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的一般式方程表示直线斜率，利用倾斜角和斜率之间的关系可得结果. 【详解】由题意得，直线方程可化为，直线斜率为， ∵直线的倾斜角为，∴，即.故选：D. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知直线的一个方向向量为，则下列直线与垂直的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量得到斜率，然后求直线方程即可. 【详解】由题意知直线的斜率为，则直线与垂直.故选：B． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂直直线的斜率关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】由题意，直线与直线垂直，故直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即.故选：A. 5．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角. 【详解】因为直线，其中为常数，故直线的倾斜角为.故选：A. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程可得斜率，即可求得其方向向量. 【详解】易知直线的斜率为，因此其方向向量可以为.故选：C 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点坐标可求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则.因为，，所以，故.故选：D. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角求出直线斜率得解. 【详解】因为y轴的倾斜角为，所以直线l的倾斜角为，直线斜率， 所以直线l的方程为，故选：D 9．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的倾斜角，再由点斜式即可得出答案. 【详解】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，所以直线的倾斜角为，所以，直线的方程为：.故选：D. 10．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线，因为，所以，设直线的倾斜角为， 则直线的斜率，因为，所以，或.故选：B. 11．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知过点的直线分别与轴的正半轴交于点为坐标原点，则的面积的最小值是（    ） A．4 B． C．8 D．5 【答案】A 【分析】由题意设，求出坐标，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】直线与轴的正半轴分别交于两点，可知直线的斜率为负数， 设直线，令，得，令，得，可知， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为4.故选：A. 二、多选题 12．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知直线的方程为，则下列选项正确的有（    ） A．的斜率为 B．的一个方向向量为 C．在轴上的截距为5 D．在轴上的截距为5 【答案】ABC 【分析】化直线的方程为斜截式方程，结合直线的斜率与直线方向向量的关系，即可判断A、B、C，令，解出即可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，即，所以直线的斜率为，A正确； 对于B，根据直线的斜率，可以确定为直线的一个方向向量，B正确； 对于C，根据直线的斜截式方程，可知在轴上的截距为5，C正确； 对于D，令，解得，所以在轴上的截距为，D错误.故选：ABC 13．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为 C．直线的倾斜角为60° D．过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】ABD 【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D. 【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确； 可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误； 设过点且垂直于直线的直线的斜率为，因为直线的斜率为，所以，解得，则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；故选：ABD 【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题. 二、非选择题 14．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为 . 【答案】 【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，的重心为，可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，即，直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为，则方程为，即，联立方程，解得，即的垂心为，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故的欧拉线方程为.故答案为：. 15．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)在中，已知， (1)求边的高线的方程； (2)求边的中线的方程； (3)求的平分线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因直线即轴，得到边上的高线斜率不存在，又经过点,即得； （2）先求边的中点，再由两点式即可求得； （3）的平分线的斜率为，由两直线的夹角公式列出方程，求得的值，检验后由点斜式即得. 【详解】（1）依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点， 故边的高线的方程为； （2）边的中点为,因边的中线经过点 故中线方程为：，即； （3）如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为,则由，解得或. 当时，由图知，显然不符合题意； 当时，因，则的平分线的方程为，即. 地 城 考点02 两条直线的位置关系 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)若直线与互相平行，则（   ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】A 【分析】利用两直线平行列式求出值. 【详解】由直线与平行，得，所以.故选：A 2．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)直线与直线的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行线间的距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即与直线平行， 故它们之间的距离为，故选：A 3．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为.圆心到直线l距离为， 因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是.故选：D 4．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用两条直线平行的条件得到得到或再判断即可得到结果 【详解】由直线，，当两条直线平行时，解得或，当时，，当时，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B 二、非选择题 5．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知直线与直线平行，则 . 【答案】 【分析】利用两直线平行的判定方法列式计算即得. 【详解】由题意，可得且，解得.故答案为：. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)直线，若直线与垂直，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用直线的垂直关系，之间求出直线的斜率即可． 【详解】直线：的斜率为， 直线与直线：垂直，直线的斜率为故答案为：. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)若直线三线共点，则的值为 . 【答案】 【解析】求出两条直线的交点坐标代入第三条直线，求解即可. 【详解】解：直线的交点坐标为，将点代入直线，可得.故答案为：. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得，所以直线的方程为. 故答案为： 9．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案. 【详解】由于和都符合，所以曲线的图象关于原点对称，当时，函数单调递增，由此画出曲线的大致图象如下图所示， 两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称， 根据对称性，不妨设位置如图，可知，， 所以，所以，而和等底等高，面积相同，所以， 所以.故答案为： 10．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)如图，矩形中，，，，，点在线段上，点在轴的非负半轴上，且，则与的交点的轨迹所在的曲线方程为 ．（注：可不用标注范围） 【答案】 【分析】根据给定条件，用表示点的坐标，再求出直线方程，并联立消去参数即得曲线方程. 【详解】依题意，由，得，则，当时，直线，直线，联立两条直线的方程消去得， 当时，直线与交于点，即点在曲线上，而满足方程，由点在线段上，点在轴的非负半轴上，得，所以所求曲线方程为为. 故答案为：。 11．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）求出两直线的交点，再根据两直线垂直求出直线的斜率，最后写出点斜式方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在和存在两种，利用圆心到直线的距离列式计算. 【详解】（1）联立两直线和，解得，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为：. 综上：直线的方程为或. 12．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)平行四边形ABCD的两条邻边AD，AB所在的直线分别为，，两条对角线交点为， (1)求边BC所在直线方程; (2)求平行四边形ABCD的面积. 【答案】(1)；(2)36 【分析】（1）由方程组可解得的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求边BC所在直线的方程. （2）由得，从而可得，再根据点线距离公式求得到的距离，最后根据面积公式即可求解. 【详解】（1）由，得，，为对角线的交点，即AC的中点， 由中点坐标公式得，，， 由点斜式直线方程可得，即； （2）由，得，， 由点到直线的距离公式可得， 地 城 考点03 圆的方程及直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程，只有C选项满足该方程.故选：C 2．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定点，再根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】由直线，得，令，解得，即， 所以所求圆的方程为.故选：C. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)过点的直线与圆相切，则切线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点P到圆心的距离，利用勾股定理即可求得切线长. 【详解】因为点到圆C的圆心的距离为，所以切线长为.故选：C 4．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)过三点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】得到三角形是直角三角形，故只需求出三角形外接圆圆心、半径即可. 【详解】因为，所以三角形是直角三角形，其外接圆圆心为的中点，半径为，故所求为.故答案为：D. 5．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)若直线过圆的圆心，则的最小值是（    ） A．16 B．10 C． D． 【答案】A 【解析】由圆的方程知圆心为，直线过圆心有，利用基本不等式“1”的代换求最小值即可； 【详解】可化为：，即圆心，∴由题意，知：，有，故，当且仅当时等号成立； 故选：A 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，根据直线过圆心得到参数的等量关系，结合目标式利用基本不等式“1”的代换求最值； 6．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)在平面直角坐标系中，直线与分别切于点，与轴分别交于点.若的周长为，则满足题意的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过切线长定理转化边长可得的周长为，利用两点间距离公式可得点坐标. 【详解】如图，连接，则. 由题意得，圆心，圆与轴相切于点. ∵与分别切于点，∴， ∴的周长为： ，∴，即， 代入选项可得点的坐标为.故选：A. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心，点在圆上，过点P的切线与CP垂直，且 ，过点的切线斜率为，故所求直线方程为：，整理，得：故选：A。 8．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，结合光的反射定律求出过作圆的切线斜率即可. 【详解】依题意，点关于直线的对称点，由光的反射定律知，反射光线必过点， 而圆：的圆心，半径1，显然过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，即，由，得，所以.故选：A 9．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将曲线方程化为，利用直线与曲线位置关系，结合图形即可求解. 【详解】依题意，曲线的方程可化为：它表示以原点为圆心，2为半径的右半圆，如图： 直线过定点，直线与相切时，可得，解得， 直线过点时，，根据图形，结合对称性可得，直线与曲线有两个交点时，实数的取值范围是.故选：D. 10．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知实数，满足方程，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由得，所以在以为圆心，半径为的圆上，表示圆上的点和点连线的斜率，设过的圆的切线方程为，到直线的距离，解得或，所以的最大值为.故选：D 二、多选题 11．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)直线与圆相切，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意，圆心到直线的距离等于半径建立方程，解之即得. 【详解】由，可得，知其圆心为，半径为， 依题意，圆心到直线的距离为，解得或.故选：AC. 12．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)在平面直角坐标系中，过圆外的动点作圆的两条切线，切点为，则下列结论正确的有（   ） A．若点，则四边形的面积是 B．若点，则四边形的外接圆方程是 C．若点在直线上，则所在圆的直径的最小值是 D．当取得最小值时，点到圆心的距离为 【答案】AC 【分析】对于A，即可求解；对于B，由四边形的外接圆的直径是，即可求解；对于C，当与直线垂直时，直径最小，即可求解；对于D,由到圆心的距离为，确定 为正方形，可判断； 【详解】若，则，又，，，所以，所以，A正确；四边形的外接圆直径是，若，则，圆心为，故外接圆方程是，B不正确；因为原点O到直线的距离为，所以当为垂足时，以为直径的圆的直径最小，为，C正确；若点到圆心O的距离为，易得：，此时四边形是正方形，此时，易知，当时，，，故D不正确，故选：AC．    13．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ACD 【分析】由圆心到直线的距离可判断A；最短的弦长为垂直与该直径的弦长可判断B；当的值最小时，则，可判断C；当时，切线长最小，可判断D． 【详解】A：圆，，圆心，半径，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，故A正确； B：设过点的直线方程为，所以该直线被圆截得最短的弦长为垂直与该直径的弦长， 和圆心的距离为，最短弦长为，故B错误； C：当的值最小时，则，的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故C正确； D：从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故D正确. 故选：ACD． 三、非选择题 14．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)直线与圆交于两点，则 . 【答案】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，再由直线方程即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径；显然圆心在直线上，因此即为直径，所以.故答案为：4 15．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)直线被圆截得的弦长为 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式列式计算. 【详解】圆的圆心，半径，点到直线的距离，所以所求弦长为.故答案为：2 16．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知直线：，圆：，若圆上至少存在两点到直线的距离等于，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求圆心到直线的距离，且圆的半径，根据圆上至少存在两点到直线的距离为有，即可求参数范围. 【详解】圆心到直线的距离，且圆的半径，圆上至少存在两点到直线的距离为，则，即，所以，解得，故的取值范围是.故答案为： 17．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知曲线的方程为． (1)若曲线表示圆，求的取值范围； (2)当时，直线与曲线交于两点，求. 【答案】(1)；(2)2 【分析】（1）将方程化为标准方程，列式求解即可； （2）根据题意可得圆心和半径，结合垂径定理求弦长. 【详解】（1）由曲线的方程整理可得， 则，解得或，所以的取值范围为. （2）若，则曲线：，可知圆心，半径为， 则圆心到线的距离，所以. 18．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知，点在的外接圆上试求的值． 【答案】或． 【分析】设圆的一般方程，由三角形三个顶点在圆上，将三角形三个顶点的坐标代入圆的一般方程得到方程组，求解方程组得到参数的值，从而得到圆的一般方程，再将点坐标代入圆方程，求得的值. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意得，解得， 即的外接圆方程为．又因为点在所求的圆上， 故点的坐标满足圆的方程，可得，即，解得或． 19．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)在直角坐标系中，已知一条直线恒过定点A． (1)若直线不经过第二象限，求m取值范围． (2)已知以A为圆心的圆A与直线相切，求圆A的标准方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】分和讨论，再利用斜截式特点即可得到不等式组，解出即可； （2）求出定点坐标，再利用圆心到直线距离即为半径即可求解. 【详解】（1），即， 因为直线不经过第二象限，若，则，不符合题意，舍去； 若，则，解得. （2），即，令，则， 则圆心，若圆A与直线相切，则半径， 则圆方程为. 20．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知圆经过点，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)过点作的切线，求的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，求出直线的方程，与联立求出圆心坐标和半径可得答案； （2）当切线的斜率不存在时，得与圆相切；当的斜率存在时，设的方程为，利用点到圆心的距离等于半径可得答案. 【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则点坐标为. 因为，所以，则直线的方程为，即.由得， 所以圆心的坐标为；圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为，等于半径，与圆相切. 当的斜率存在时，设的方程为，即. 则，解得，所以的方程为. 综上，的方程为或. 21．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 【答案】(1) (2)垂直，， 【分析】（1）根据圆的几何性质，求圆心和半径，即可求解； （2）由弦长公式结合圆的几何性质可知，当点是弦的中点时，此时弦长最短，根据直线的方程，结合弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由已知可得，，，满足， 所以为以O为直角的直角三角形，取AB中点为M， 则，所以圆心，半径，圆M标准方程为； （2）由，可知，点在圆内， 当直线l垂直于MP时截得弦长最短.直线，直线l的斜率为， 则直线l方程为，此时圆心M到直线l的距离为，最短弦长为. 22．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知以点为圆心的圆A与直线：相切，直线：． (1)求圆A的标准方程，并求直线所过的定点坐标； (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 【答案】(1)，定点；(2)，. 【分析】（1）利用切线的性质求出半径即得圆的方程，再求出直线所过定点坐标. （2）判断定点与圆的位置，利用圆的性质及弦长公式求解. 【详解】（1）依题意，点到直线：的距离即为圆A的半径， 所以圆A的标准方程为； 直线，由，解得，所以直线过定点. （2）由（1）知，点在圆内， 当直线时，直线被圆A截得的弦长最短，最短弦长为， 因直线的斜率，则直线的斜率为2，方程为，即.    23．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围；②若，求. 【答案】(1)；(2)①，② 【分析】（1）设，则，代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消去，得到的方程，运用判别式大于0，即可求解的范围，代入，求解方程两根，即可根据弦长公式求解. 【详解】（1）设，则， 将代入，可得，即，即点的轨迹的方程为； （2）①由，联立整理得：， 由，即，化简得，故， ②当时，，解得，故. 24．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知圆的圆心在轴上，且经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，利用圆上的两点建立方程，求出的值，即得所求圆的方程； （2）结合图形，求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求出弦长，即可求得的面积. 【详解】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，则有，解得， 则圆的半径为：，故圆的标准方程为； （2） 如图，作，垂足为，由圆心到直线的距离为， 则，故的面积为. 25．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知圆过点，，． (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点且与圆交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设圆的一般方程为，将点，，代入圆的方程求出圆的一般方程，求出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，分析的斜率不存在的情况，设直线的方程，列方程即可求解直线的方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将点，，代入圆的方程，可得 解得故圆的一般方程为，即圆的标准方程为； （2）由，可知圆心到直线的距离， 当的斜率不存在时，不符合题意, 设直线的方程为，即，所以， 得，所以或，所以直线的方程为或， 即直线的方程为或． 26．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)5 【分析】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可； （2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值. 【详解】（1）直线即， 令，解得，所以直线过定点， 而，所以点在圆内部，故无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）设圆心到的距离分别为，则． 则，，所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以四边形的面积最大为. 27．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知圆C：关于直线的对称圆的圆心为D，直线l过点． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程． 【答案】(1)或；(2)或 【分析】（1）分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； （2）由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知圆C：，即， 则圆心坐标，半径， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设l直线的方程为，即， 则，解得，所以l的方程为：，即. 综上所述，直线l的方程为或. （2）由（1）知，圆的圆心坐标，半径，设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为，所以，解得，圆的圆心为，半径为1， 则圆D的方程为， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心到直线的距离，因为直线l与圆D交于A，B两点，， 根据勾股定理可得，即，解得或， 所以直线l的方程为或.    28．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知圆C过点，，且圆心在上， (1)求圆C的方程； (2)已知平面内两点，，P为圆C上的动点，求的最小值. 【答案】(1)；(2)130 【分析】（1）由圆心在弦的中垂线上，联立方程组即可求得； （2）设，用距离公式表示，转化为圆外一点与圆上一点的距离的最值问题即可求解. 【详解】（1），，由中点坐标公式得MN的中点坐标为， ，的中垂线方程为：，即， ，，，圆的方程为 （2）设，， 即点P到原点O的距离的平方，， ， 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减即可求解； 【详解】由圆与圆方程相减可得：， 所以公共弦所在的直线方程为，故选：A 2．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)圆和圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】A 【分析】根据圆心距和半径的关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆，可化为，所以圆心，半径为2， 圆，可化为，所以圆心，半径为7， 则，故圆和圆内切．故选：A. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知圆与，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆与圆的位置关系，以及公切线的数数量.由两圆的标准方程及两圆心的距离可得两圆相切，因此两圆的公切线的条数为3条. 【详解】由题可得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 且，所以两圆外切，所以两圆的公切线为3条.故选：C. 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数． 【详解】因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则两圆的圆心的距离为，又， 则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切，所以有3条公切线．故选：C. 5．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公切线的数量判断两圆位置关系，结合圆心距和半径列出不等式，求解即可. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，假设圆与圆没有公切线，此时两圆内含，所以圆心距，即，解得，所以当圆与圆有公切线时，实数的范围是，故选：B. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点，再根据计算得出，最后结合圆与圆的位置关系计算求参即可. 【详解】设，则.因为，所以， 化简得，故点在以为圆心，为半径的圆上.又因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上.结合题意可知两圆相交或外切或内切，所以， 解得，故正数的最大值为.故选：D. 二、多选题 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知圆和圆交于、两点，下列说法正确的是（   ） A．圆和圆的圆心距为 B．两圆有两条公切线 C．直线的方程为 D．线段的长为 【答案】BC 【分析】求出两圆圆心距，可判断A选项；利用两圆的位置关系可判断B选项；将两圆方程作差可得出直线的方程，可判断C选项；利用几何法求出直线截圆的弦长，可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，对于A选项，，A错；对于B选项，因为两圆相交，故两圆有两条公切线，B对；对于C选项，将两圆方程作差得，即，所以，直线的方程为，C对；对于D选项，圆心到直线的距离为，所以，，D错.故选：BC. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)当半径为的动圆沿着半径为的定圆的内侧沿圆周无滑动地滚动时，动圆圆周上的一定点的轨迹为星形线.如图所示现有一个星形线，下列说法正确的是（    ） A．点在曲线的外部 B．曲线所围成的封闭区域的面积小于128 C．曲线上的点到原点的距离最小值为4 D．直线与曲线有三个交点 【答案】BC 【分析】A选项，代入得到，故点在曲线的内部，A错误；B选项，求出，数形结合得到曲线所围成的封闭区域面积小于128；C选项，由题意得到为半径为2的小圆在圆心为原点，半径为8的大圆中滚动，小圆上的一点所形成的轨迹方程，数形结合得到最小值为，D选项，先求出和，进而得到点和在两侧，数形结合得到交点个数. 【详解】A选项，，故点在曲线的内部，A错误； B选项，如图所示，其中，连接，则，故曲线所围成的封闭区域，位于第一象限的部分面积小于32，由对称性可知，曲线所围成的封闭区域面积小于128，B正确； C选项，根据题意可知为半径为2的小圆在圆心为原点，半径为8的大圆中滚动，小圆上的一点所形成的轨迹方程，其中两圆的切点为，数形结合可知，当三点共线，在之间时，曲线上的点到原点的距离最小，此时为小圆直径，故最小值为， 曲线上的点到原点的距离最小值为4，C正确；D选项，由C选项和对称性可知，与直线垂直，故中点坐标为，故直线，所以，解得，负值舍去，故，将代入中得，，故点在左侧，将代入中得，，故点在右侧，数形结合，直线与曲线有四个交点，D错误.故选：BC 9．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)圆和圆的交点为、，则有（    ） A．公共弦所在的直线方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】将两圆作差，可得出公共弦所在直线的方程，可判断A选项；分析可知，垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；利用几何法求出公共弦的长，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】圆的圆心为原点，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，对于A选项，将两圆方程作差可得，所以，公共弦所在的直线方程为，A对；对于B选项，因为，，，所以，，则，又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段，，所以，直线的方程为，即，故线段的中垂线方程为，B对；对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，，C错；对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对. 故选：ABD. 10．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知点，分别以点为圆心，以1，2为半径作圆．若直线与圆和圆相切，切点分别为，则（    ） A．若重合，则直线的方程是 B．若不重合，则 C．若直线的斜率存在，则其斜率为 D．若不重合，则四边形的面积为 【答案】ABD 【分析】先判断两圆的位置关系，可知若重合，则即为，此时直线的方程是，可判断A；若不重合，结合图像由此可判断BCD； 【详解】点，分别以点为圆心，以1，2为半径作圆， 所以，，对于A，因为，所以圆圆外切，且切点为，若重合，则即为，此时直线的方程是，故A正确； 对于B，如下图，因为，，设直线与交于点，所以为的中点， 所以为的中点，，，所以在中，，故B正确；对于C，在中，，故直线的斜率存在，则其斜率为，故C错误；对于D，若不重合，则四边形的面积为：，故D正确.故选：ABD. 三、非选择题 11．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知的圆心分别为，半径分别为，的圆心为点，半径为． (1)写出的标准方程，并判断其位置关系； (2)若与外切且与内切，求圆心的轨迹方程． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）根据两圆的圆心和半径可求两圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系可判断两圆的位置关系； （2）根据圆与圆相切的性质可得，结合椭圆的定义即可得答案. 【详解】（1）的圆心分别为，半径分别为， 所以的标准方程为；的标准方程为， 可得，可知，所以内切. （2）因为动圆P的半径为，因为动圆P与与外切且与内切， 则，且，由椭圆的定义可知，动点P在以为焦点，8为长轴长的椭圆上，设椭圆的方程为，半焦距为c，则，，则， 又因为内切，则点P不能在切点处，即椭圆应去掉点，所以动圆的圆心P的轨迹方程为． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $