河南省顶尖计划二2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

机密★启用前 2026届高三第一学期12月质量检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 架 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知复数z满足9十+-1，则1z= 2+i 吗 B.10 C.5 D.5 2.已知集合A={x∈N|-1<x<4},B=(yly=x2,x∈A},则A∩B= A.[0,4) B.(1,4) C.{0,1} D.(1) 3.已知数列{an}为等比数列，a1a4a=64,a6a=8,则ag= A.1 B.2 C.4 D.6 4.已知函数f(x)=一x2+3x,则函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 A.x+y-3=0 B.x-y+1=0 C.x+y-2=0 D.x-y-1=0 5.在△ABC中，若Bd=BC,A市=号AC+xA,则X+u A号 B号 C.1 D号 6.已知-cos2g=2,则sina(sina十cosa）= sin 2a A.2 B号 as D号 7.已知函数f(x)=|2:-2|,若x1<x2且f(x)=f(x2),则2+22-的最小值为 A号 B.9 C.5+22 D.3+22 4 高三数学试题第1页（共4页） 8.已知函数f(x)=2sin(ox+p(w>0)在区间（答，）上单调，且满足f(-晋）=f(受若 函数f(x)在(，2x)上有且仅有3个极值点，则o的取值范围为 A[,) B(剖 c[路2) D.(2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.为了得到函数y=log2(2x)的图象，只需将函数y=log2(√x)的图象上所有点 A横坐标变成原来的（纵坐标不变） B.横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C.向上平移1个单位长度 D.向左平移1个单位长度 10.设等差数列{an)的前n项和为Sm,公差为d,首项为a1,若S8>S2,S1<0,则下列结论 正确的是 A.d<o B.当n=5时，Sn取最大值 C.lasI<lasl D.数列会}为等差数列并且与数列（口}具有相同的单调性 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C,D1中，AP=xAB+yAD+zAA1,则 A.若x十y+x=1,则AC1⊥BP B.若x=1,x十y=1,且x≥0，y≥0，则直线AP与BD所成角的最小角为 C.若x十y十x=,则点P所在的平面截正方体所得的截面面积为 D,若x十y十z=2,则直线CC和直线D,P所成角可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)=tan(x+)的定义域为 13.两个非零向量a,b,满足|a十b1=2a一b|,则向量a与向量b夹角的余弦值的最小值为 14.已知函数f(x)=ln(√x2-2x+2十x一1)，数列{an}为公差不为0的等差数列，若f(a1) +f(a2)十f(aa)+f(a4)十f(as)=0,则a1十a2十ag十a4十as= 高三数学试题第2页（共4页） 夸克扫描王 极速扫描，就是高效 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知数列(a}满足a1=2,且t1=2(2m十1) an 2n-1 (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sm 16.(本小题满分15分) 已知函数f(z)=sin(2x+)cosp+cos(2x+)sinp(0<p<π)的图象关于点 (0对称。 (1)求p: (2)若x∈[0，]，求函数(x)的最值及取最值时的x的值； (3)若0<a<,且f()=寻，求cos(a+p. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin C=22 ccos Bcos C-2√2bsin2C, asin B=4√2. (1)求b; (2)若BC边上的高为0,2，求△ABC的周长. 高三数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA=PB=√6，AB=PC=2√5，E,F 分别为棱PB,PC上的动点，且BC∥平面AEF. (1)证明：平面ABC⊥平面PAB; (2)若截面AEF将三棱锥P-ABC截成上下两部分的体积之比为1：3，求平面AEF 与平面ABC的夹角的余弦值； (3)若球O是三棱锥P-ABC的外接球，若平面AEF截球O所得的截面的面积为3π， *器 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x十a)lnx有两个极值点x1,x2,且0<x<x2, (1)求实数a的取值范围； ②证明品十>品 ③证明ha少++++eN). 高三数学试题第4页（共4页） ▣▣ 夸克扫描王 极速扫描，就是高效奇2026届高三第一学期12月质量检测·数学 参考答案 题号 1 2 3 5 6 8 答案 A C B B D A 0 题号 9 10 11 答案 AC ABD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】A 【解折h题意可得=-2十0卫-3号，=空，故递A 2.【答案】C 【解析】由题意可知A={0,1,2,3,B={yy=x2,x∈A}={0,1,4,9},则A∩B={0,1〉，故选C. 3.【答案B 【解析】a1a4a=a=64,∴a4=4,a6a7=asa4=4a=8,.ay=2,故选B. 4.【答案】B 【解析】f(x)=-x2+3x,f'(x)=3-2x,f(1)=1,f(1)=2,.在点(1，f(1)处的切线方程为y-2=x-1,即x- y十1=0，故选B. 5.【答案】C 【解析】因为B市=B心，所以B市/B式，又因为有公共点B,所以点B,D,C三点共线，又因为AD=号A心+入A店，所以号 十A=1,即A=子：即AD-号AC+号A,所以A市-AB=号AC+号A市-A店，即A心-Ai=号A心-号AB,所以Bd- 号(AC-A)=号B武，所以以=号，所以A+=1,故选C 6.【答案】D 【解折】小22- 2sin'a =1ana=2,则sina(sina+-cos a)=naco5a十simg=ama十1ane-多十号-9，放 2sin acos a sin a+cos a tan'a+1 选D. 7.【答案】A 【解析】作出函数f(x)=|2-2的图象，如图所示，因为f(x1)=f(x2),即|2 -2|=|22-2|,因为x1<x2,由图可知，x1<1,1<x2<2,即2-2=2g-2, 所以有21+29=4.则24+2=六十六=（六+会）24十20) 十(6+资+42)≥(6+2√层，要)=÷当且仅当器 2,即x=6g:专=16g:号时等号成立，所以21十2的最小值为 2x2 号，故选A 8.【答案】D 【解析】设函数fx)=2sin(ax十p)(w>0)的最小正周期为T,因为x)在（答，要）上单调，所以号>经-晋=受，即 B又因为)=号，且号》≤，所以西数K送于直线，宣吾对称所以 2 6 函数()在x=吾时取最值（最大值或最小值），又因为函数f()在（否，2x)上有且仅有三个极值点，则有 <2m-晋 < ,即 2T>2x-晋 ,又因为I>,所以<T<号，即<<号严解得<<2，故选D 高三数学试题参考答案第1页（共6页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】AC 【解析】因为y=grA-s6口-l坚中_多bg -=1og2x,即将函数y=1ogE(√x)图象上所有点横坐标变成 1og2(W2)log:(27) 2 原来的（纵坐标不变）：又因为y=log(2)=ogx十log2=log:x十1，所以还可以将函数y=log厅(VF)图象上所有 点向上平移1个单位长度.故选AC 10.【答案】ABD 【解析】因为Sg>S2,所以Sg-S2=a3十a:十a十a6十a,十ag>0,即ag十ag>0,因为a5十a6=ag十ag,所以a:十a:>0; 因为S1<0,又因为S1=11a,所以a6<0,又因为a:十a6>0,所以a:>0,a6<0,则d<0,且当n=5时，S取最大值， 且|a|>|a:|,所以A,B正确，C错误； 因为d<0,所以数列口单调递减：因为8=m十”4，所以受=a十”号4=号m十(a一号)，所以数列 2 三}也是等差数列，并且也为单调递减数列，所以选项D正确.故选ABD. n 11.【答案】AC 【解析】对A,若x十y十之=1，则点P,B,D,A四点共面，如图1，因为ABCD-ABCD是正方体，所以AC⊥平面 A1BD,BPC平面ABD,所以AC1⊥BP,所以选项A正确： D B 图1 图2 对B,若x=1,x十y=1,且x≥0，y≥0，则点P的轨迹为线段B1D1,又因为BD∥BD1,所以AP与BD所成的角转化 为直线AP和BD所成的角，由图2可知，直线AP和BD所成的角的范围为号，受所以选项B错误： 对C,若x十y十=号，则过点P的平面栽正方体所得的截面为△EFG,如图3所示，其中点E,F,G分别为AB,AD, AA1的中点.证明如下：因为AP=mAE+nAF+pAG,因为点P在平面EFG内，所以m十n+p=1,又因为E,F,G 分别为AB,AD,AA的中点，所以A花-Ai,A正=A心.AG=AA,所以A=受Ai+之A+号AA,又因为 A市-xA店+yA+:AA,所以x=受=号=专，所以x十y十：=”十十=合，即所得的截面为△EFG,因为 2 正方体的棱长为2，所以△EFG是边长为反的正三角形，所以△EFG的面积为，气×)-号，所以选项C正确， 4 D A D 图3 图4 对D,若x十y十z=2,则点P的轨迹为平面BCD.证明如下：如图4所示，在平面BCD内任取一点为P,连接AP, 与平面ABD的交点为P1,连接AC,分别与平面A1BD和平面B1CD1的交点为O,O2,连接OP1,O2P,因为平面 ABD∥平面BCD,所以0n/0P因为8=号，所以是=合，则市=2A矿.设A矿=花+市十 :AA,则x十y十1=1，所以AP=2AP=2x1AB+2yAD+2:AAi,又因为AP=xAB+yAD+之AA,所以 高三数学试题参考答案第2页（共6页） x=2x1y=2y1,x=2x1,则x十y十x=2(1十y1十)=2，即点P的轨迹为平面B1CD.直线CC和DP所成角的最 小角即为直线CC1和平面BCD所成的角.连接CO2,则∠CCO即为直线CC和平面BCD,所成的角，且CC=2, C0,-9,所以s血∠CC0-号，又因为号>，所以∠CC0,>言，所以选项D错误综上，放选AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】{x≠km+平k∈Z 【解析】令x十于≠x十受，解得x≠kπ十平，所以函数f(x)=an(x十平)的定义域为{zx≠kx十平，k∈Z 13【答案】号 【解析】因为a十b=2a-b1,两边平方得：a+b+2a·b=4a+4h-8a·b,即a·b=(a2+b),所以cos(a,b)= 3 回：。-·日>高·28=号，当且仅当a=。时等号成立，所以向员a与向员6夹角的余弦值 的最小值为号 14.【答案】5 【解析】设函数g(x)=ln(x十1十x),定义域为R, 又因为g(-x)+g(x)=ln(√x+I-x)+ln(√++x)=ln[(√x2+I-x)(√+I+x)]=lnl=0, 所以函数g(x)为奇函数. 又因为g'(x)= 十示+)行所以商政在良上单别造游 1 又因为f(x)=ln[√(x-1)十1+(x-1)],所以函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向右平移1个单位得到的，所 以函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，即f(x)十f(2-x)=0,且在R上也单调递增. 因为数列{an}为等差数列，且f(a1)十f(a2)十f(a)十f(a)十f(a)=0, 所以必有a1十a:=a2十a4=2a=2.下面用反证法证明. 假设a十a:=a2十a4=2a≠2， 当a1十a=a2十a4=2a>2时，则f(aa)>f(1)=0:由a1十a:>2,则有a1>2-a5,所以f(a)>f(2-a)=-f(a), 即f(a1)十f(a:)>0;同理f(a2)+f(a4)>0,即有f(a1)+f(a)+f(a)十f(a:)十f(a:)>0,与已知矛盾； 当a1十as=a2十a:=2a<2时，则f(a)<f(1)=0;由a1十a<2,则有a1<2-a5,所以f(a1)<f(2-a5)=-f(a), 即f(a1)+f(a:)<0;同理f(a2)+f(a4)<0,即有f(a1)+f(a2)+f(a)十f(a4)十f(a:)<0,与已知矛盾. 所以必有a十a5=a2十a:=2ag=2,所以a1十a2十a3十a4十a5=5a3=5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案】(1)an=(2n-1)·2(2)Sm=(2n-3)·2m+1+6 【解析】1)法一：因为4=22m十卫，所以 2n-1 2n+1-20m+)-可=2·2m-1' …2分 又因为号=2≠0， ++…4……0◆…”……4………0………………4……3分 所以数列{22与}是以2为首项，2为公比的等比数列，…4分 所以22=2”，即a,=(2n-1)…2”……6分 法二：当n≥2时=a·是·会·会…=2X是×号×号X…X a-1 2n-3 =(2n-1)·2,…4分 又因为a1=2,即对n=1也成立，所以an=(2n一1)·2”.……6分 (2)法一：S=1×2十3×2+5X23+…十(2n-1)·2①， 2Sn=1X22十3X23十5X24+…十(2n-1)…2+l②，…8分 ①-②得：-Sn=2十2(22十23十…十2")-(2n-1)…2+1…10分 =2+2.20-多-(2m-1）…201=(3-2m）21-6,…12分 1-2 所以Sn=(2-3)2+l十6。…13分 法二：an=(2n-1)·2"=[2(n十1)-5]·2m+1-(2n-5)·2”,…9分 所以Sn=(2X2-5)×22-(2X1-5)×2+(2X3-5)X23-(2×2-5)×22+…十[2(n+1)-5]·2+1-(2n-5)· 2m=(2n-3)·2+1十6. …13分 高三数学试题参考答案第3页（共6页） 16,【答案】1)吾(2)当=音时，函数)取最大值1：当=号时，函数f)取最小值-号(3)一 8 【解析】1)fx)=sin(2x+否)cos9+cos(2x+石)sinp=sinm(2x+石十g), ………2分 因为函数f(x)的图象关于点（子，0）成中心对称， 所以2×受+吾十p=,即9=k红一晋，k∈Z.因为0<<，所以g=若： …6分 (2))=sin(2x十吾)，因为x[0,受]所以2x+号∈[号，g]…7分 所以当2红十号=受，即x=时，函数f()取最大值，且最大值为1，…8分 当2x十受=5，即x=受时，函数f)取最小值，且最小值为一号， …9分 (3)因为f(受)=子，即sim(a+吾）=， 因为0<a<,所以号<a十吾<号， 若号<a+晋<g时，9<sin(a+号)长1， …11分 因为sm(e+吾)=子，所以5<a十晋<x, ………12分 所以cos(e+号)=√1-sn(a+晋)=-厘 …13分 所以cos(a+g)=cos(a+g）=cos[(a+受)-]=cos(a+晋)cos否+sim(a+于)sin日 厘×+×名1 4 8 …15分 17.【答案】(1)6(2)20 【解析】因为asin C=2√2 ccos Beos C-2√2 bsin'C, 由正弦定理得：sin Asin C=2/2 sin Ceos Beos C--2√2 sin Bsin'C,…2分 因为sinC>0, 所以sinA=2√2 cos Beos C-2√2 sin Bsin C=2√2cos(B+C)=-22cosA, 即sinA=-2W2cosA,… 4分 又因为sin2A+cosA=1,所以(-2Ec0sA0十c0sA=1,即c0A=号，5分 因为sinA>0,所以-2W2cosA>0,即cosA<0,所以cosA=- 3'sin A=212 3 …6分 由正弦定理得：asin B=bsin A,……………7分 又因为asin B=42,所以b6sinA=42,即226=4E,所以b=63……………8分 (2)因为BC边上的高为20g2,所以有2a·20g2=9 9 9 2bcsin A, ……10分 20N2a=6X3c,即50=90，…2 9 …11分 再由余弦定理得a=公+-2kasA,所以努=86十t-2X6×(一号) ……12分 化简得：14c2-25c-225=0,又因为℃>0，解得c=5,……13分 所以a=9,…14分 则△ABC的周长为：a十b十c=9十6十5=20.… 15分 18.【答案K1)详见解析(2)3厘(3)日 31 【解析】(I)取线段AB的中点为M,连接PM,CM,因为PA=PB,所以PM⊥AB; 又因为△ABC为正三角形，所以CM⊥AB, 又因为PMC平面PAB,CMC平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB, 高三数学试题参考答案第4页（共6页） 所以∠PMC即为二面角P一AB-C的平面角，……2分 又因为PA=PB=√6，AB=2√3，所以PA2十PB=AB,所以PA⊥PB,即△PAB为直角三角形，且∠APB=90°，所 以PM=AB=E: 又因为△ABC为正三角形，且AB=23,所以CM=25×=3,又因为PC=25, 2 …3分 所以PM十CM=PC,即PM⊥CM,所以∠PMC=90°，所以平面ABC⊥平面PAB;…4分 (2)由(1)知，MA,MC,MP两两垂直，分别以MA,MC,MP为x,yx轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则M(0,0,0),A(3,0,0),B(-√3,0,0)，C(0,3,0),P(0,0w3).…5分 因为BC∥平面AEF,因为BCC平面PBC,平面PBC∩平面AEF=EF,所以 EF∥BC, 则△PEF∽△PBC.…6分 因为截面AEF将三棱锥P-ABC截成上下两部分的体积之比为1：3，所以 VEs=子Vr, 又因为Vr-F=VA-PEF VNC=V-wc,即VPEr=VP,因为三棱锥A-PEF与三棱锥A-PBC的高相等，所以 爱=寸-所以EF分别为装pB心的中点，即（号o5.号）.成-停，o小a ……7分 3 1n·EF=0 x1十 2 2y=0 设平面AEF的法向量为n1=(x1,y1,),由 得 n·AE=0 + 20 取x1=5,则y=-1,=33,所以n=(W3,一1,33)；……9分 平面ABC的法向量为n2=(0,0,1): 设平面AEF和平面ABC的夹角为0，则cos0=cos(n,n)|= m·n=33 n·n231 所以平面AEF和平面ABC的夹角的余弦值为3Y3 31 ……………10分 (3)三棱锥P-ABC的外接球的球心O即为正三角形ABC的中心，即O(0,1,0),外接球的半径R=OC=2, 因为平面AEF截球O所得的截面面积为3π，所以截面圆的半径为r=√3，所以球心O到平面AEF的距离为d= √/R-r=1. …12分 设路-A.01,则既=，设P吃=p店=（一5x0,-,则E(-505-x),同理F0,31w5-5x0,所 以AE=(-3λ-√5,05-5)，EF=(5,3,0),……13分 1n·EF=0W5λx1十3λy=0 设平面AEF的法向量为n1=(x,y,),由 m·正=0得-A后)十6-，=0 取1=5，则=-1，=5十边，则m=(5,一1，中）…15分 1-λ 1-λ 又因为A0=（-5,1,0,则d=A0.ml-=1, 即 4 +梁 1,解得-号所以焉子 …………17分 19.【答案】(1)(0，e)(2)详见解析(3)详见解析 【解析】(1)f(x)=(x十a)nx,定义域：(0，十o∞)， 若函数f(x)=(x十a)nx有两个极值点， 则有f(x)=1nx十十=0在(0，十o∞)上有两个不相等变号根，…。 …1分 令g()=f)=nx+2=nx+1+是x>0,则g'()=, 当a≤0时，g'(x)≥0在(0，十∞)上恒成立， 高三数学试题参考答案第5页（共6页） 所以函数∫(x)在(0，十o∞)上单调递增，所以f(x)=0至多有一个实根，不符合题意；…2分 当a>0时， 令g'(x)=0,得x=a,当0<x<a时，g'(x)<0;当x>a时，g'(x)>0, 所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十o∞)上单调递增，x=a时，f'(x)取最小值，且最小值为lna十2，又因为当 x0时，f(x)→十o∞，当x→十o∞时，f(x)十o∞，… …3分 所以若f(x)=lnx十十=0在(0，十o)上有两个不相等变号根，只需1na十2<0，即a<e.…4分 x 综上，当0<a<e2时，函数f(x)有两个极值点；……5分 (2)因为x,x是函数f(x)的两个极值点，则有：lnx十1+a=0①，lnx十1十a=0②， a(x1-x2） ①②得：h一hx对=-是=a即4=n】 …6分 要证：2名十子>即证还十2父易2团2)空……7分 a 即证2>名·即正2> 3(x1-x2) 因为0<x<,即证：lnx1-lnx2<+22,y …8分 L一1 即证h头<3·。令1=云且01， 十2 X2 即证：lnt3二(0<1)， …9分 t+2 令h0=1nt-3.,0<K1, t+21 则0=-3.2》-法，因为0<11.所以-+4>1-5X1+4=0,所以0>0， (t十2)2 …10分 所以h(t)在(0,1)上单调递增，又因为0<t<1,所以h(t)<h(1)=0, 即1nt在0<1时成立所以十子>成立：……………山分 (3)由(2)知，当0<t<1时，lnt3-D, t+2 收帝aeN时有n<3,克 -3 …………13分 n十23n十2’"“ 所以有：n<号，n<n<…，lh< -3 …14分 则有n号+n号+h++<+++3子 -3 ………15分 即（×号×…X）-3(++++ …16分 所以n<-3(++片++ ………17分 高三数学试题参考答案第6页（共6页）