11.1.6祖暅原理与几何体的体积学案-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学学历案聚焦祖暅原理与几何体体积，核心任务是通过祖暅原理推导柱锥体体积公式，学习支架包含课前相似三角形及球截面性质回顾，课中锥体体积关系论证、三棱柱分割等问题探究，典例示范与分层作业。 资料特色在于以问题链驱动探究，通过实验观察抽象祖暅原理培养数学抽象，借助平行截面性质论证锥体体积发展逻辑推理，利用三棱柱分割提升直观想象，选做题引导用祖暅原理自主推导球体体积，体现学生主体探究与教师引导总结结合。

11.1.6祖暅原理与几何体的体积学案 （第一课时） 一、学习目标： 1.观察演示实验，探索出祖暅原理，可以用其得到柱、锥体体积公式; 2.可以用柱、锥体体积公式求简单几何体的体积. 3.提升数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养. 二、课前准备 相似三角形性质： (1).相似三角形的一切对应线段（如：对应高线，对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比。 (2)相似三角形面积比等于相似比的平方. 如图所示，若， 则 ==. 球的截面性质： 如果用R和r表示球半径和截面圆的半径，d表示 球心到截面的距离，则. 三、学习过程 (一)祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则高不容异。 （二）柱体体积 (1)等________,等___的两个柱体，体积相等。 (2)如柱体的底面积为S，高为h,柱体体积为 （三）锥体体积 问题2.如图所示，两个锥体的底面积均为S，高均为h，两个锥体被平行于底面的平面所截，记他们的体积分别为,判断的关系，并说明理由. 总结升华：1.等_________,等_____的两个锥体，体积相等。 2.可以将任意锥体体积转化成三棱锥体积。 问题3.如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，三个三棱锥的体积分别为,求证：. 总结升华：1.等体积法：求几何体体积时，可以转换几何体的底面和高（尤其时三棱锥），使得体积计算更容易， 2.锥体体积公式 3.三棱柱可以割成三个体积相等的三棱锥，三棱锥也可以补成三棱柱（割补法） （四）典例示范，深化理解 【例1】如图所示，在长方体ABCD-中，求棱锥-CD的 体积与长方体体积之比. 课后练习：如图所示，半径分别为r，R的球被两个平行平面所截(其中两平行平面的距离为2d)，留下中间部分，然后挖掉以截面（两个截面圆的半径分别为）为底面的两个圆柱，得到两个“指环”，用一个平面去截两个“指环”，得到两个圆环，记他们的面积分别为,且,记两个“指环”的体积分别为，为判断的关系，设计如下解法，请完成填空。 解：由题知 =, =__________. 所以=-=-, =____________________________, 又且_______________. 所以，由祖暅原理，. （五）总结提升，完善结构 （六）深化练习，分层作业 1.必做题：P88练习题A组 2.选做题：P88练习题B组第一题， 你能根据下图及祖暅原理，你能求出球体体积计算公式吗？ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $