专题06 指数函数与对数函数（期末真题汇编，安徽专用）高一数学上学期

专题06 指数函数与对数函数 9大高频考点概览 考点01指数 考点02 指数函数的概念 考点03 指数函数的图象与性质 考点04 对数 考点05 对数函数的概念 考点06 对数函数的图象与性质 考点07 函数零点与方程的根 考点08 用二分法求方程近似解 考点09 函数模型的应用 地 城 考点01 指数 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，，则（    ） A．12 B． C． D．17 【答案】C 【分析】令，并证明其为奇函数，利用奇函数的性质结合已知条件即可得解. 【详解】令，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数， ，即，即， ， 故选：C 2．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】先求出，再求即可， 【详解】由题意得， 所以， 故选：D 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）计算：（    ） A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【解析】由对数的运算性质,结合零次幂的值,即可求得算式的值. 【详解】根据对数运算及指数幂运算,化简可得 故选:C 【点睛】本题考查了对数的运算性质及化简求值,属于基础题. 二、填空题 4．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可． 【详解】由已知得． 故答案为：． 30．（21-22高二下·安徽亳州·期末）设是定义在上的奇函数，对，都有，且当时，，则 ． 【答案】3 【分析】根据奇函数与对称性可得的周期性，进而求解即可 【详解】因为是定义在上的奇函数，故，， 故，即周期为4， 故 故答案为：3. 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）计算的结果是 . 【答案】 【分析】直接根据指数幂和对数的运算性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查指数幂和对数的运算性质，属于基础题． 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）计算： . 【答案】3 【解析】运用指数的知识运算即可 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查的是指数的运算，较简单. 地 城 考点02 指数函数的概念 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽淮南·期末）已知函数（，且），若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数幂的运算求解. 【详解】解：因为点，都在的图象上， 所以，则， 即点在的图象上， 故选：D. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）在如图所示中，二次函数与指数函数的图象只可为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】指数函数可知，同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论． 【详解】根据指数函数可知，同号且不相等，则二次函数的对称轴在轴左侧，又过坐标原点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题． 二、填空题 3．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数为奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】设，利用奇函数的定义可得出，结合指数运算可得出实数的值. 【详解】设，则，可得，即函数的定义域为， 则，即， 即，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一上·安徽·期末）已知函数，则 . 【答案】505 【分析】利用配对计算． 【详解】，∴， 故. 故答案为：505． 5．（24-25高一上·安徽滁州·期末）函数是指数函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据指数函数的定义,解不等式即可. 【详解】因为是指数函数, 所以,解得: 或 即a的取值范围是. 故答案为: 【点睛】根据函数的类型求参数的值通常有两种: (1)幂函数需要保证x前面的系数为1; (2)指数函数不但要保证x前面的系数为1,还有底数大于0,底数不等于1. 地 城 考点03 指数函数的图象与性质 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若，，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】D 【分析】由得，令，，得等价于或，分别解出即可. 【详解】令，，由， 等价于，或， ，有， ，， 所以； ，当时，无解， 当时，时，， 当时，， 所以， 综上或. 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则． 其中错误结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】利用性质可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；根据函数的值域可判断③；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④. 【详解】对于①，设函数是定义在上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对； 对于②，对任意的，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以，具有性质，故②对； 对于③，因为， 又函数的值域为，所以，不存在实数，使得，故③错； 对于④，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，，即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故④对， 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二、多选题 4．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知函数，，，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 【答案】ABC 【分析】求得函数的解析式，结合指数函数的性质，可判定A正确；求得，可判定B正确；由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定C正确；把不等式转化为，得到，求得不等式的解集，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为， 则的单调递减区间为，所以A正确； 对于B中，因为，故的图象的对称轴为，所以B正确； 对于C中，因为，可得的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以C正确； 对于D中，由，可得，即， 可得，解得，所以D错误. 故选：ABC. 5．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B、C正确，由指数函数的单调性可得D正确； 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可得，故B正确； 对于C，若，由不等式的性质可得， 若，则，故C正确； 对于D，若，由指数函数的单调递增性质可得，故D正确； 故选：BCD 6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若实数满足，则 D．关于的方程的一个根比2大，另一个根比2小，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】结合不等式性质检验选项AB，结合函数单调性检验选项C；结合二次方程根的分布检验选项D. 【详解】对于A，当，不成立，故A不正确； 对于B，当，则，故B正确； 对于C，令， 函数在R上单调递增，所以在定义域上单调递增， 因为， 所以，即，得，故C正确； 对于D，令， 方程的一个根比2大，另一个根比2小， 等价于，可得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．（24-25高一上·安徽宣城·期末）函数，在上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数单调递减的特点，列出相应的不等式组，求解即可得到a的取值范围. 【详解】由题意可知，，所以. 所以. 故a的取值范围是. 8．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数，关于x的方程有4个不等实根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先得到或，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】，即， 故或， 画出函数图象，如图所示．    所以方程或有4个不等根， 所以或或， 解得． 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数 (1)判断该函数的奇偶性； (2)判断在定义域内的单调性. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)单调递增，理由见解析 【分析】（1）求出定义域，定义域关于原点对称，并得到，得到结论； （2）化简得到，定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）奇函数，理由如下： 的定义域为R， 且， 故为奇函数； （2）单调递增，理由如下： ， 取任意的， 则， 因为，在R上单调递增，所以， 又， 故，， 所以在R上单调递增. 10．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 11．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数（）是偶函数． (1)求实数m的值； (2)类比函数周期的概念，定义函数周期点的概念：设函数的定义域为，对于非零实数a，令，（），若存在最小正整数T使得，则称a是函数的周期为T的周期点．判断是否存在周期点，并说明理由． (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)存在；理由见解析 (3) 【分析】（1）函数是偶函数，所以，计算可得； （2）假设存在的周期为1的周期点，根据周期点的定义若可求得的取值，即可证得存在周期点； （3）通过分析可知在上单调递增，结合为偶函数，可得当时，恒成立，即，，进而得解. 【详解】（1）由已知，即 化简得， 因为上式恒成立，故. （2）由（1）可知，，， 假设存在的周期为1的周期点， 则，得，化简得， 因为，所以得，， 故存在周期为1的周期点. （3）当时，，均为增函数， 且，，故在上单调递增． 由（1）知为偶函数，故在上单调递减． 由已知，当时，恒成立， 即当时，恒成立， 故，． 令，， 如图作出函数图象，由图象可知： 当时，函数取得最大值为8． 故，所以k的取值范围是. 12．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 14．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的性质可得； （2）由指数函数的单调性可得. 【详解】（1），则，结合题意得， 是偶函数，， 时，. （2）由（1）知 当， 当，的值域为. 15．（24-25高一上·安徽淮南·期末）已知集合，或. (1)当时，求； (2)设命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）解不等式，得，即， 当时，或，， 所以. （2）由是成立的充分不必要条件，得集合是集合的真子集， 因此或，解得或， 所以的取值范围是或. 16．（24-25高一上·安徽合肥·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为为奇函数. (1)判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心.并说明理由； (2)已知函数，问是否有对称中心？若有，求出对称中心；若没有，请说明理由； (3)对于不同的函数与，若的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和. ①求证：当时，的图象仍有对称中心； ②问：当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例. 【答案】(1)奇函数，对称中心为，理由见解析； (2)有，； (3)①证明见解析；②答案见解析. 【分析】（1）判断奇偶性，并用定义证明；将化为，利用给定充要条件求出对称中心. （2）变形函数式，再利用中心对称的定义求出对称中心. （3）①利用中心对称的定义推理论证；②举例说明判断. 【详解】（1）函数为奇函数， 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数； 而，则， 于是，即函数是奇函数 所以函数的图象的对称中心为. （2）， 则 取，得，此时， 所以有对称中心，对称中心为. （3）①依题意，， 当时，， 所以的图象仍有对称中心，对称中心为. ②当时，的图象不一定有对称中心， 如函数，其图象关于对称，得， 函数，其图象关于对称，得， 此时函数，定义域为， 其图象关于直线对称，没有对称中心. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 17．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知函数 ． (1)若，判断并证明函数 的单调性； (2)若，函数在区间上的值域是，求的值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义计算的符号，从而判断出的单调性. （2）根据函数的单调性求出函数的值域，然后根据条件列方程求解即可 【详解】（1）若，，的定义域为. 在上单调递增，证明如下：                 对且， ，所以，则， ，则在上单调递增. （2），从而，由知，所以.      当时，函数在上均单调递减. 若，则， 即，与矛盾，舍去；       则，且      相减得           ，，即. 【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调，则其值域和单调性有关，若在区间上递增，则值域为；若在区间上递减，则值域为. 地 城 考点04 对数 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数及对数运算进行估值比较即可. 【详解】由，， ， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则（    ） A．10 B．100 C．1000 D．10000 【答案】B 【分析】由指数和对数的运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，，所以， 所以． 故选：B 3．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案. 【详解】， 则 ， 所以， 故选：C． 二、多选题 4．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．a，b，c的大小关系是： C．函数在区间上单调递减 D．关于x的不等式解集为 【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断的单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D. 【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称， 则函数的图象关于直线对称，即，A正确； 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确； 因为， 而，且函数在上单调递增，所以， 即，所以B错误； 由于函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减， 故可化为，即， 即，解得，即的解集为，D正确， 故选：ACD 三、填空题 5．（24-25高一上·安徽滁州·期末） ． 【答案】 【分析】根据题意，利用指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得. 故答案为：. 6．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 . 【答案】/0.25 【分析】根据函数关于对称可得，代入即可求解. 【详解】已知函数的图象关于直线对称，则， 代入函数得：， 即，移项整理得：, 则，解得. 故答案为： 7．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）计算： ． 【答案】 【分析】利用指数和对数运算法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 8．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算= ． 【答案】6 【分析】根据对数的运算法则即可计算． 【详解】原式， 故答案为：6． 四、解答题 9．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的性质、运算法则直接求解；. （2）利用对数的运算法则和性质，即可求解. 【详解】（1） （2） 地 城 考点05 对数函数的概念 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由分段函数的特点代入求解即可. 【详解】因为函数， 则. 故选：A. 2．（24-25高一上·安徽宣城·期末）设函数，若是奇函数，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据为奇函数，可求得，代入可得答案. 【详解】若是奇函数，则， 所以，， . 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据分段函数，先求得，再求即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B 二、多选题 4．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．命题“”的否定是“” B． C．“”是“在上单调递增”的充要条件 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用全称命题的否定可判断A；全称命题的真假可判断B；结合函数的单调性和充要条件的概念可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：命题“”的否定是“，故A错误； 对于B：因为，所以是真命题，故B正确； 对于C：当时，即在上单调递增，故C错误； 对于D：若，则，即，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 5．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故答案为：. 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数为偶函数，当时，，则时， ． 【答案】 【分析】由偶函数的定义求解． 【详解】时，，是偶函数， ∴， 故答案为：． 7．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数，，则 ． 【答案】1 【分析】利用对数的运算法则，结合函数的解析式，求得，从而利用即可求得. 【详解】因为， 所以， 又因为，所以. 故答案为：1. 地 城 考点06 对数函数的图象与性质 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复合函数单调性可得，再解不等式组即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且大于零恒成立， 则，解得. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．0.5 【答案】A 【分析】根据函数为奇函数，利用定义求解. 【详解】由或， 即函数定义域为， 由 ， 可知，即， 故选：A 3．（24-25高一上·安徽安庆·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，，构造函数，利用单调性得，即，判断A选项，由判断B，利用作差法结合 的正负无法判断，可得与的大小无法比较，并举反例说明，判断CD选项. 【详解】依题意，，令， 因为，均在上单调递减，故在上单调递减， 则， ，故， ，若，则， 若，则不存在，B错误， 因为， ，的正负无法判断，故与的大小无法比较. 反例如下：取，可得， 此时，CD都不成立， 故选：A. 4．（24-25高一上·安徽六安·期末）设函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性及单调性，利用对数的运算性质及指数幂的性质比较的大小即可求解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 又当时，，可知在上单调递增， 由偶函数性质可知，，， 又，， 所以由函数单调性可知， 故选：D 5．（24-25高一上·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 【答案】D 【分析】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断D. 【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得或， 所以函数定义域为，故A错误； 对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误； 对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误； 对于D，令，则， 由二次函数性质可知，在区间上单调递减， 由对数函数性质可知，在定义域内单调递增， 所以在区间上单调递减，故D正确. 故选：D 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由指数函数及对数函数的单调性判断即可； 【详解】因为，由的单调性可得：， 由，易得， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 二、多选题 7．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．最小值为1 D． 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式得出结论；对于B；利用基本不等式中的妙用求解；对于C：消元后利用函数单调性求解；对于D；利用的范围以及对数函数的性质得到，即可； 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，因为，所以，而， 设函数，显然函数在上单调递增， 当，，无最小值，即无最小值，故C错误； 对于D：因为，所以，，.故D正确. 故选：AD 8．（24-25高一上·安徽滁州·期末）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性进行大小比较即可，对于D，可以用作商法，再对无理数放缩进行大小比较即可. 【详解】利用是单调递增函数，可得，故A正确； 利用指数函数的单调性可知：， 利用幂函数的单调性可知：，所以，故B错误； 利用指数函数单调性可知：， 利用对数函数单调性可知：，所以，故C正确； 利用作商法， 因为，所以， 即，所以，故D正确； 故选：ACD 9．（24-25高一上·安徽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据幂函数，指数函数，以及对数函数的性质，逐个判断选项即可. 【详解】对于A，幂函数在上单调递增，所以，故A正确； 对于B，若，则，，此时，故B错误； 对于C，函数单调递增，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：AC 三、填空题 10．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数（且）的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】根据，即可得到定点. 【详解】由，， 所以当时，， 所以函数过定点. 故答案为：. 11．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为：. 12．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）不等式的解集为 【答案】 【分析】结合对数函数定义域，分类讨论解不等式即可求解. 【详解】由题意，首先， 当，即时，由，此时， 当时，由，此时， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知甲：，乙：，若甲是乙的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简命题甲，再利用必要不充分条件定义列式得解. 【详解】命题甲：，而命题乙：， 由甲是乙的必要不充分条件，得是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（24-25高一上·安徽滁州·期末）设函数，若，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】利用分段讨论，即可得到二次函数满足的条件，从而可得参数范围. 【详解】因为，，由，所以当时，； 因为，，由，所以当时，； 由上可得：当时，， 当时，， 所以有，即的最大值为1， 故答案为：1. 15．（24-25高一上·安徽亳州·期末）如图，函数的图象与一次函数的图象有A，B两个交点，则 ． 【答案】 【分析】设，所以由图象可知：函数的图象与的两个交点分别为，进而列方程组求得的值，即可得解. 【详解】设，当时，， 所以由图象可知： 函数的图象与的两个交点分别为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 16．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知． (1)求证：； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)在R上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论； （2）结合函数解析式判断其单调性，利用函数单调性定义即可证明； （3）判断函数的奇偶性，化简，并转化为，令，可得，继而化为对于恒成立，利用函数单调性即可求解. 【详解】（1）由题意可知； ， 故. （2）由题意得，其定义域为R， 在R上单调递增， 证明：任取，不妨设， ， 因为，故， 又，故，即得， 故在R上单调递增； （3）由题意知的定义域为R，，即为奇函数； 可化为， 即，即， 令，因为，故，则， 由于在R上单调递增，可得， 结合题意可得对于恒成立， 而，， 结合对勾函数在上单调递增，可得， 即，故. 17．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，若，使得对都成立，则称为型函数． (1)证明：每一个指数函数（且）都是型函数； (2)若函数是型函数，求实数的值； (3)已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据定义代入计算证明即可； （2）代入化简，利用指数函数的性质求解即可； （3）根据已知条件和二次函数性质，分段处理分类讨论，确保不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）证明：因为， 所以（且）是型函数， 即每一个指数函数都是型函数． （2）因为函数是型函数， 所以， 显然，则，所以， 整理得对于定义域内任意恒成立， 所以，解得． （3）因为为型函数，所以， 当时，， 因为，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则，所以在上恒成立，则恒成立， 因为在上单调递增，且，故． 当时，， 则， 因为，所以， 令，则当时，恒成立． 由上可知，所以在上恒成立， 则在上恒成立， 因为，当且仅当时取得等号，所以． 综上可知，，故实数的取值范围为． 18．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并证明你的判断； (2)设函数，若在区间上的值域为，在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)实数的取值范围为. 【分析】（1）任取，计算并判断的正负即可得解； （2）根据函数单调性依次求出集合，再由其子集关系列不等式即可求解. 【详解】（1）函数在区间上的单调递增，证明如下： 任取，则， 因为，所以即， 所以函数在区间上的单调递增. （2）由（1）可知在区间上的值域为， 因为函数单调递减， 所以在区间上的值域为， 因为，所以. 所以满足题意的实数的取值范围为. 地 城 考点07 函数零点与方程的根 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得，，和，方程的解，进而得到答案. 【详解】当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得； 当时，，此时，令，解得， 如图所示，所以方程只有两个根，分别为和，所以两根之和为 故选：A.    2．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数，若关于x的方程有三个不同的实数解，实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元法令，将方程的根问题转化为方程有2个不等实根，数形结合，根据一元二次方程根的分布列出不等式求解即可. 【详解】令，其函数图象如图： 方程可化为， 即，即， 则该方程有2个不等的实根， 设，则， 令， 则，或， 解得或无解， 所以实数k的取值范围是. 故选：. 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得的一个周期为4，据此可得在上的大致图像，恰有三个不同的实数根，等价于在上的大致图像与函数在上的大致图像有三个不同交点，据此可得答案. 【详解】因，则的一个周期为4. 因时，，又是定义在上的偶函数，则，结合一个周期为4，可得大致图像如下. 注意到恰有三个不同的实数根等价于在上的大致图像与函数在上的大致图像有三个不同交点，则由图可得：. 故答案为：B 二、多选题 4．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将方程的根的问题转化为图象交点问题，由一元二次方程解得或，要想有个交点，则两条直线与图象各有个交点，根据图象得到的范围，进而得到可能的取值. 【详解】由得或， 根据二次函数和指数函数图象得到图象，当时，， 并在同一坐标系中画出，与图象有个交点， 要使得关于的方程有4个不同的实根，则直线与图象有个交点，且两条直线不重合， 根据图象可知且，解得且，所以ACD符合， 故选：ACD. 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数，若函数有四个零点，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知可得函数与有四个不同的交点，作出两函数的图象，逐项判断即可. 【详解】函数的图象如图所示， 对于A，设，则，故A正确； 则直线与函数图象的4个交点横坐标分别为，，，． 对于B，函数的图象关于直线对称，则，因，故，故B错误； 对于C，由图象可知，且，所以，即，所以，因，故，故C错误； 对于D，由图象可知，则，， 因为函数在上单调递增，故可得， 则的取值范围为，故D正确． 故选：AD． 6．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数函数，则（   ） A． B． C．若恒成立，则实数的取值范围是 D．若，则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是 【答案】ACD 【分析】AB选项，画出的图象，要想使得，只需考虑，分别求出对应的自变量取值范围，B错误，A正确；C选项，恒成立，由函数图象可知，故，解得；D选项，令，得到或，对应两个解，，对应三个解，即，，故，D正确. 【详解】AB选项，画出的图象，如下： 不妨设，则， 要想使得，只需考虑， 令，解得， 令，解得， 且，故不存在，使得，B错误，A正确； C选项，， 恒成立，即， 恒成立， 由函数图象可知，要想恒成立， 需满足，解得， 则实数的取值范围是，C正确； D选项，若，令， 即，故或， 显然对应两个解，，令得， 对应三个解，即， 且，， 故， 则函数恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是 故选：ACD 三、填空题 7．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数与直线的图象如下图所示： 因为方程有四个不同根， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图可知：， 因为二次函数的对称轴为， 所以， 由及图象可得， 因为， 所以由 ， 因为，所以， 于是， 由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减， 所以有， 所以的取值范围是， 故答案为： 8．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数，且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令函数，画出函数的图象，根据的零点分布与的零点分布情况，结合函数图象，可得，进而求得的取值范围. 【详解】令函数，函数的图象，如图所示， 由题意知，的零点为的图象与的交点横坐标，且 令，解得，结合函数图象，可得，所以， 因为，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数图象，观察得出的关系及范围，然后把化为一个变量的函数，再求得范围． 【详解】作出的图象，如图所示．由，得，， 则，，则，， 令，，则， 当时，函数的取值范围是． 故答案为：．    10．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，如果存在区间，使得函数在上单调，且值域是］则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为存在两个不相等且大于等于的实数根，换元，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由函数，显然该函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，则， 等价于存在两个不相等且大于等于的实数根， 令，则， 令，则 所以的取值范围是. 故答案为：. 11．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出草图，借助对数性质，得到范围. 【详解】根据题意画出图象，得到， ，则， 即，则，则，则. 故答案为：. 四、解答题 12．（24-25高二下·安徽·期末）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为偶函数得，代入即可求解； （2）由（1）知：，又得，即，令，得，利用二次函数即可求解. 【详解】（1）由已知得， 故， 化简得， 所以. （2）由（1）知：， 由化简得， 即， 故有两个不等的实数解， 令，即有两个不等的实数解， 令， 故在单调递减，在上单调递增， 又， 故实数的取值范围为. 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据对数函数性质解不等式即可； （2）问题转化为方程有且仅有一个属于的实数解，再求出在有一解时的范围，然后解相应的不等式即可得． 【详解】（1）因为，所以原不等式可化为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若当时，关于的方程有且仅有一个实数解， 则方程有且仅有一个实数解， 所以有且仅有一个属于的实数解． 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，， 当趋向于0时，趋向于， 所以或，解得或或， 所以实数的取值范围是． 14．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）给定两个函数和，则称为由这两个函数复合而成的复合函数，其中为内函数，为外函数，为自变量，为中间变量，为函数值，复合函数的单调性满足以下原则：已知函数在内单调，在内单调，且集合.若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数；若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数.已知函数. (1)求证：函数为奇函数； (2)请直接写出函数的单调区间； (3)若函数，求证：函数恰有两个零点，且. 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递减区间为，，单调递增区间为；理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）先得到定义域，并得到，故函数为奇函数； （2）时，，令，定义法判断的单调性，由复合函数得到的单调性，同理可得在上单调递减，在上单调递减； （3）变形为分段函数，结合（2）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，由特殊点函数值，结合零点存在性定理得到在区间上有一个零点，在区间上有一个零点，函数恰有两个零点；且，也是函数的零点，进而. 【详解】（1），定义域为，， 则， 故，故函数为奇函数； （2）函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，理由如下： 当时，， 令， 任取， 则， 因为，所以，， 故，， 所以在上单调递增，又在上单调递增， 由复合函数性质可知，在上单调递增； 当时，， 令， 任取， 则， 因为，所以，， 故，， 所以在上单调递减，又在上单调递增， 由复合函数性质可知，在上单调递减， 同理可证在上单调递减； （3）函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 在区间上满足， 由零点的存在性定理可知在区间上有一个零点； 在区间上满足， 由零点的存在性定理可知在区间上有一个零点， 函数恰有两个零点； 设是函数的零点，又， 则也是函数的零点，又恰有两个零点， 所以且， 因此. 【点睛】关键点点睛：第三问，判断出的单调性，结合零点存在性定理得到函数恰有两个零点，又，从而得到且 15．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）德国数学家狄利克雷（1805-1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的一个函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集. (1)已知函数. ①判断函数的奇偶性（直接写结果），并求的值； ②记函数，求的零点； (2)对任意集合，定义.已知集合，证明：对，（其中符号表示不大于的最大整数）. 【答案】(1)①偶函数，；②0 (2)证明见解析 【分析】（1）①根据奇偶性的定义判断即可，再根据函数解析式计算可得；②首先求出的解析式，再令，转化为关于的一元二次方程，求出的值，再代入计算可得； （2）当时分，；，；，；三种情况讨论，分别求出，，即可得到，当，同理可证. 【详解】（1）①函数是偶函数， 函数的定义域为， 若，则，所以； 若，则，所以； 即对任意的，都有，所以为偶函数； 因为， 所以； ②，， 则， 令，则， 令解得或（舍去）， 由得，所以，即的零点为. （2）当时，， 若，时，，， 则， 若，时，，，则， 若，时，，，则， 当时，则，，则， ， 综上，对，. 地 城 考点08 用二分法求方程近似解 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【详解】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C 3．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二分法的定义可得，解得即得. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，则等分次后的区间长度变为原来的， 则由题可得，即，， 则至少等分的次数为7. 故选：C. 4．（24-25高一上·安徽安庆·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法即可判断. 【详解】根据, 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 5．（24-25高一上·安徽安庆·期末）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法的定义，在连续区间，使，则能用二分法求零点，根据定义判断选项. 【详解】选项恒成立，不存在区间使， 所以不能用二分法求零点. 故选：C 6．（24-25高一上·安徽池州·期末）定义在上偶函数满足，且当时，.若在区间上，函数恰有五个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】推导出函数的周期为，作出函数的图象，并作出函数的图象，根据两个函数在区间上的图象有五个不同的交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】若在区间上函数恰有五个不同的零点， 等价为在区间上有五个不相等的实数根， 即函数和在区间上的图象有五个不相同的交点， 因为偶函数满足，所以， 故函数的周期是. 作出函数和的图象，如下图： 当直线经过时，两个函数在区间上的图象有个交点， 此时，解得， 要使在区间上函数恰有五个不同的零点，则， 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 7．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法逐次求出所有可能的区间后可得正确的选项. 【详解】用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是， 则第二次所取的区间是或， 第三次所取的区间是或或或， 故选：B. 【点睛】本题考查二分法的理解，注意二分法中每次所确定的区间的长度一定是前一次确定的区间的长度的一半，本题属于基础题. 8．（24-25高一上·安徽黄山·期末）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不是单调函数，，不能用二分法求零点； 是单调函数，，能用二分法求零点； 不是单调函数，，不能用二分法求零点； 不是单调函数，，不能用二分法求零点. 故选：B 9．（24-25高一上·安徽合肥·期末）函数与则函数所有零点的和为 A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】分别作与图像，根据图像以及对称轴确定零点以及零点的和. 【详解】由题知，， 所以， 令，， 分别作与图像，如图， 所以所有零点的和为, 故选：C. 二、填空题 10．（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）设, 用二分法求方程内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间 内 【答案】（1.25，1.5） 【分析】根据二分法求区间根的方法只须找到满足f（a）．f（b）＜0，又f（1.5）＞0，f（1.25）＜0可得结论． 【详解】解：因为f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内． 故答案为  （1.25，1.5）． 四、解答题 11．（24-25高一上·安徽滁州·期末）已知 ， (1)作出函数的图象； (2)求函数的单调区间，并指出其单调性； (3)求集合使方程有四个不相等的实根. 【答案】(1)见解析. (2)见解析. (3) 【分析】（1）利用分段函数作的图象即可，（2）由图象写出函数的单调区间即可；（3）作与的图象，由二者的交点个数确定出集合． 【详解】（1）当时，或， 所以， 所以的图象为： （2）由（1）中函数的图象可知的单调区间是，其中 是减区间；是增区间. （3）由（1）中的图象知，当时，有四个不相等的实根，所以. 地 城 考点09 函数模型的应用 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的运算可得. 【详解】由题意“到第29天时荷花恰好开满了一半， 到第30天才会开满整个池塘”可得当时的值是时的值的二倍， 所以只有指数函数符合. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）某科研单位与企业合作，为该企业研发并安装了新的清除企业产品中某杂质的设备.在清除过程中，产品中某杂质含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系满足:(为杂质含量的初始值，k为常数).已知经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质，则经过3 h，产品中某杂质的含量与下列四个值中最接近的是（    ） A．32% B．28% C．25% D．21% 【答案】D 【分析】应用已知及对数运算得，再代入计算求解即可. 【详解】因为经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质， 所以，即得， 设经过3 h产品中某杂质含量M， 则. 即21.6％ 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程即可. 【详解】因为茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式， 且喝茶的最佳口感水温大约是， 当时，由可得，合乎题意； 当时，由，解得，舍去. 综上所述，. 因此，需要等待的时间为. 故选：B. 4．（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 二、解答题 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）新能源汽车续航能力备受客户的关注．某科研所对一新款新能源汽车的续航能力进行实验，每行驶30公里，测量一次蓄电池的电量，得到蓄电池的剩余电量占满电量的百分比为，设，随里程数（一个里程数等于30公里）的变化数据如下： 里程数 0 1 2 3 4 5 6 100 90.5 81.95 74.255 67.330 61.097 55.487 现有三种函数模型： ①； ②； ③． (1)请根据表中数据，选择符合实际情况的函数模型，并利用前三组数据求出的解析式； (2)经验表明，为了确保行车安全，当蓄电池的剩余电量为时，就应该开始寻找充电站，避免车辆电量过低导致无法行驶，求本次实验该新能源汽车剩余电量为时大约行驶了多少公里． 参考数据：． 【答案】(1)选③， (2)（公里） 【分析】（1）分析表中数据，可得应选择③函数模型，根据待定系数法求参数即可； （2）根据（1）中的模型，令求解即可. 【详解】（1）由表中数据可知，为单调减函数，则②不符合题意， 当自变量增加量为1时，的减少量越来越小，则①不符合题意，故选③． 由表中数据得，，解得，故． （2）由题意可知，，则， 两边取对数得，， 所以本次实验该新能源汽车剩余电量为时大约行驶了（公里）． 6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）某高校为了方便冬季体育活动，计划建造一间室内面积为900的体育馆，在馆内划出三块相同的矩形区域供三个班级同时使用，相邻区域之间间隔3米，其余部分离墙1米（如图）．设体育馆室内长为x米，三块区域的总面积为S平方米． (1)求S关于x的函数关系式； (2)当体育馆室内长为多少米时，三块区域的总面积最大？并求其最大值． 【答案】(1)， (2)当矩形温室的室内长为60m时，S最大，最大为676 【分析】（1）由长方形面积公式即可求解； （2）由基本不等式即可求解； 【详解】（1）由题设，得 ， 由已知得故． 所以，． （2）因为， 所以， 当且仅当时等号成立，从而． 故当矩形温室的室内长为60m时，S最大，最大为676． 7．（24-25高一上·安徽合肥·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？ (2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本） (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200（万元）； (2) (3)当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元） 【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可； （2）对进行分类讨论写出的解析式； （3）对分类讨论写出各段函数的最大值进行比较. 【详解】（1）（万元）. 所以当购进产品数量为10万件时，利润是200万元. （2）当时，， 当时，不妨设降价元，购进产品全部售出， 则，得到， 所以， 当时，， 所以 （3）由（2）知，当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是450（万元）， 当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是500（万元）， 当时，， 当且仅当，即， 当（万件），利润最大，此时利润是910（万元）， 因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）. 8．（23-24高一上·安徽·期末）某市有“四景一水”构成的旅游产业，为整合开发新型旅游项目，该市将在原有的“四景一水”的基础上开发新的游玩项目，计划2024年投入固定成本万元，若该项目2024年有万游客，则需另投入万元，且 ，该游玩项目的每张门票售价为元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润 销售额成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少. 【答案】(1) (2)当年游客为万人时，利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）由题设计算求解即可； （2）结合一次函数，二次函数的性质和基本不等式分段讨论求解函数的最值即可得解. 【详解】（1）由题意，，       所以. （2）当时，单调递增，所以；          当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当年游客为万人时，利润最大，最大利润为万元. 9．（23-24高一上·安徽宣城·期末）某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？ 【答案】(1) (2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元 【分析】（1）由利润，代入即可得； （2）利用二次函数以及基本不等式分别求出分段函数在上的最大值，比较即可得答案. 【详解】（1）； （2） 当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立． 由得当时，． 所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元． 10．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米. (1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值. 【答案】(1)，； (2)长9米、宽3米，周长的最小值为24米. 【分析】（1）根据给定信息，利用矩形面积公式即可求解. （2）由（1）的结论，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由宽为米、长为米的长方形展牌, 得, 整理得， 由，得，即，解得， 所以关于的函数解析式是，. （2）展牌的周长， 当且仅当 ，即时取等号，此时， 所以设计展牌的长为9米和宽为3米，才能使展牌的周长最小，最小值为24米. 11．（23-24高一上·安徽安庆·期末）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y（单位：℃）随经过的时间t（单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型： ①（为常数，且）； ②（为常数，）． (1)请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型； (2)现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据：） 【答案】(1) (2)2.5分钟 【分析】（1）分别代入得到函数模型，结合生活实际进行判断即可； （2）根据（1）求出的函数模型解不等式即可. 【详解】（1）若选用①，根据条件可得，解得， 所以． 此时，随着的增大而减小，符合生活实际； 若选用②，根据条件可得，解得， 所以． 又，当时，随着的增大而增大，不符合生活实际，应舍去． 所以该函数模型为． （2）由（1），令， 于是，两边取常用对数得，又， 故， 所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06指数函数与对数函数 ☆9大高频考点概览 考点01指数 考点02指数函数的概念 考点03指数函数的图象与性质 考点04对数 考点05对数函数的概念 考点06对数函数的图象与性质 考点07函数零点与方程的根 考点08用二分法求方程近似解 考点09函数模型的应用 目目 考点01 指数 一、 单选题 1. （24-25高一上安微合肥期末)已知函数f(x=2-1 2*+1 +ar2023_b-6,f-2=5,则f2)=() A.12 B.-12 C.-17 D.17 3,x22 2. (2425高一上安微宣城期末)已知函数f(x)= {x+l,x<2则f(f)=() A.2 B.5 C.7 D.9 3. (24-25高一上安徽合肥期末)计算：1og,V8+1g25+1g4+6号+9.8°=() A.1 B.4 C.5 D.7 二、填空题 4.(24-25高一上安徽安庆期末)已知2=3，则22+22江= 30.(21-22高二下·安徽毫州期末)设f(x)是定义在R上的奇函数，对x∈R,都有f(2-x)=f(x),且当 xe[-1,0)时，f田=(+1，则f202)+f2023)= 2 5. (24-25高一上安徽铜陵期未)计算31g2-27°+lg125的结果是 6. (24-25高一上安徽铜陵期末)计算：8+(-5)°= 目目 考点02 指数函数的概念 、 单选题 1/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25高一上·安微准南期末)己知函数f(x=a(a>0,且a≠1)，若点Ax,y),B(x2,y2都在 f(x)的图象上，则下列各点一定在∫(x)的图象上的是() A.(x x2,yy2) B.（xx21+y2】 C.+x2,1+y2) D.（x1+x2,1y2 2.(2425高一上·安徽蚌埠期中)在如图所示中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y= 的图象只可 为 二、填空题 3.(2425高一上安徽芜湖期末)已知函数y=a+,4为奇函数，则实数4= 2x-1 4.2425高一上安微期末)已知函数/x=十2，则 2020 (24-25高一上·安微滁州期末)函数y=(2a-3)是指数函数，则a的取值范围是」 目目 考点03 指数函数的图象与性质 一、单选题 a,x<I 1.(24-25高一上安微阜阳期末)已知a>0且a≠1，函数f(x)={ -x2+4ax,x21 若对任意的x≠x2, 2/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 都有)-f<0,则4的取值范围是() xj-x2 A.(o] B. c n(传 2.(24-25高一上安微蚌埠期末)若x>0,(（5"+a)(x2-ax-x+a≥0，则a=() A.0 B.1 C.-5 D.1或-5 3.(24-25高一上·安微合肥期末)记函数f(x)的定义域为D,若存在非负实数k,对任意的x∈D,总有 f(x)-f(-x≤k,则称函数f(x具有性质P(k). ①所有偶函数都具有性质P(O): ②到=+具有性质P: ③若∫(x=x2+x+1,则一定存在正实数k,使得∫(x)具有性质P(k): ④已知a>0,若函数国-2具有性质P(),则ae0,个. 其中错误结论的序号是() A.① B.② C.③ D.④ 二、多选题 4.(24-25高一上安徽安庆期末)已知函数f(x)=e2,g(x)=e2-,h(x=f(x-g(x,则() A.f(x)的单调递减区间为-0，一2 1 B.gx)的图象为轴对称图形 C.h(x)的图象关于原点对称 D.满足3x-2小<s12-的x的取位花日为行剖 5.(24-25高一上·安微芜湖期末)下列说法正确的是（) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则a2>ab>b C.若a>b>0,c<0,则S>9 a b D.若a>b,c>1,则c>c 6.(24-25高一上安微合肥期末)下列命题中，正确的是() 3/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.若a<b,则a2<b2 B.若b>a>0,m>0,则2b+m aa+m C.若实数x,y满足2+9’<3+4，则x-2y<0 D.关于x的方程x2+a2-1)x+a-2=0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数a的取值范围是 (】 三、填空题 (2a-1)x+8a-2,x<1 7.(24-25高一上·安微宣城期末)函数f(x)= a,x≥1 ，在(-oo,+oo)上单调递减，则a的取 值范围是 8.(24-25高一上安徽铜陵期末)己知函数f(x)= 2-1,x<2 ,关于x的方程 x-3,x≥2 [f(x)]2-(2a+1)f(x)+a2+a=0有4个不等实根，则实数a的取值范围是 四、解答题 9.（24-25高一上安徽蚌埠期末)己知函数f(x)= 2-2 2+2x (1)判断该函数的奇偶性； (2)判断f(x)在定义域内的单调性 10.(24-25高一上·安徽芜湖期末)已知函数f(x)=a-b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象过点(0，-1)和(3,6)，求f(x)在R上的值域； (Q)若f)在区间L2习上的最大值比最小值大号，求a的值， 1.（24-25高一上安徽毫州期末)已知函数fy=e- (m≠0)是偶函数。 e (1)求实数m的值： (2)类比函数周期的概念，定义函数周期点的概念：设函数y=gx)的定义域为R,对于非零实数α，令 y=g(a),ym1=g(ym)(n∈N),若存在最小正整数T使得y,=a,则称a是函数g(x的周期为T的周 期点.判断∫x)是否存在周期点，并说明理由. (3)当1e[0,4]时，fk)-f2t-2)>0恒成立，求实数k的取值范围. 4/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.（24-25高一上：安微铜陵期末)己知函数f(x)=4+1,g(x)=-(2m+1)2. (1)若g(x)≤f(x)对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程f(x)+g(x)=2-m2有实根，求实数m的取值范围. 13.(24-25高一上安徽合肥期末)已知定义域为R的函数f)=©+0是奇函数 e*+I (1)求实数a的值； (2)判断函数y=f(x)的单调性，并证明； (3)若不等式f(m3)+f(3-9-2)>0对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 14.(24-25高一上·安徽芜湖期末)己知函数f(x是偶函数，当x≥0时，f(x)=e (1)当x<0时，求函数f(x)的解析式： (2)当x∈[-1,4)时，求函数f(x)的值域. 15.(2425商-上安徽准南期米)已知集合4=红兮<3≤外，B=x<a或x>a+2 (I)当a=-1时，求AU(RB): (2)设命题P:x∈A,命题9：x∈B,若p是9成立的充分不必要条件，求a的取值范围. 16.(24-25高一上·安徽合肥期末)我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要 条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称 图形的充要条件是函数为y=f(x+)-b为奇函数 ()判断函数©三的奇偶性，求函数g()户+了一的图象的称中心并说明理由， ②已知函数)之++2间国)是香有对称中心？若有，求出对称中心：若没有，诗 说明理由； (3)对于不同的函数f(x)与g(x),若f(x),g(x)的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为(m,n)和(s,). ①求证：当m=s时，f(x)+g(x)的图象仍有对称中心： ②问：当m≠s时，f(x)+g(x)的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举 出具体的反例 17,(2425高一上安徽黄山期末)已知函数()=4-m 4+m (1)若m<0,判断并证明函数f(x)的单调性； 5/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 回若m>0,候数fd在区同o,a<创上的馆域是会亭长eR),深★的值。 m 目目 考点04 对数 一、单选题 1. (24-25高一上安徽毫州期末)设a （b=g,27c- 0.3 3 ,则() A.a>c>b B.a>b>c C.cxaxb D.cxb>a 11x+y 2.(24-25高一上安微芜湖期末)己知10=5,10=2， 则5x2 =() A.10 B.100 C.1000 D.10000 3.(24-25高一上·安徽铜陵·期末)高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘 法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：a个6=Qagg=a,a个个6=Q个a个g个个g(从右往左计 b个a b个a 算)，已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为10，则下列各数中与5个3最接近的是（参考数据 T 1g2≈0.3)() A.102025 B.1020s5 C.102105 D.102125 二、多选题 4.(24-25高一上·安微宣城期末)已知函数y=f(x+)是R上的偶函数，且f(x)在[L,+∞)上单调递增， a=f(log28),b=f(-ln2),c=f(e2),则下列说法正确的是() A.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称B.a,b,c的大小关系是：b<c<a C.函数y=)在区间（四上单调递减D.关于x的不等式/20<x+)解集为行 三、填空题 5.(24-25高一上安徽滁州期末)1g4+21g5+(22)3= 2 6.(24-25高一上·安微阜阳期末)己知函数f(x)=ae+e的图象关于直线x=ln2对称，则a的值 为 7.(24-25高一上安徽铜陵期末)计算：1og,5+85-1og,15+en2= 8.(24-25高一上安微毫州期末)计算1g2-lg，+31g5-log,2log,9+2g:4= 四、解答题 9.（24-25高一上安徽毫州期末)计算下列各式： 6/18 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0g”0@-(6-s2s- 2)log.5-log++g25-lg2-lg5 e.lg0.01 1og,5-1ogs4+lg8+lg125-1g2-1g5 e.1g0.01 (2) =l0g,5-1og,2+lg8x12)-lg(2x5j 2*1-2 1 1*31 -1 =-1 目 考点05 对数函数的概念 一、单选题 1.(24-25高一上，安徽合肥期末)已知函数f(x)= log2（x+1,x<2 fx-,x≥2，则f3)=() A.1 B.log,3 C.0 D.2 gx+2,x>0 2.（24-25高一上·安徽宣城期末)设函数f(x)= {0g,1-x,xs0若f(是奇函数，则g3)的值是() A.2 B.-2 C.4 D.-4 2-,x<2 3.(24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习)设f(x)= 1og,(x2-1,x≥2'则f/2》的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 二、多选题 4.(24-25高一上，安微马鞍山期末)下列命题是真命题的是() A.命题“Hx>0,lnx≤x-1”的否定是“3x>0,lnx≥x-1” B.Vx∈R,x2+x+1>0 C.“a>1”是“fx)=x+a在(，+o)上单调递增的充要条件 D.若a>0>b,则ab<a2 三、填空题 5.(24-25高一上安徽芜湖期末)已知函数f(x)= 3,x≤0，则f-+3)= log:x,x>0 7/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高一上安徽芜湖期末)函数y=f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=lnx+x-1,则x<0时， f(x)=」 7.(2425高一上安徽六安期末)已知函数f(x)=1g,N1+x2-x+2,f(a)=3,则 f-a)= 目目 考点06 对数函数的图象与性质 一、单选题 1.（24-25高一上·安微毫州期末)若函数y=1g2+mx)在区间[1，+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为 () A.（-0,-1 B.(0,+o0 C.[-2,0 D.(0,1 2.(24-25高一上安微六安期末)已知函数f=x-a21n2x-是奇函数，则实数a的值为（) 2x+1 A.0 B.1 C.-1 D.0.5 3.（24-25高-上安微安伏期末)若<1g,m-l0g,,则() A.In(m-n+1>0 B.ia(C.D. 4(2423商-一上安藏六安期末)设要数=子若“=小引=e》c=3) ,则() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 5.(24-25高一上·安徽滁州期末)已知函数f(x)=1og2x2+2x),则下列结论正确的是() A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域是[0，+0) C.f(x)是偶函数 D.f(x)的单调递减区间是-0，-2) 5.2425高=上安微元荒湖期末)“<是“1ga>1gb的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 7.(24-25高一上·安徽合肥期末)已知a>0,b>0,且a+2b=1,则下列说法正确的是() 41 A.5+25≥2V5 B.-+≥12 a b C.a+- 最小值为1 D.blna2+aln2b)≤0 2b1 8.（24-25高一上·安微滁州期末)下列不等式成立的是() A.l0g23<l0g25 B C.23>log32 D.log,3>log:4 9.(24-25高一上安微期末)已知a>b>0,则() A.b B.log,3<log,3 C.7>7>1 D.11 a b 三、填空题 10.(24-25高一上安徽毫州期末)函数f(x)=1og。(x-1)-a-2+4(a>0且a≠1)的图象必过定点」 11.(24-25高一上安徽宿州期末)已知函数f)=1og1(x+ax+a-2)在区间-4，-2上单调递增，则实 数a的取值范围是」 12.(24-25高一上·安微蚌埠期末)不等式(x-2)1n(x+1)≥0的解集为 13.(24-25高一上·安徽阜阳期末)已知甲：10g2x≤2，乙：m<x<m+2,若甲是乙的必要不充分条件， 则实数m的取值范围是一· 14.(24-25高一上·安徽滁州期末)设函数f(x)=x2-ax+b)lgx,若f(x)≥0，则a的最大值为 15.（24-25高一上·安徽毫州期末)如图，函数y=lx的图象与一次函数y=f(x的图象有A,B两个交 点，则f(x= yfx B v=lnx 四、解答题 9/18 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2,8()=e+ex 16.(2425高一上安徽宣城期末)已知x)=e 2,h(x)= g(x) (1)求证：g(2x)=[f(x)]+[g(x)]: (2)判断(x)的单调性，并用单调性的定义证明： (3)当x∈(2，+∞)时，h[1og,(4x)log,(16x+h[1og,(2x)"]>0恒成立，求实数m的取值范围。 17.（24-25高一上·安微毫州期末)已知函数f(x的定义域为1，若m,n,t∈R,使得 f(2m+x∫(2n-x=1对xeI都成立，则称f(x)为m,n,型函数. (1)证明：每一个指数函数∫(x=a（a>0且a≠1)都是0,0，)型函数： (2)若函数fx=2是(m,2,)型函数，求实数m,1的值： (3)已知函数f(x)在定义域[-3,9上的函数值恒大于0，且f(x)为0,14)型函数，当x∈(1,9]时， f(x)=-(log3x+bl0gx+3.若f(x)≥1在[-3,9上恒成立，求实数b的取值范围. 18.(2425高一下安徽阜阳期末)已知函数f(x)=x+4 (1)判断f(x)在区间[2，+0)上的单调性，并证明你的判断； (2)设函数8=log:x+a,若f(x)在区间2,4上的值域为A,g(x)在区间2,8上的值域为B,且A∈B, 2 求实数a的取值范围， 目目 考点07 函数零点与方程的根 一、单选题 1.(24-25高一上安徽合肥期末)已知函数f(x)=x+[x(其中[x表示不超过x的最大整数)，则关于x 的方程f=号-1(x<2)的所有实数根之和为(） A.2 B.3 C.4 D.5 2k-3k=0有三 2.(24-25高一上安徽六安期末)已知函数g(=x+-2,若关于x的方程82-+2一 个不同的实数解，实数k的取值范围是() A.(0,+0) B.-0,0 co*mu分 D.(,u分 3.(24-25高一下·安微合肥期末)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R,都有 10/18