专题03 二次函数与一元二次方程、不等式（期末真题汇编，安徽专用）高一数学上学期

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03二次函数与一元二次方程、不等式 ☆8大高频考点概览 考点01解不含参的一元二次不等式 考点02解含有参数的一元二次不等式 考点03一元二次方程根的分布问题 考点04一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 考点05一元二次不等式的恒成立问题 考点06一元二次不等式在某区间上有解问题 考点07一元二次不等式的实际应用 考点08二次函数的图象分析与判断 考点01 解不含参的一元二次不等式 单选题 1.(24-25高一上·安徽毫州期末) x2-x<0 的必要不充分条件是() A.x<0 B.x>1 C.0<x<1 D.0≤x≤1 [x2-x-6>0 2.(2425高一上安微合肥·期末)已知关于x的不等式组 2x+1-2kx-k<0k>0仅有一个整数解， 则k的取值范围为() A.45列 B.(4,5 c.I34 D.(3,4 3.(2425高一上安微黄山期末)已知不等式m2+hx+e>0的解集为3<x<2,则不等式 cx2+bx+a>0的解集为() 仲减引 {引 C.{-3<x<2 D.{<-3或>2 4.(2425高一上安徽毫州期末)已知集合4=寸r≤4，B=-<2,则AnB=（) A.{2≤x<3y B.{-2≤x≤2 1/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C. {x-1<x≤2} D.-2≤r<3到 5。(24,25高一上安徽宜城期未)设r∈R 使得不等式-6x+5<0 立的一个充分不必要条件是 () A.{x1<x<5 B {x|x>0 C.xlx<4 D.{x2≤x≤3y 6。（24-25高一上安徽毫州：期末)一元二次不等式x2-bx+c>0的解集为<x<2, 则不等式 cx2-bx+a<0 的解集为() A〔+ 。（ 7。《24-25高一上安徽期末)不等式+x+2>0的解集为(） A.（-0,-2U-1,+oj B.（-o,-lU(2,+o c.(-12) D.（-2- 二、填空题 8。(2425高-上安微卓阳期末)已知R,若“>m~是。-3x-4>0·的充分不必要条件，则 m的取值范围为一 9.(24-25高-上安徽蚌埠期末)已知正数，满足+v2,若+>m-m恒成立，则实数m的取 值范围为一， 10.(2425高一上安徽安庆期未)已知关于x的不等式ar+br>(x-2)的解集为<x<3},则关于 x的不等式axr2+br+c<0的解集为一· 三、解答题 2/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(2425高一上安徽合肥期末)已知集合1=(a<r<2a+刊且4≠②，集合B=[-5x+4<0, 命题P:r∈A 9:x∈B ,命题 0若a-,求1Gn8: (2)若P是9的充分不必要条件，求实数a的取值范围 12.(2425高一上安徽安庆期末)已知集合A=小心-x-2≤0，B=x2+x-aa+1s0 )考a=1,求(C4nB (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围. 13.(24-25高一上安微芜湖期末)设函数（四=r+x+3,关于x的一元二次不等式f刊>0的解集 为3) (0)求不等式r+ar+b>0 解集： (2若x∈-1,3，/≥mr2 求实数m的取值范围。 考点02 解含有参数的一元二次不等式 一、 单选题 1,.(2425高一上·安徽期末)已知使不等式+(a+1r+a≤ 成立的任意一个x，都满足不等式 3x-1≤0，则实数a的取值范围为() A〔引 2.(24-25高一上·安徽蚌埠·期末)设m十n>0,则关于x的不等式(m-x)(n十x)>0的解集是() A.{xx<一n或x>m} B.x-n<x<m} 3/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.{xr<-m或x>n} D.{x-m<x<n) 3。（24-25高一上安徽阜阳期末)若关于x的不等式-(m+2x+2m<0 的解集中恰有4个正整数，则 实数m的取值范围为() A.(6,列 B.(6,7) c.16,7) D.(6,+0j 二、填空题 2425高一上安徽阜阳期末)已知命题p:实数满足不等式二2<↓，命题g:实数，满足不 式t-3m+10x+2mn2+3m≤0 若命题9是命题P的必要不充分条件，则实数m的取值范围是一 三、解答题 h(x)=ax2+ax-2 5.(24-25高一上·安徽宣城期末)已知函数 h(x)<2 ()若不等式 的解集为R,求实数a的取值范围； (2②当“eR时，解关于x的不等式 (x)<(1-a)x 6。(24-25高一上安徽期未)设函数f八=2-(b+1x+1 (诺/x=0 的两根分别为2和1，求实数a,b的值： (2若6=a>0,解关于'的不等式x<0 2x-1z0的解 7.(24-25高一上安徽黄山期末)若关于x的不等式×-2mr+㎡≤4的解集为4，不等式2- 集为B. (I)己知A是B的充分不必要条件，求实数m的取值范围： 2设命题P:r∈B,+2m+r-8>0,若命题P为假命题，求实数”的取值范围。 8.(24-25高一上·安徽黄山期末)设函数=r+b-2x+3 其中a≠0 )若不等式>0的解集为-3)，求a,b的值： 4/13 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 14 (2)若x=1时，y=2,a>0,b>-1,求a+b+i的最小值： y≤1 ③)若=·，求不等式》的解集， 9.(2425高一上安徽淮北期末)已知不等式-(a+2x+b≤0的解集为≤x≤2 (I)求实数a,b的值： 2解关于的不等式.(x-ca-b)>0(C为常数，且c≠2). 10.(2425高一上安徽合肥期末)已知函数f=r+(a+x+a ①)若关于x的不等式<0的解集为<x<3列，求a,B的值： 2)当6=1时，解关于x的不等式>0 I.(24-25高一上·安徽蚌埠期末)已知函数f)=-(a+bx+a 0)若关于x的不等式f)<0的解集为L2),求a,6的值： b=1 f(x)>0 (2)当时，解关于x的不等式 12.(24-25高一上安徽合肥期未)已知p:r-8r+15≤0,9：x2-2x+1-a2s0a>0) (1I)若p为真命题，求实数x的取值范围 (2)若p为q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围 9） (x)=2x2+mx-m-号(m∈R) 13.(24-25高一上安徽池州期末)设 8 f(x)<0 (1)解不等式 （2)已知存在5∈Rx<西，满足八)=f)=0,证明：当5-本1时，f四的图象与x轴围成封 闭区域的面积大于4· 5/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 14。(24-25高一上·安徽六安期末)解关于x的不等式武a-2r+2x-1≥0a∈) 15。(24-25高一上·安徽池州期末)关于的不等式mr-2x+m<0, ,其中为大于0的常数。 (1)若不等式的解集为，求实数“的取值范围： (2)若不等式的解集为A,且A中恰好含有三个整数，求实数m的取值范围. 考点03 元二次方程根的分布问题 一、单选题 1. (24-25高一上安徽芜湖期未)已知方程+br+c=0,在0,2列上有两个不同的解，则c+26+2]c 的取值范围是() 02 3 A ’2 B C.(0,1 D.(0,2 二、填空题 2.(24-25高一上·安徽蚌埠期末)设f(x)=x2+bx+C,方程f(x)=x的两根是x1和x2,且x1>0,x2- x>1.若0<t<x,则f(t)x(填“>”，“<”或“=”). 3. (24-25高一上安徽蚌埠期未)若关于x的方程×+(Q-2)x+a-3=0的一根比2小且另一根比2 大，则Q的取值范围是 目目 考点04 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 填空题 1. （2425高一上安撤蚌埠期末)二次函数'=a+r+C(x∈R)的部分对应值如下表： -3 -2 -1 0 1 y -10 -4 0 2 2 则关于 的不等式ar+br+c>0 的解集为一 2.(2425高一上安徽黄山期末)已知二次函数f心0)=a++C,满足9妇-4<0，对任意的xeR 6/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 都有 恒成立，则 的取值范围是一 f(x)>0 f(2)-2fI)+f(0) 二、解答题 3.(2425高一上安徽池州期未)关于”的不等式mr-2+m<0,其中m为大于0的常数 (1)若不等式的解集为”，求实数”的取值范围： (2)若不等式的解集为A,且A中恰好含有一个整数，求实数m的取值范围. 4。(24-25高一上安徽毫州期末)已知函数f)=(a-4+(a-2到x+4aeR) 求a的值； 2若不等式>0对一切实数恒成立，求实数“的取值范围. 5.(24-25高一上·安徽芜湖期末)已知关于x的不等式 2-2ax-(2a+b-1(b-1)≥20(b>0) ①)当不等式的解集为0，U,+时，求4，b的值 1.1 2)若a>0且不等式恒成立，求。+6的最小值. 考点05 一元二次不等式的恒成立问题 一、单选题 1.(2425高一上安徽安庆期末)“关于”的不等式“r-2x+>0对GR上恒成立”的一个必要不充 分条件是() A.a>0 B.a>1 c,0<a月 D.a>2 2.(24-25高-上安撒芜湖期末)若命题“次，2，×+1-a≤0”为真命题，则“的取值范围是 () A.a22 B.a≤2 7/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.a≥5 D.a≤5 3。(24-25高一上安徽岸阳期末)若不等式2x+红<0对一切实数，都成立，则的取值范围是 A.（-30) B.(-3,01 C.（-0,-3u(0,+∞ D.（-o,-3U川0，+∞j 4.(24-25高一上安徽期末)不等式m+br+c<0(a≠0) 的解集为R,那么() A.a<0,A<0 B.a<0,A≤0 (an} C. D.a>0,4>0 5。(24-25高一上·安微芜湖期末)当x∈R 时，不等式r-+2>0 成立，则k的取值范围是() A.（-,0U(8+0j B.0,+) c.(08 D.0,8 二、多选题 6。(2425高一上安徽淮南期末)若存在m,mm<m-,使得0≤+a+b≤c-X的解集为 m≤x≤m+l或x=m川，则下列结论正确的是() A.r+a+b≥0的解集为x≤m+l或x之≥m B.r+ar+b≤c-x的解集为xm+l≤x≤刊 C.c=-n D. a2+2a>4b-4c 7.(2425高一上安徽准南期末)“不等式-2x+m≥0在R上恒成立”的充分不必要条件可以是 () A.m≤1 B.m≥1 C.m≥2 D.m≥3 三、填空题 8/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 8.(2425高一上安徽毫州期末)若关于的不等式mr+r+1>0 的解集为R,则实数”的取值范国为 3xeRx2+2mx+3≤0 9.(24-25高一上·安徽阜阳·期末)已知命题p: ,请写出一个满足“p为假命 题”的整数m的值：一 10.(24-25高一上安徽马鞍山期末)关于”的不等式++1>0在R上恒成立，则“的取值范围是 1 f(x)= 11.(24-25高一上·安徽六安·期末)已知函数 V(m2-3m+2)x2+(m-2)x+1的定义域为R,则实数 m的取值范围是一 四、解答题 2.(24-25高一上·安徽毫州期末)(1)已知x>0,求2-x-4 x的最大值： (2)若r∈R,2-ar+1>0 恒成立，求“的取值范围. 2k2+kc-1<0 13.(24-25高一上·安徽池州期末)已知关于的不等式 (1)若不等式的解集为 2 求实数k的值： (2)若reR,2r2+-1<0 立，求实数的取值范围， 14.(24-25高一上安徽阜阳期末)已知函数/)=r+ax+3(xeR) (I)对任意x∈R时，关于x的不等式f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (1)存在∈（∞，） 时，关于的不等式四s0 二“有实数解，求实数“的取值范围。 15.(24-25高一上安撒黄山期中)设二次函数/满是：①当∈R时，总有《1+)=/1， ；② 函数)的图象与轴的两个交点为，A,日上4：③0)= 9/13 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (1)求1 (x) 的解析式： 2)若存在‘∈R xe[1,m](m>1) f(x+t)≤x-1 ，只要 ,就有 成立，求满足条件的实数m的最大值. 目目 考点06 一元二次不等式在某区间上有解问题 一、 单选题 1.(2425高一上安微宣坡期末)若命题。3r-L2),使+1>m”是真命盟，则实数m的取值围 是() A.（0,1 B.（-0,2 C.(-o,5) D.(5,+∞j 2.(2425高-上安徽期末)若有在6川，使得关于的不等式2+m+m-2)≥0 立，则实数 m的取值范围为( 學 9〔 二、填空题 3.(2425高一上安徽期末)已知函数’=(m+-mr+m-1(meR),若不等式<0的解集非空，则 m的取值范围是一 三、解答题 4.(24-25高一上·广东深圳月考)某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种 饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. (1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利 润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ ②为提高月总种洞，企业决定下月调华营销镜略，计划每双告价K10元，并按入碧x-10万元作为 10/13 专题03 二次函数与一元二次方程、不等式 8大高频考点概览 考点01解不含参的一元二次不等式 考点02 解含有参数的一元二次不等式 考点03 一元二次方程根的分布问题 考点04 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 考点05 一元二次不等式的恒成立问题 考点06 一元二次不等式在某区间上有解问题 考点07 一元二次不等式的实际应用 考点08 二次函数的图象分析与判断 地 城 考点01 解不含参的一元二次不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式解集，再根据充分条件和必要条件得概念，结合选项选出答案即可. 【详解】的充要条件是，故必要不充分条件是， 故选：D． 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解. 【详解】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据已知不等式的解集利用韦达定理得到、与的关系，代入所求不等式求出解集即可． 【详解】由不等式的解集为，得到， 方程的两个根分别为，， 由韦达定理得：，， 所以，， 所以不等式为， 即，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A． 4．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合和集合即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 5．（24-25高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意， 对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是. 故选：D. 6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解. 【详解】根据题意可知，，，则，， 所求的不等式可化为：，即，解得：或. 故选：C 7．（24-25高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不含参的一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】原不等式可化为，解集为. 故选：C. 二、填空题 8．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】解不等式可得或，结合已知可得m的取值范围. 【详解】由，可得，解得或， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 所以m的取值范围为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可. 【详解】因为且，所以 ，当且仅当时取等号． 因为不等式恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 10．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意首先得出的关系，进一步结合即可求解. 【详解】由已知，不等式的解集为， 故，且，为方程的两根， 所以，解得，故不等式为， 即，解得或. 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合且，集合，命题，命题. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求得集合和， ，进而可求得； （2）根据给定条件可知集合是集合的真子集，根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，故， 又因为， 所以. （2）因为是的充分不必要条件，故是的真子集， 又且， 所以（等号不同时成立），解得， 综上，实数的取值范围是. 12．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知集合 (1)若，求 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集、补集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件得到是的真子集，结合对进行分类讨论，得到集合端点之间的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】（1）由解得， ∴，， 当，，解不等式得，， ∴. . （2）∵“”是“”的充分不必要条件 ∴是的真子集， 又 当时，，不符合题意； 当时，，； 所以，且两等号不能同时成立，解得 当时，， 所以，且两等号不能同时成立，解得. 综上，实数的取值范围为. 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为． (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可. （2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可. 【详解】（1）因为一元二次不等式的解集为， 所以和1是方程的两个实根，则， 解得．因此所求不等式即为：，解集为或． （2）可化为：，当时显然成立； 当时，对恒成立， 令，则， 当，即时， 所以，即． 地 城 考点02 解含有参数的一元二次不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽·期末）已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 【详解】解：由得， 因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式 则不等式的解集是的子集， 又由得， 当，，符合； 当，，则，， 当，，符合， 故实数的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（    ） A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 【答案】B 【分析】不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集． 【详解】不等式变形为，方程的两根为，显然由得， 所以不等式的解为． 故选：B． 3．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将不等式化为，分、和三种情况讨论，结合题意可求出实数的取值范围． 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解是，不等式的解集中不可能有个正整数； 若，则不等式的解集为空集，不合乎题意； 若，则不等式的解为，所以该不等式的解集中的个正整数分别是、、、，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 二、填空题 4．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知命题：实数满足不等式；命题：实数满足不等式，若命题是命题的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求出命题为真时的的范围，然后根据必要不充分条件确定参数的范围． 【详解】命题：， 命题，， 当时，，当时，， 命题是命题的必要不充分条件，即，但不能推出， 不合题意，时，，解得， 故答案为：． 【点睛】思路点睛：本题考查由必要不充分条件求参数，解题时首先求出命题为真时变量的范围，然后根据必要不充分条件的定义得出参数的关系．也可根据充分必要条件与集合包含之间的关系求解． 三、解答题 5．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式恒成立，讨论a是否为0，即可求得答案. （2）分三种情况讨论，结合一元二次方程两根的大小比较，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知不等式的解集为R，即对于任意实数恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，要使得对于任意实数恒成立， 需满足，解得， 综合可知实数a的取值范围； （2）不等式，即，即， 即； 当时，不等式即，解得； 当时，，解，得， 当时，，不等式即，解得或 当时，，不等式即，则； 当时，，不等式即，解得或， 综合上述，可得： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 6．（24-25高一上·安徽·期末）设函数. (1)若的两根分别为和1，求实数a，b的值； (2)若，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由根的性质列方程求参数值即可； （2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集. 【详解】（1）由已知得，解得. （2）由已知得， 由整理得：， 的两根为. 当时，，解得； 当时，不等式为，的解集为； 当时，，解得. 综上， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为 7．（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为． (1)已知A是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求解一元二次不等式化简A，B，由题意可得A是的真子集，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解； （2）写出特称命题的否定，由命题为真命题，结合二次函数的性质可得关于m的不等式组，求解得答案． 【详解】（1）不等式可化为，解得， 集合.             不等式可化为，则集合.         是的充分不必要条件，是的真子集，则 的取值范围是. （2）因为命题为假命题，所以命题为真命题， 即为真命题， 令，则 解得，所以实数的取值范围是. 8．（24-25高一上·安徽黄山·期末）设函数，其中. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若时，，，，求的最小值； (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由题可知和是方程的两个实根，利用根与系数的关系即可得到关于，的方程组，求解即可得到的值； （2）由题可得，然后利用基本不等式即可求解的最小值； （3）将不等式化简然后对的值分类讨论进行求解即可得. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个实根，且， 从而有，解得； （2），， 又，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. （3）因为，可得， 即可得，即， ， 当时，方程的根，， 故不等式的解集为； 当时，方程的根，， 当即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 综上所得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 9．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：（为常数，且）. 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据不等式的解集结合条件即得； （2）由题可得，再对分类讨论得解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以， 所以，； （2）将，代入关于的不等式：，即为， ∵为常数，且， 当时，解集为或； 当时，解集为或. 10．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求，的值； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式解法可知2，3为方程的两个根，然后利用韦达定理求解即可； （2）化简，讨论a的取值分别求解不等式即可． 【详解】（1）由条件知，关于x的方程的两个根为2和3， 所以，解得． （2）当时，，即， 当时，即时，解得或； 当时，即时，解得； 当时，即时，解得或． 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 11．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)a＝2，b＝1； (2)答案见解析 【分析】（1）由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a、b的值； （2）b＝1时不等式可化为，讨论a与1的大小，从而求出不等式的解集． 【详解】（1）由函数，不等式化为，由不等式的解集为，所以方程的两根为1和2， 由根与系数的关系知：，解得a＝2，b＝1； （2）b＝1时不等式，可化为 即； 当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a； 当a＝1时，解不等式得x≠1； 当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1． 综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}； a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}； a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}． 12．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知 (1)若p为真命题，求实数x的取值范围 (2)若p为q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真可求不等式的解. （2）根据条件关系可得对应集合的包含关系，从而可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为p为真命题，故成立，故. （2）对应的集合为， 对应的集合为， 因为p为q成立的充分不必要条件，故为的真子集， 故（等号不同时取），故. 13．（24-25高一上·安徽池州·期末）设． （1）解不等式； （2）已知存在，满足，证明：当时，的图象与x轴围成封闭区域的面积大于． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2）证明见解析 ． 【解析】（1）讨论和两种情况求解； （2）可得，即，设的图象与x轴分别交于图象的顶点为C，则，可得，即可证明. 【详解】（1）令， 当且仅当，即时，不等式解集为空集； 当且仅当，即或时，不等式的解集为； （2）因为存在，满足，且， 所以，所以， 设的图象与x轴围成封闭区域的面积为S， 设的图象与x轴分别交于图象的顶点为C，则 ， 所以，即． 【点睛】本题考查二次函数相关问题，解题的关键是表示出的面积，进而证明. 14．（24-25高一上·安徽六安·期末）解关于的不等式. 【答案】时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为或. 【解析】先讨论二次项系数等于零时方程的解，再讨论一元二次不等式对应二次函数的开口方向及判别式来确定不等式的解集即可. 【详解】当时，不等式即，故不等式的解集为； 当时，是开口向上的抛物线，判别式， 故方程的根为和， 故不等式的解集为或； 当时，不等式即，即，故，即不等式的解集为； 当时，是开口向下的抛物线，判别式，故不等式无解，即不等式的解集为； 当时，是开口向下的抛物线，判别式，故方程的根为和， 故不等式的解集为. 综上，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为或. 【点睛】思路点睛： 求解含参数的一元二次不等式时，若二次项系数上有参数，一定要先讨论二次项系数是否为零，确定是否一定是一元二次，然后再考虑开口方向和判别式情况进行分类讨论. . 15．（24-25高一上·安徽池州·期末）关于的不等式，其中为大于0的常数． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式的解集为，且中恰好含有三个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）关于的不等式的解集为，得出判别式△，且，由此求出的取值范围； （2）由题意知判别式△，设，利用对称轴以及（1），， 得出不等式的解集中恰好有三个整数，等价于，由此求出的取值范围． 【详解】（1）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式， 结合，解得. （2）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，解得. 又，所以. 设，其对称轴为. 注意到，，对称轴， 所以不等式解集中恰好有三个整数只能是1、2、3， 此时中恰好含有三个整数等价于：，解得. 【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题． 地 城 考点03 一元二次方程根的分布问题 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知方程，在上有两个不同的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，且进而得出，结合基本不等式即可求解. 【详解】解：设方程在上的两个根为，且， 则设，且， 所以 ， 上式等号不成立，所以， 所以的取值范围为， 故选：C 【点睛】此题考查一元二次方程根的分布，以及基本不等式求最值的综合运用，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 二、填空题 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）设f（x）＝x2+bx+c，方程f（x）＝x的两根是x1和x2，且x1＞0，x2﹣x1＞1．若0＜t＜x1，则f（t） x1（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【分析】作差后分解因式,根据韦达定理以及已知条件可判断出差的符号. 【详解】因为方程f（x）＝x的两根是x1和x2 即的两根为, 所以, 又∵x1是方程f（x）＝x的根， ∴f（x1）＝x1， ∴f（t）﹣x1＝f（t）﹣f（x1）＝（t﹣x1）（t+x1+b）＝（t﹣x1）（t+1﹣x2）， ∵x1+x2＝1﹣b，0＜t＜x1， ∴t﹣x1＜0， 又x2﹣x1＞1，即x1+1﹣x2＜0， ∴t+1﹣x2＜x1+1﹣x2＜0， 故f（t）﹣x1＞0，即f（t）＞x1． 故答案为: ＞ 【点睛】本题考查了差值法比较大小,考查了韦达定理,属于中档题. 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：，整理为，解得． 考点：二次方程根的分布 地 城 考点04 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 一、填空题 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）二次函数（）的部分对应值如下表： 则关于的不等式的解集为 . 【答案】（或） 【解析】根据表格的数据代入计算的值，然后求解一元二次不等式即可. 【详解】代入，可得，再代入和，可得，得， 所以，解得. 故答案为：或 2．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知二次函数，满足，对任意的都有恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】用a、b、c把各函数值表示出来，再由已知条件得到a、b、c之间的关系，进而得到不等式恒成立，即可求范围 【详解】∵ ∴ 又由二次函数对任意的都有恒成立 知：，而 ∴，故 ∴，令 即 ∴，若 有即可，而在上无最大值，无最小值但 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次函数、一元二次不等式以及一元二次方程根与系数关系，首先由各函数值的表达式代入目标式并化简，再由一元二次方程根与系数关系确定系数间的不等关系，进而构造一元二次函数，根据不等式恒成立，求目标式范围 二、解答题 3．（24-25高一上·安徽池州·期末）关于的不等式，其中为大于0的常数． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式的解集为，且中恰好含有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由不等式的解集为，得到一元二次不等式对应方程的判别式，即可求解； （2）由不等式对应方程的判别式，得到，设，利用一元二次方程和一元二次不等式的关系，得到不等式的解集中恰好含有一个整数1，转化为，即可求解. 【详解】（1）由题意，不等式的解集为， 则一元二次不等式对应方程的判别式，解得或， 又因为，解得. （2）由题意，一元二次不等式对应方程的判别式，解得， 又，所以， 设，其对称轴为， 因为，，所以对称轴， 所以不等式解集中恰好含有一个整数，则整数只能是1， 此时中恰好含有一个整数等价于，解得， 所以. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次不等式与一元二次函数的关系，其中解答中熟练应用一元二次不等式和一元二次函数的关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 4．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集，利用韦达定理即可解； （2）讨论和时，恒成立的条件，然后求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 5．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知关于的不等式. (1)当不等式的解集为时，求的值； (2)若且不等式恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由方程根与系数的关系求解即可； （2）由一元二次不等式恒成立得到，再由基本不等式的乘“1”法可求. 【详解】（1）由题意可知：为方程的根， 或， . （2）不等式恒成立， ，即，. （当且仅当时取等号）， 的最小值为4. 地 城 考点05 一元二次不等式的恒成立问题 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解. 【详解】当时，则有，解得，不合题意； 当时，则，解得. 综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为， 所以一个必要不充分条件是. 故选：A. 2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）若命题“，”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解的最大值即可. 【详解】由已知，，则 ，即， 所以的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据一元二次不等式恒成立讨论，即可. 【详解】解：当时，对一切实数都成立，故符合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立， 则， 综上： 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 4．（24-25高一上·安徽·期末）不等式的解集为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式在上恒成立的条件判断出正确选项. 【详解】由于一元二次不等式的解集为，所以. 故选：A 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式在上恒成立问题，属于基础题. 5．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论时恒成立，时，结合二次函数性质得出结论． 【详解】时，不等式为恒成立， 时，则，解得， 综上． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题时要注意分类讨论，时不等式为一元二次不等式，时不是一元二次不等式，要注意分别． 二、多选题 6．（24-25高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 【答案】AD 【分析】AB选项，根据不等式解集得到的解集为，的解集为或；C选项，根据韦达定理得到，，得到；D选项，根据和，得到答案. 【详解】AB选项，因为，故， 由题意得的解集为， 的解集为或，A正确，B错误； C选项，的两个根为，的根为， 故，，， 由于，，故，所以，C错误； D选项，因为，， 故，两边平方得，D正确. 故选：AD 7．（24-25高一上·安徽淮南·期末）“不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用不等式恒成立求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得， 选项中满足是集合真子集的是CD. 所以所求充分不必要条件是CD. 故选：CD 三、填空题 8．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可. 【详解】当时，，，不满足题意； 当时，,所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 9．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知命题p：，，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据存在性命题的真假以及一元二次不等式恒成立得出结果. 【详解】由命题p：，为假命题， 则恒成立， 得，解得， 所以整数m的值可为，0，1（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）. 10．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，则有，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，即不等式恒成立，需按二次项系数：为零与不为零，分类讨论，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零，解此不等式组，即可求出的取值范围. 【详解】∵ 函数的定义域为， ∴ 对于任意，恒有， ① 若， 则或1， 当时， 不等式即为， 不符合题意， 当时， 不等式即为，符合题意， ∴ 符合题意； ② 若，由题意得 ， 解得：或； 综上可得，的取值范围是或． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题主要考查二次不等式的恒成立问题．讨论二次项系数为零与不为零，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零是解决本题的关键. 四、解答题 12．（24-25高一上·安徽亳州·期末）（1）已知，求的最大值； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）运用基本不等式求解即可； （2）由二次函数的解集为可得求解即可. 【详解】（1），当且仅当，即时取等号， 所以最大值为． （2）由题意知，，解得， 所以的取值范围是. 13．（24-25高一上·安徽池州·期末）已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）结合一元二次不等式的解集、一元二次方程的根的关系列方程，由此求得的值. （2）对分成可两种情况进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】（1）关于的不等式的解集为， ∴和1是方程的两个实数根，代入得，解得； （2）当时，不等式为，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上知，实数的取值范围是. 14．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知函数. （Ⅰ）对任意时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）存在时，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）将不等式转化为对任意恒成立，只需即可求解. （Ⅱ）将不等式化为在有解，设，只需满足或，解不等式即可. 【详解】（Ⅰ）即对任意恒成立， ，解得          的范围是. （Ⅱ）即在有解， 设， 依题意有或，解得. 15．（24-25高一上·安徽黄山·期中）设二次函数满足：①当时，总有；②函数的图象与x轴的两个交点为A，B，且；③. (1)求的解析式； (2)若存在，只要，就有成立，求满足条件的实数m的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为9 【分析】（1）根据函数的图象关于直线对称，且方程的两根为和1，可设设，由可得解； （2）取和，可得，从而可得解. 【详解】（1）（1）由题意知，函数的图象关于直线对称， 且方程的两根为和1，设， 又，则，解得. 故. （2）（2）只要，就有，即， 取； 取，即， 由得， 故时，； 当时，存在，只要，就有 成立，满足题意. 故满足条件的实数m的最大值为9. 地 城 考点06 一元二次不等式在某区间上有解问题 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在性问题得即可得解. 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽·期末）若存在，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令,由存在性知或，即得实数的取值范围. 【详解】令 存在，使得关于的不等式成立， 或， 或 或 或或 或 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的存在性问题，属于基础题. 二、填空题 3．（24-25高一上·安徽·期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】对进行分类讨论即可解决问题. 【详解】①当时，即时， ，解集不是空集； ②当时，即时， 此时函数为开口向下的二次函数， 故不等式的解集非空； ③当0时，若不等式的解集非空，则 ， 即， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 4．（24-25高一上·广东深圳·月考）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． (1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ (2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 【答案】(1)20元 (2)当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元 【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价. （2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价. 【详解】（1）设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶， 所以提价少月销售总利润为万元． 因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润， 所以，即， 所以，所以售价最多为(元)， 故该饮料每瓶售价最多为20元． （2）由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为， 整理得 因为，所以， 所以， 当且仅当时取到等号， 故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元． 地 城 考点07 一元二次不等式的实际应用 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽省亳州市利辛县金石中学·期末）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可. 【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用不等式解决实际问题，解题思路如下： （1）在解题的过程中，读懂题意； （2）设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本； （3）利用销售收入等于销售价格乘以销售量，根据题意，列出不等式求解即可. 2．（24-25高一上·安徽省庐江县·期末）设函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且都有，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解； (2)根据题意可得函数关于直线对称，利用二次函数的对称轴得出，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意可知：和是方程的两根， 则有且 ∴ （2）由知关于直线对称， 即 当且仅当时等号成立. ∴的最大值为 地 城 考点08 二次函数的图象分析与判断 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽·开学考试）已知是方程的两根，且，，实数的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为函数图象与直线交点、函数图象与轴交点的问题可得答案. 【详解】函数的图象为开口向上的抛物线， 如图，由已知可得与轴交点的横坐标为， 在抛物线的对称轴的左侧，在抛物线的对称轴的右侧， 可化为， 可得是函数的图象与直线的两个交点的横坐标， 由可得函数在抛物线的对称轴的左侧，在抛物线的对称轴的右侧， 结合图象可得. 故选：A.    二、多选题 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 【答案】AD 【分析】根据二次函数的图象和性质，分析给定的四个结论是否正确. 【详解】由函数的图象，可得函数的图象开口向下，与x轴有两个交点， ，，A正确； 由对称轴方程为，可得，，B不正确； 由，可得，C不正确； 由图象可得，根据函数的对称性，可得， 由可得，D正确. 故选：AD 三、解答题 3．（24-25高一上·安徽滁州·阶段练习）设二次函数，是常数，． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由． (2)若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． (3)若，点在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）令函数为0，利用判别式即可得出交点个数； （2）分析函数过哪两个点，利用待定系数法即可求解； （3）将点代入二次函数得出，结合已知不等式，即可证明不等式. 【详解】（1）由题意， 在二次函数，是常数，中， 当时，， ， 方程有两个不相等实数根或两个相等实根． 二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个. （2）由题意及（1）得， 在二次函数，是常数，中， 图象经过，，三个点中的其中两个点， 当时，， 抛物线不经过点， 把点，分别代入得： 解得 抛物线解析式为：. （3）由题意及（1）（2）证明如下： 在二次函数，是常数，中， 点在该二次函数图象上， ∴当时，①， ， ②， ①②相加得：， . 4．（24-25高一上·安徽芜湖·强基计划）如图，已知点的坐标为，直线与轴､轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过三点. (1)请直接写出两点的坐标，抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设抛物线的对称轴交线段于点是第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)是第一象限内抛物线上一点，连接，构成，当的面积达到最大值时，求出点的坐标及面积的最大值. (4)在第（3）题的条件下，点是过点垂直于轴的直线上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，求的最小值. 【答案】(1)，； (2)； (3)，此时； (4). 【分析】（1）求出点坐标，设抛物线的解析式为，把代入解析式即得解； （2）设，则，解方程即得解； （3）过点向轴作垂线，交线段于点，设，求出即得解； （4）设点关于抛物线对称轴的对称点为，则点在轴上，以与为临边作平行四边形，当四点共线时，取最小值，即得解. 【详解】（1）令，代入，得，则. 令，代入，得，则. 设抛物线的解析式为，把代入得， 则抛物线的解析式为，顶点. （2）由题易知，于是当时，有四边形为平行四边形. 令，代入，得，则，于是. 设，则，于是， 令，解得或1（舍），将，代入，得，则. （3）过点向轴作垂线，交线段于点， 设， 则，则，由题知，于是当时，有，此时. （4）由（3）知：，设点关于抛物线对称轴的对称点为，则点在轴上，，以与为临边作平行四边形，则， 于是，容易知道当四点共线时，取最小值，为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练利用方程和函数的思想、数形结合的数学思想研究数学问题.求值一般利用方程的思想，求最值一般利用函数和数形结合思想. 5．（24-25高一上·安徽省阜阳市太和县第一中学·期末）已知函数． （1）求证：函数的图象与轴恒有公共点； （2）当时，求函数的定义域. 【答案】（1）见解析 ； (2)见解析. 【分析】（1）将因式分解，可得恒过点；（2）函数的定义域即为不等式的的取值的集合，根据二次函数图象的特点，分情况讨论即可. 【详解】（1）因为，则函数的图象与轴恒有公共点；（2）函数的定义域即为不等式的的取值的集合，由可知二次函数的图象开口向上，此时的图象与轴的交点分别为、，当时，时的取值的集合为；当时，时的取值的集合为；当时，时的取值的集合为.综上所述，当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $