11.1.6祖暅原理教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学教学设计聚焦祖暅原理与几何体体积，通过视频情景引入引发认知冲突，衔接初中柱体体积基础，利用祖暅原理推导柱体、锥体体积公式，构建知识脉络支架。 突出“再创造”思想，借助GGB演示三棱柱分割、学生动手实验（米容器倒米）猜想体积关系，培养数学眼光与思维，融入《九章算术》等文化增强自信，提升直观想象、逻辑推理素养，结构清晰助教师突破难点。

祖暅原理与几何体的体积（第一课时） 教学设计 著名的数学教育家弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中提出了“再创造”数学教学思想，认为“数学教学是一种活动”学一个活动的最好方法是做，本节课重现了知识的“再创造”的过程。 1、 内容及内容解析 1.内容 祖暅原理与几何体的体积 2.内容解析 本节内容是继构成空间几何体的基本元素及其之间关系、空间几何体的分类、表面积之后的又一重点内容，是初中长方体、圆柱，圆锥体积的推广，是空间几何体的最后一节内容。 祖暅原理给出了判断两个几何体体积相等的方法，可以用之求柱体、锥体、台体、球体的体积， 祖暅原理充分体现了空间问题与平面问题相互转化的思想，也体现了把不规则图形转化为规则图形即一般到特殊的思想，本节课的学习过程蕴含了割补法、等体积法等多种方法，能帮助学生树立敢于质疑，善于思考的科学精神，更能帮助学生树立文化自信，有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养。 二、目标和目标解析 1.目标 （1）学生通过演示实验，探索出祖暅原理，并能利用祖暅原理推导柱体、锥体的体积公式； （2）学生会用柱体、锥体体积公式解决简单的几何体体积问题； （3）能提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学学科核心素养。 2.目标解析 达成上述目标的标志是： (1)经历祖暅原理的探索过程，感悟空间问题与平面问题相互转化的思想，一般到特殊的思想，经历柱体体积的论证过程、锥体体积的发现过程及论证过程，体会实验操作、观察猜想、推理证明的一种原理的发现过程， 感悟割补法、等体积法。 (2)选择合适的面作为三棱锥底面，解决三棱锥体积问题，体会等体积法在求几何体体积中的作用。 3、 教学问题诊断分析 虽然学生在初中已经学习了几种特殊柱体体积，但是只是停留在了记忆层面即知其然，没能达到知其所以然，更不用说何以知其所以然。学生对相似比的认识只停留在对应边长比值上即特殊对应比值，没能达到一切对应边比值即一般对应值，学生对三棱锥的高认识基本没有，只知概念，不懂本质。由此可以确定本节课的难点是三棱锥的体积公式的发现与证明过程。 锥体体积公式的发现过程对学生直观想象数学学科核心素养的培养直观重要，为克服上述困难，教学中不再简单的给出锥体体积公式而是经历观察三棱柱分割成三棱锥的过程，亲自动手实验猜想三个锥体体积关系，而应注意引导学生积极参与三棱锥的发现过程，通过小组讨论，自主思考，利用信息技术工具等具体的教学手段进行直观解释，辨析帮助学生理解割补法，引导学生从事观察、思考、归纳、类比、交流等数学活动，经历从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程。 4、 教学支持条件分析 在三棱锥体积公式的发现过程中，通过GGB信息技术工具演示分割过程，用数学实验得到体积相等的猜想，帮助学生体会“实验操作、观察猜想”的获得结论的过程 五、教学过程设计 （一）情景引入，引发认知冲突 观看数学教学视频 师生活动：学生观察教学视频，教师合理引导。 设计意图：产生认知冲突，激发学生学习数学的兴趣。 （二）学习目标 1.观察演示实验，探索出祖暅原理，可以用其得到柱、锥体体积公式; 2.可以用柱、锥体体积公式求简单几何体的体积. 3.提升数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学核心素养 （三）观察模型，获得猜想 同一摞纸片(硬度足够)，当改变摆放纸片的形式时（如下图）. 问题1.这摞纸片的总体积是否会发生改变？ 问题2.请归纳一种使得两个几何体体积相等的条件？ 师生活动：学生观察，猜想，教师巡视，请学生代表发言，教师点评 生：高度相等，底面积相等 追问1.等底等高的圆锥和圆柱体积相等吗？ 其实可以想象，除底面积相同以外，其他任何高度上圆锥的截面积都比圆柱的要小，所以圆锥体积比圆柱小。请同学们继续给出条件。 师生活动：学生再观察，思考、猜想，教师巡视，请学生代表发言，教师点评 设计意图：让学生体验获得知识的过程，增强自信。 用GGB软件验证猜想 曲边几何体体积问题的动画过程 师生活动：学生观看、思考、对比验证，请学生代表回答问题，教师点评。 （四）学习新课，提升认知 祖暅原理 幂势既同，则积不容异。 引导学生归纳祖暅原理的两个条件。 （五）敢于质疑，文化自信 1.《九章算术》约成书于公元50年-100年东汉年间，当时已被官方奉为经典，全书9章，246个命题， . 2.公元263年，刘徽撰写了《九章算术注》，他敢于质疑，勤于思考，指出，并给出证明， 3.200多年后，祖暅、祖冲之在刘徽的基础上发现了“祖暅原理”并用“祖暅原理”求出了球的体积 . （六）运用原理，获得新知 问题1.如图所示，六棱柱和长方体的底面积均为S，高均为h，用平行于这两个柱体底面的平面截两个柱体，截面积分别为， 记它们的体积分别为，则这两个柱体的体积相等吗？为什么？ 问题2.如图所示，两个锥体的底面积均为S，高均为h，两个锥体被平行于底面的平面所截，截面分别为，记他们的体积分别为,判断的关系，并说明理由。 师生活动：学生小组讨论，交流，教师巡视，引导学生思考，请学生代表展示发言 设计意图：鼓励学生思考、交流，表达。探索锥体体积有一般到特殊的转化。 （七）实验操作，观察猜想，推理论证 演示三棱柱分割成三棱锥的动画过程 三棱锥体积探究实验 实验目的:探索三棱柱分割的三个三棱锥的体积关系； 实验模具:1个装有米的三棱柱容器，3个空的三棱锥容器； 实验步骤:1.将三棱柱中的米倒入其中一个三棱锥中，倒满； 2.再将三棱锥中的米依次倒入另外两个三棱锥，观察它们的体积关系； 实验结果:___________________. 注意事项:实验完成后将三棱锥中的米倒回三棱柱容器中. 证明猜测：一个三棱柱能割成三个体积相等的三棱锥. 问题3.如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，三个三棱锥的体积分别为, 求证：. 证明：对于三棱锥三棱锥, 有,由于它们的高相等，所以 对于三棱锥三棱锥, 有,又它们有公共顶点所以 . 总结升华： 1.等体积法：求几何体体积时，可以转换几何体的底面和高（尤其时三棱锥），使得体积计算更容易， 2.锥体体积公式 3.三棱柱可以割成三个体积相等的三棱锥，三棱锥也可以补成三棱柱（割补法） 师生活动：学生观察、动手操作、猜想、小组合作、交流、归纳总结、推理证明 设计意图：让学生体验“实验操作、观察猜想、推理证明”的完整过程。突破难点，得到锥体体积公式 （八）典例示范，深化理解 【例1】如图所示，在长方体ABCD-中，求棱锥-CD的体积与长方体体积之比. （九）解决课前，前后呼应 如图所示，半径分别为r，R的球被两个平行平面所截(其中两平行平面的距离为2d)，留下中间部分，然后挖掉以截面（两个截面圆的半径分别为）为底面的两个圆柱，得到两个“指环”，用一个平面去截两个“指环”，得到两个圆环，记他们的面积分别为,且,记两个“指环”的体积分别为，为判断，设计如下解法，请完成填空. 解：由题知=, =__________. 所以=-=-, =____________________________, 又且_______________. 所以，由祖暅原理知 . 师生活动：学生独立思考，规范书写，教师巡视引导，请学生代表展示。 设计意图：通过本例题可以让学生熟悉柱体，锥体体积公式，并体会等体积法,培养规范、严谨意识 （十）总结提升，完善结构 教师引导学生回顾本节课的学习内容（知识、方法、思想 等） （十一）问题诊断设计，分层作业 1.必做题：P87练习题A组 2.选做题：P87练习题B组第一题， 你能根据下图及祖暅原理，你能求出球体体积计算公式吗？ （十一）板书 祖暅原理与几何体的体积 1、 祖暅原理 幂势既同，则积不容异 2、 柱体体积 =Sh 3、 锥体体积 =Sh （十二）课后反思 坚持“学生为主体，教师为主导”的教学理念是教学的重中之重，而教学目标是课堂教学的灵魂，没有明晰教学目标的课堂是盲目的、随意的、效率低下的，是教师实施有效教学、学生进行深度学习的前提，本节课时间紧凑，在各环节节奏把控上要很强，不然学生容易达不到学习目标，在实验设计过程中，注重以突出重点，突破难点为重任，学生经历“实验操作，观察猜想，推理论证”的过程，让学生变抽象为直观，解决了学生空间想象力欠缺的问题，让学生更好的理解了割补法、等体积法。在今后的教学中，会继续潜心专研课标，研读教材，准确把握高考，继续提升，不忘初心，砥砺前行。 学科网（北京）股份有限公司 $