精品解析：四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

安岳中学高2024级第一学期十二月月考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，满分40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数（，且的图象必经过的定点是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 4. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（ ） A. B. C. D. 7. 若，为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分，每小题给出的四个选项中，有多个是符合题意的，全选对得6分，部分选对得3分，错选或不选得0分.） 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取范围是 11. 下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若，则的值为 C. 函数的减区间是 D. 已知，，，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每题5分，满分15分.） 12. 计算=________. 13. 已知函数，则______． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则满足不等式的x的取值范围是 __________． 四、解答题（本题共5小题，满分77分） 15. 已知全集为R，集合 集合 B=. （1）求集合A，B及A∩B: （2）若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围. 16. 设为定义在R上的偶函数，当时，，当时，的图象是顶点为 且过点的抛物线的一部分． （1）求函数在上的解析式； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （3）写出函数的值域和单调区间． 17. 已知关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集. 18. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）判断奇偶性并证明； （2）利用定义证明在R上单调递增； （3）若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2024级第一学期十二月月考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，满分40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，即可求解. 【详解】由，，则. 故选：B 2. 函数（，且的图象必经过的定点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据确定指数型函数图象恒过的定点. 【详解】令，得，代入解析式，得到图象必经过的定点是. 故选：A. 3. 设，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由分段函数解析式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以. 故选：B 4. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值法可得出a、b、c的大小关系. 【详解】因为对数函数在上为减函数，则， 指数函数在上为减函数，则，即，故. 故选：C. 5. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 6. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到关系式，将已知数据代入得到k的值，即可求出结果. 【详解】根据题意设， 当，，则， 当，则，所以 故选：D 7. 若，为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变换主元法，化为关于的一元一次不等式，结合对应一次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题意知，，恒成立， 设函数，即，恒成立. 则，即，解得，或. 故选：C 8. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合分段函数，以及基本初等函数的定义，即可求解. 【详解】由题意可知，，则，所以单调递减， 当时，单调递减，则，得， 当时，单调递减，则，得， 在分界点处，，得， 综上可知，. 故选：A 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分，每小题给出的四个选项中，有多个是符合题意的，全选对得6分，部分选对得3分，错选或不选得0分.） 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断BD. 【详解】对于A，由，得，而，则，即，A正确； 对于B，取，满足条件，而，B错误； 对于C，由，得，则，因此，C正确； 对于D，取，满足条件，，D错误. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，令即可求解；对于B选项，根据抽象函数定义域的要求进行求解即可；对于C选项，首先根据奇函数的性质可得函数的图像关于点对称，进而根据图像变换进行求解即可；对于D选项，首先画出与的函数图像，观察图像的交点个数即可求解参数的取值范围. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为， 所以，所以，所以函数的定义域为，故B错误； 对于C，因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称， 因为函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位得到， 所以函数的图像关于点对称，故C正确； 对于D，当时，函数的图象如下图所示， 当时，函数的图象如下图所示， 则当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以 故选：ACD. 11. 下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若，则的值为 C. 函数的减区间是 D. 已知，，，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，利用指数函数的单调性进行求解即可； 对于B选项，首先运用指对互化公式，再结合换底公式及对数的运算性质进行求解即可； 对于C选项，利用复合函数的单调性进行判断即可； 对于D选项，利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】对于A，因， 因为函数为减函数，故得，即A正确； 对于B，由，可得 则，故B正确； 对于C，由，可得，解得， 即函数的定义域为， 设，显然该函数在上单调递增，在上单调递减， 而在定义域上为增函数， 故函数的减区间为，即C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，即D正确. 故选：ABD . 三、填空题（本题共3小题，每题5分，满分15分.） 12. 计算=________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则及性质求解. 【详解】原式 故答案为：10. 13. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可知，则，进而可得解. 【详解】由已知，则， 则， 设， 则， 即， 则， 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则满足不等式的x的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质将等价转化为，并利用单调性和定义域，列出关于的不等式组，从而求出的取值范围. 【详解】是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上是减函数， 不等式等价于： ，解之得 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，满分77分） 15. 已知全集为R，集合 集合 B=. （1）求集合A，B及A∩B: （2）若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于集合，根据指数函数单调性求解的范围. 对于集合，根据对数函数的性质，求解的范围. 对于，求两个集合的交集，即求既属于又属于的元素组成的集合. （2）对于，根据集合的包含关系，再根据集合的定义求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，指数函数是单调递增函数. 所以. 解为，即. 因为，对数函数是单调递增函数. 所以，解得，即. 则. 【小问2详解】 对于集合，可得，即. 因为，所以. 则有. 解第一个不等式，得. 解第二个不等式，得. 所以的取值范围是. 16. 设为定义在R上的偶函数，当时，，当时，的图象是顶点为 且过点的抛物线的一部分． （1）求函数在上的解析式； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （3）写出函数的值域和单调区间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先设抛物线顶点式方程，代入求出开口大小，再根据偶函数性质求在上的解析式； （2）根据描点法画出函数图像，或根据对称性画函数图像 （3）根据图像确定最值得函数值域，根据函数图像增减得单调区间 【小问1详解】 【小问2详解】 略 【小问3详解】 【点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性. 17. 已知关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）， （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解； （2）根据（1）的结果，并不等式转化为，因式分解后，讨论的取值，解不等式. 【小问1详解】 由题意可知，的根是1和2， 所以，解得：，； 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以不等式为，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助换元法，令，可得，结合二次函数单调性计算即可得； （2）借助换元法，令，可得对于恒成立，参变分离后可得对于恒成立，借助对勾函数性质计算即可得. 【小问1详解】 令，当时，， ， 由函数在上单调递减， 则， ， 故当时，求该函数的值域为； 【小问2详解】 由可得， 即对于恒成立， 当时，，恒成立； 当时，， 又在上单调递减，故， 故，即； 综上所述：. 19. 已知函数. （1）判断奇偶性并证明； （2）利用定义证明在R上单调递增； （3）若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） 函数为奇函数，理由如下： 定义域为R，又， 所以为奇函数； （2） 由（1）知，， 任取，且， 则 因为，则 所以，即， 所以在R上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求出定义域为R，且，得到为奇函数； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数奇偶性和单调性得到，变形得到，换元后得到函数最小值，从而得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 为奇函数， 由，得， 因为函数在R上单调递增， 所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则只需， 令，则， ，当时，，即， 所以k的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $