湖北省武汉市水果湖第一中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

水果湖一中2025-2026学年八上期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共10小题） 1．中秋节是我国四大传统节日之一，下列中秋祝福中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A．中 B．秋 C．快 D．乐 2．下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（　　） A．5，5，5 B．3，4，5 C．3，4，8 D．2，4，5 3．若直角三角形的一个锐角是25°，则另一个锐角的度数是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 4．计算a2•a3的结果是（　　） A．a2 B．a3 C．a5 D．a6 5．如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 6．已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（　　） A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b 7．某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线OA重合，另一把直尺的边与射线OB重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点P，作射线OP，小明说：“射线OP就是∠AOB的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 8．如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 9．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为（　　） A．40 B．46 C．48 D．50 10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，点D为AC中点，连接BD，点E、点F分别为BD、AB上两动点，过点F作FH⊥BC于点H，当AE+EF+FH取最小值时，，则△ABC的面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共14小题） 11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，2）关于y轴对称的点的坐标是　 　 ． 12．计算（﹣x3）4的结果等于 　 　 ． 13．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，按以下步骤作图：以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D；分别以点D，B为圆心，大于线段BD长的一半为半径作弧，两弧交于点P；连接CP交AB与点E；则CE＝　 　 ． 14．计算：＝　 　 ． 15．汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小圳固定镜面BC，将镜面BA绕点B逆时针转动（30°＜∠ABC＜180°），在光源P处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去．已知∠PDC＝28°，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为60°时，∠ABC＝ 　 　 度． 16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D，E分别为AC，AB上的点，∠DBC＝60°，∠ECB＝50°，则∠BDE＝　 　 ． 17． （8分）计算： （1）a•（﹣a）2•（a3）5． （2）（2x2）3﹣x2•x4． 18．（9分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC，求证：△ABC≌△ADC． 19．（9分）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF． 20．（9分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA 的延长线于点F． （1）证明：△ADF是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝6，AD＝3，求EC的长． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（﹣3，1），C（0，2），D（1，0），E（3，﹣3），F（0，﹣2）． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形； （2）在x轴上找一点P，使得PB+PC的值最小，此时点P的坐标为　 　 ； （3）已知点Q为y轴上一点，若△DFQ为等腰三角形，则点Q有　 　 个． 22．（9分）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（3，9）＝　 　 ，＝　 　 ． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000）； ②若令（3，2）＝a，（3，5）＝b，（3，10）＝c，试探索（3，2）+（3，5）与（3，10）的大小关系． 23．（8分）以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ACD与等腰△CBE，DA＝DC，EC＝EB，∠ADC＝α，∠CEB＝β，且α+β＝180°． （1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：DC⊥CE； （2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接AB，点F为AB中点，连接DF、EF，求证：DF⊥EF； （3）如图3，当点B在线段AD上运动时（点B与A、D不重合），连接DE，若α＝60°，AC＝4，且，求的最小值． 24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，过点A作MN⊥AB，点D在AB上（不与点A，B重合），作∠DCE＝45°，∠DCE的边CE交直线MN于点E，连接DE． （1）如图1，当点E在射线AM上时，作CF⊥CE，CF交AB于点F，求证：△ACE≌△BCF； （2）如图2，当点E在射线AN上时，写出线段AE，DE，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的基础上，若CE与AD交于点P，当P为CE的中点，且四边形AEDC的面积比△BCD的面积大10时，直接写出△ABC的面积．武资网 参考答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C B B A B C C 10．解：连接CE，过点C作AB的对称点O，连接OB，过点F作FN⊥BO于点N，作CP⊥BO于点P， ∴∠ABO＝∠ABC，BO＝BC， ∵AB＝BC，∠ABC＝30°，点D为AC中点， ∴BD⊥AC， ∴BD垂直平分AC， ∴AE＝CE， ∵∠ABO＝∠ABC，FH⊥BC，FN⊥BO， ∴FN＝FH， ∴AE+EF+FH＝CE+EF+FN≥CP， 当点C，E，F，N，P共线时，AE+EF+FH取得最小值，如图： 记CO，AB交于点Q， ∵FN⊥BO，FH⊥BC， ∴∠FNB＝∠FHB＝90° ∵BF＝BF，∠ABO＝∠ABC， ∴△FBN≌△FBH（AAS）， ∴此时， ∵∠ABO＝∠ABC＝30°， ∴∠OBC＝60°， 又∵BO＝BC， ∴△OBC为等边三角形， ∴CO＝BO， ∴BO＝BC＝BA＝CO， ∵CP⊥BO， ∴， ∴， ∵C，O关于AB对称， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共14小题） 11．（2，2）． 12．x12． 13．． 14．． 15．解：①如图所示，∠MNB＝60°， ∵∠PDC＝28°， ∴∠BDM＝∠CDP＝28°， ∵∠MNB＝60°， ∴∠DMN＝∠BNM﹣∠BDM＝32°， ∴∠AMD＝∠BMN＝＝74°， 在△BMN中，∠ABC＝180°﹣74°﹣60°＝46°； ②如图所示，当∠ABC是钝角时，此时设反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线交点为点Q，且∠MQD＝60°， ∠BDM＝∠BDC＝28°， 设∠DMB＝∠AMN＝α，则∠BMQ＝∠AMN＝α， 在△QMD中，∠MQD+∠QMD+∠BDM＝180°， ∴2α+60+28＝180， 解得α＝46°， ∴∠ABC＝∠BMQ+∠MQD＝106°； ③如图所示，当∠ABC是钝角时，此时设反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线交点为点Q，且∠MQD＝120°， ∠BDM＝∠BDC＝28°， 设∠DMB＝∠AMN＝α，则∠BMQ＝∠AMN＝α， 在△QMD中，∠MQD+∠QMD+∠BDM＝180°， ∴2α+120+28＝180， 解得α＝16°， ∴∠ABC＝∠BMQ+∠MQD＝136°； 综上，∠ABC＝46°或106°或136°； 故答案为：46或106或136． 16．解：∵AB＝AC，∠A＝20°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣20°）＝80°， 过点B作BF＝BC，连接EF， ∵∠ECB＝50°， ∴∠BEC＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∴∠BEC＝∠ECB， ∴BC＝BE， 又∵∠CBF＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×80°＝20°， ∴∠EBF＝∠ABC﹣∠CBF＝80°﹣20°＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴∠EFB＝60°，BF＝EF， ∴∠EFD＝180°﹣∠EFB﹣∠CFB＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∵∠DBC＝60°， ∴∠DBF＝∠DBC﹣∠CBF＝60°﹣20°＝40°， ∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∴∠DBF＝∠BDC， ∴BF＝DF， ∴EF＝DF， ∴∠EDF＝（180°﹣∠EFD）＝（180°﹣40°）＝70°， ∴∠BDE＝∠EDF﹣∠BDF＝70°﹣40°＝30°． 故答案为：30°． 17．解：（1）原式＝a•（﹣1）2a2•a3×5 ＝a•a2•a15 ＝a1+2+15 ＝a18； （2）原式＝23x2×3﹣x2+4 ＝8x6﹣x6 ＝7x6． 18．证明：如图：已知AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）． 19．证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C． 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF（AAS）． ∴AE＝DF． 20．（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE， 而∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形； （2）解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵∠B＝60°，BD＝6， ∴BE＝BD＝3， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝AD+BD＝9， ∴EC＝BC﹣BE＝6． 21．解：（1）如图，根据轴对称图形的特征画图，△A′B′C就是所求作的图形； （2）连结BF，交x轴于点P， 由于点C关于x轴的对称点为点F（0，﹣2），所以PB+PC的最小值为BF的长； 设直线BF的解析式为y＝kx+b， 由条件可得， 解得， ∴直线BF的解析式为y＝﹣x﹣2， 令y＝0，则﹣x﹣2＝0， 解得x＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． （3）当DF为腰时，如图，Q1F＝DF，Q2F＝DF，DQ3＝DF， 当DF为底时，如图，Q4D＝Q4F， 因此，满足题意的点Q有4个． 故答案为：4． 22．解：（1）∵32＝9， ∴（3，9）＝2， ∵， ∴， 故答案为：2，﹣3； （2）①于是＝（23，103）﹣（25，105） ＝（2，10）﹣（2，10）＝0 ②∵（3，2）＝a，（3，5）＝b，（3，10）＝c， ∴3a＝2，3b＝5，3c＝10， ∵2×5＝10， ∴3a•3b＝3c，从而3a+b＝3c， ∴a+b＝c， 即（3，2）+（3，5）＝（3，10）． 23．（1）证明：在△DAC中，AD＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠DCA+∠DAC+∠ADC＝180°，∠ADC＝α， ∴， 同理可得：， ∵， ∴∠DCE＝90°， ∴DC⊥CE； （2）证明：延长DF至Q，使FQ＝DF，连接BQ， 在△AFD和△BFQ中， ， ∴△AFD≌△BFQ（SAS）， ∴AD＝BQ，∠DAF＝∠QBF， 又∵AD＝DC， ∴DC＝QB， 由（1）知∠DAC＝∠DCA，∠ECB＝∠EBC， 设∠DAC＝∠DCA＝x，∠ECB＝∠EBC＝y，∠CAB＝∠CAB，∠CBA＝∠CBA， ∴∠QBF＝x﹣∠CAB， ∴∠QBE＝y+x﹣∠CAB﹣∠CBA，∠DCE＝180°﹣y﹣x﹣∠CAB﹣∠CBA， 由（1）知y+x＝90°， ∴∠DCE＝∠QBE＝90°﹣∠CAB﹣∠CBA， 在△DCE和△QBE中， ， ∴△DCE≌△QBE（SAS）， ∴DE＝QE， 又∵DF＝QF， ∴DF⊥EF； （3）解：取AB的中点F，连接EF，由（2）知DF⊥EF， ∴EB＝EA， ∵EB＝EC， ∴EC＝EA，即点E在AC的垂直平分线上， ∵α＝60°，DA＝DC， ∴△ACD是等边三角形， ∴DE平分∠ADC，则∠EDC＝30°， 作EH⊥CD于H，则， ∴，根据垂线段最短，当A、E、H共线且AH⊥BC时，AE+EH最小值为A到CD的距离h， ∵， ∴， 解得：． ∴的最小值为． 24．（1）证明：∵∠BCA＝90°，AC＝BC，CF⊥CE， ∴∠CAB＝∠B＝45°，∠BCA＝ECF＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACF＝∠ECF﹣∠ACF，即∠BCF＝∠ACE， ∵MN⊥AB， ∴∠MAB＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠CAD＝45°， ∴∠CAE＝∠CBF， ∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE≌△BCF（ASA）； （2）解：DE＝BD+AE，理由如下： 过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，则∠ECF＝90°， 同（1）得△ACE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF，CE＝CF， ∵∠DCE＝45°， ∴∠DCF＝90°﹣∠DCE＝45°＝∠DCE， 在△CDE与△CDF中， ， ∴△CDE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF， ∵DF＝BD+BF， ∴DE＝BD+AE． （3）解：过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠CHP＝90°， ∴∠CHP＝∠EAP＝90°， ∵AC＝BC， ∴， ∵P为CE中点， ∴CP＝EP， 在△APE与△HPC中， ， ∴△APE≌△HPC（AAS）， ∴， ∵△ACE≌△BCF，△CDE≌△CDF， ∴S△ACE＝S△BCF，S△CDE＝S△CDF， ∵S四边形AEDC＝S△ACE+S△CDE＝S△ACE+S△CDB+S△CBF＝2S△ACE+S△CDB， ∴S四边形AEDC﹣S△BCD＝2S△ACE+S△BCD﹣S△BCD＝2S△ACE＝10， ∴S△ACE＝5， ∵△AEP和△ACP等底等高， ∴， ∴． 声明：试 学科网（北京）股份有限公司 $